Przeczytaj

Przyjrzyjmy się poniższym ciągom.

Ciąg liczb naturalnych: $0$ , $1$ , $2$ , $3$ , $4$ , $. . .$ , $n$ , $n + 1$ , $. . .$

Ciąg liczb parzystych: $0$ , $2$ , $4$ , $6$ , $. . .$ , $2 n$ , $2 n + 2$ , $. . .$

Ciąg kolejnych wielokrotności liczby $7$ : $0$ , $7$ , $14$ , $21$ , $28$ , $. . .$ , $7 n$ , $7 n + 7$ , $. . .$

Zauważmy, że w każdym z ciągów różnica między kolejnymi wyrazami jest stała i równa odpowiednio: $1$ , $2$ , $7$ . Zatem kolejne wyrazy ciągów powstają przez dodanie do wyrazu poprzedniego tej samej liczby. O ciągach mających taką własność mówimy, że są to ciągi arytmetyczne.

Ciągi arytmetyczne mogą być ciągami nieskończonymi, bądź skończonymi. Ale aby stwierdzić czy dany ciąg jest arytmetyczny, ten ciąg musi mieć co najmniej trzy wyrazy.

Będziemy przy tym zakładać, że dany ciąg, np. ciąg $(a_{n})$ , jest określony dla $n \geq 1$ i $n \in ℕ$ .

Ciąg arytmetyczny

Definicja: Ciąg arytmetyczny

Ciągiem arytmetycznym nazywamy ciąg liczbowy co najmniej trzywyrazowy, w którym każdy wyraz, począwszy od drugiego, powstaje przez dodanie do wyrazu poprzedniego liczby $r$ , zwanej różnicą ciągu.

Jeżeli ciąg $(a_{n})$ jest ciągiem arytmetycznym o różnicy $r$ , to dla każdej liczby naturalnej $n \geq 1$ prawdziwa jest równość:

a_{n + 1} = a_{n} + r

Przykład 1

Ciąg $(- 1, 3, 7)$ jest ciągiem arytmetycznym, gdyż

$3 - (- 1) = 7 - 3 = 4$

Liczba $4$ jest różnicą tego ciagu.

Przykład 2

Ciąg $(1, 6, 12)$ nie jest ciągiem arytmetycznym, bo drugi wyraz powstaje z pierwszego poprzez dodanie liczby $5$ , ale trzeci wyraz powstaje z drugiego poprzez dodanie liczby $6$ .

Ważne!

Ciąg arytmetycznyciąg arytmetycznyCiąg arytmetyczny zwykle określany jest poprzez pierwszy wyraz ciągu i różnicę ciągu.

Przykład 3

Przykłady ciągów arytmetycznych nieskończonych
Kolejne początkowe wyrazy ciągu	Pierwszy wyraz	Różnica ciągu
$1, 4, 7, 10, 13, . . .$	$1$	$3$
$- 6, - 4, - 2, 0, 2, 4, . . .$	$- 6$	$2$
$10, 20, 30, 40, 50, . . .$	$10$	$10$
$9, 8, 7, 6, 5, . . .$	$9$	$- 1$
$\sqrt{2}, 0, - \sqrt{2}, - 2 \sqrt{2}, . . .$	$\sqrt{2}$	$- \sqrt{2}$

Ciekawym rodzajem ciągu arytmetycznego jest ciąg stały. To znaczy taki, którego różnica jest równa $0$ .

Przykład 4

Przykłady ciągów stałych
Kolejne początkowe wyrazy ciągu	Pierwszy wyraz	Różnica ciągu
$- 1, - 1, - 1, - 1, - 1, - 1, . . .$	$- 1$	$0$
$5, 5, 5, 5, 5, . . .$	$5$	$0$
$\frac{1}{3}, \frac{1}{3}, \frac{1}{3}, \frac{1}{3}, \frac{1}{3}, . . .$	$\frac{1}{3}$	$0$

Z określenia ciągu arytmetycznego wynika, że różnica między kolejnymi wyrazami jest dla danego ciagu stała, zatem mając pierwszy wyraz i różnicę ciągu, możemy wyznaczyć jego dowolny wyraz. W przypadku ciągu skończonego można wyznaczyć wszystkie wyrazy tego ciągu.

Zatem:

$a_{2} = a_{1} + r$

$a_{3} = a_{2} + r = a_{1} + 2 r$

$a_{4} = a_{3} + r = a_{1} + 3 r$

$a_{5} = a_{4} + r = a_{1} + 4 r$

$. . .$

Wyraz ogólny ciagu arytmetycznego

Twierdzenie: Wyraz ogólny ciagu arytmetycznego

Jeżeli ciąg $(a_{n})$ jest ciągiem arytmetycznym o różnicy $r$ , to dla każdej liczby naturalnej $n \geq 1$

a_{n} = a_{1} + (n - 1) \cdot r

Na podstawie tego twierdzenia dla $m \in ℕ_{+}$ i $k \in ℕ_{+}$ możemy napisać:

a_{m} = a_{1} + (m - 1) \cdot r

a_{k} = a_{1} + (k - 1) \cdot r

Odejmujemy stronami zapisane równości.

a_{m} - a_{k} = (m - k) \cdot r

a_{m} = a_{k} + (m - k) \cdot r

Wyraz

a_{m}

ciągu arytmetycznego

Twierdzenie: Wyraz

a_{m}

ciągu arytmetycznego

Jeżeli $a_{m}$ i $a_{k}$ to dowolne wyrazy ciągu arytmetycznego $(a_{n})$ o różnicy $r$ to

a_{m} = a_{k} + (m - k) \cdot r

Przykład 5

Ciąg $(a_{n})$ jest ciągiem arytmetycznym. Zapiszemy piąty wyraz ciągu, za pomocą innego wyrazu ciągu i różnicy ciągu.

$a_{5} = a_{1} + 4 r$

$a_{5} = a_{3} + 2 r$

$a_{5} = a_{4} + r$

Korzystając z twierdzenia o wyrazie ogólnym ciągu arytmetycznego, można udowodnić twierdzenie o wyrazach jednakowo oddalonych od początku i końca ciągu.

Twierdzenie o wyrazach jednakowo oddalonych od początki i końcu ciągu

Twierdzenie: Twierdzenie o wyrazach jednakowo oddalonych od początki i końcu ciągu

Jeżeli dla wyrazów $a_{1}$ , $a_{k}$ , $a_{m}$ , $a_{n}$ ciągu arytmetycznego $(a_{n})$ zachodzi równość $k + m = 1 + n$ to

a_{k} + a_{m} = a_{1} + a_{n}

Możemy powiedzieć, że w skończonym ciągu arytmetycznym $(a_{n})$ o $n$ wyrazach suma wyrazów jednakowo oddalonych od początku i końca ciągu ma stałą wartość, równą $a_{1} + a_{n}$ .

Pokażemy teraz zastosowanie poznanych wzorów i twierdzeń.

Przykład 6

Wyznaczymy wyrazy pięcioelementowego ciągu arytmetycznego $(a_{n})$ wiedząc, że jego pierwszy wyraz jest równy $120$ , a różnica $(- 6)$ .

$a_{1} = 120$

$a_{2} = 120 - 6 = 114$

$a_{3} = 114 - 6 = 108$

$a_{4} = 108 - 6 = 102$

$a_{5} = 102 - 6 = 96$

Odpowiedź:

Szukany ciąg ma postać: $(120, 114, 108, 102, 96)$ .

Znając co najmniej dwa kolejne wyrazy ciągu arytmetycznego (niekoniecznie początkowe), można wyznaczyć łatwo różnicę tego ciągu.

Ważne!

Jeżeli $(a_{n})$ jest ciągiem arytmetycznym o różnicy $r$ , to dla dowolnej liczby naturalnej $n > 0$ prawdziwa jest równość

a_{n + 1} - a_{n} = r

Przykład 7

Wiadomo, że trzeci wyraz ciągu arytmetycznego $(a_{n})$ jest równy $90$ , a czwarty $270$ obliczymy pierwszy wyraz tego ciągu.

Mamy dane dwa kolejne wyrazy ciągu, zatem możemy obliczyć różnicę tego ciagu.

$a_{3} = 90$

$a_{4} = 270$

$r = 270 - 90 = 180$

Mając trzeci wyraz i różnicę ciągu, można obliczyć pierwszy wyraz.

$a_{3} = a_{1} + (3 - 1) \cdot 180$

$90 = a_{1} + 360$

$a_{1} = 90 - 360 = - 270$

Odpowiedź:

Pierwszy wyraz ciągu $(a_{n})$ jest równy $(- 270)$ .

Przykład 8

Logarytmy czterech liczb dodatnich przy podstawie dwa tworzą ciag arytmetycznyciąg arytmetycznyciag arytmetyczny, w którym iloczyn wyrazów skrajnych jest równy $(- 8)$ , a iloczyn wyrazów środkowych jest równy $0$ . Znajdziemy te liczby.

Oznaczmy:
$x$ , $y$ , $z$ , $w$ – szukane liczby,
$r$ – różnica ciagu,
$\log_{2} x = a$ .

Wtedy:

$\log_{2} y = a + r$

$\log_{2} z = a + 2 r$

$\log_{2} w = a + 3 r$

Na podstawie treści zadania zapisujemy układ równań.

$\{\begin{cases} a (a + 3 r) = - 8 \\ (a + 2 r) (a + r) = 0 \end{cases}$

Otrzymujemy dwa układy równań.

$\{\begin{cases} a + 2 r = 0 \\ a (a + 3 r) = - 8 \end{cases}$ lub $\{\begin{cases} a + r = 0 \\ a (a + 3 r) = - 8 \end{cases}$

Rozwiązujemy pierwszy z układów.
$\{\begin{cases} a + 2 r = 0 \\ a (a + 3 r) = - 8 \end{cases}$
$\{\begin{cases} a = - 2 r \\ - 2 r \cdot r = - 8 \end{cases}$
$\{\begin{cases} a = - 2 r \\ r^{2} = 4 \end{cases}$
Drugie równanie ma dwa rozwiązania $r_{1} = 2$ , $r_{2} = - 2$ .
$r_{1} = 2$ i $a_{1} = - 4$ , stąd $\log_{2} x_{1} = - 4 \Rightarrow x_{1} = \frac{1}{16}$
Wyznaczamy pozostałe wyrazy ciągu.
$\log_{2} y_{1} = - 2 \Rightarrow y_{1} = \frac{1}{4}$
$\log_{2} z_{1} = 0 \Rightarrow z_{1} = 1$
$\log_{2} w_{1} = 2 \Rightarrow w_{1} = 4$
Szukane liczby to: $\frac{1}{16}$ , $\frac{1}{4}$ , $1$ , $4$ .
$r_{2} = - 2$ i $a_{2} = 4$ , stąd $\log_{2} x_{2} = 4 \Rightarrow x_{2} = 16$
Wyznaczamy pozostałe wyrazy ciągu.
$\log_{2} y_{2} = 2 \Rightarrow y_{2} = 4$
$\log_{2} z_{2} = 0 \Rightarrow z_{2} = 1$
$\log_{2} w_{2} = - 2 \Rightarrow w_{2} = \frac{1}{4}$
Szukane liczby to: $16$ , $4$ , $1$ , $\frac{1}{4}$ .
Rozwiązujemy drugi z układów.
$\{\begin{cases} a + r = 0 \\ a (a + 3 r) = - 8 \end{cases}$
$\{\begin{cases} a = - r \\ r^{2} = 4 \end{cases}$
Drugie równanie ma dwa rozwiązania $r_{3} = 2$ , $r_{4} = - 2$ .
$r_{3} = 2$ i $a_{3} = - 2$ , stąd $\log_{2} x_{3} = - 2 \Rightarrow x_{3} = \frac{1}{4}$
Wyznaczamy pozostałe wyrazy ciągu.
$\log_{2} y_{3} = 0 \Rightarrow y_{3} = 1$
$\log_{2} z_{3} = 2 \Rightarrow z_{3} = 4$
$\log_{2} w_{3} = 4 \Rightarrow w_{3} = 16$
Szukane liczby to: $\frac{1}{4}$ , $1$ , $4$ , $16$ .
$r_{4} = - 2$ i $a_{4} = 2$ , stąd $\log_{2} x_{4} = 2 \Rightarrow x_{4} = 4$
Wyznaczamy pozostałe wyrazy ciągu.
$\log_{2} y_{4} = 0 \Rightarrow y_{4} = 1$
$\log_{2} z_{4} = - 2 \Rightarrow z_{4} = \frac{1}{4}$
$\log_{2} w_{4} = - 4 \Rightarrow w_{4} = \frac{1}{16}$
Szukane liczby to: $4$ , $1$ , $\frac{1}{4}$ , $\frac{1}{16}$ .

Odpowiedź:

Są cztery ciągi liczb spełniających warunki zadania:

$(\frac{1}{16}, \frac{1}{4}, 1, 4)$ , $(16, 4, 1, \frac{1}{4})$ , $(\frac{1}{4}, 1, 4, 16)$ , $(4, 1, \frac{1}{4}, \frac{1}{16})$ .

Słownik

ciąg arytmetyczny

ciągiem arytmetycznym nazywamy ciąg liczbowy co najmniej trzywyrazowy, w którym każdy wyraz, począwszy od drugiego, powstaje przez dodanie do wyrazu poprzedniego liczby $r$ , zwanej różnicą ciągu

Wprowadzenie

Animacja

Słownik