Przeczytaj
W kolejnych przykładach pokażemy szerokie zastosowanie funkcji trygonometrycznych w dowodzeniu zależności występujących w algebrze, ale także w geometrii.
Wykażemy, że w dowolnym trójkącie prostokątnym o kątach ostrych i zachodzi zależność: .
Rozwiązanie
Naszkicujmy trójkąt prostokątny oraz wprowadźmy oznaczenia:
Z definicji funkcji trygonometrycznych mamy, że:
oraz .
Podstawiamy te wyrażenia do nierówności. Otrzymujemy, że:
.
Z nierówności trójkąta wynika, że .
Zatem .
Wzory występujące w trygonometrii wykorzystuje się do dowodzenia prawdziwości tożsamości trygonometrycznych.
Udowodnimy następującą tożsamość trygonometrycznątożsamość trygonometryczną: , gdzie oraz .
Rozwiązanie
Wychodząc od lewej strony tej tożsamości, mamy:
.
Obliczymy wartość wyrażenia .
Rozwiązanie
Korzystając z tego, że funkcje trygonometryczne są okresowe, wyrażenie możemy zapisać w postaci:
.
Bez użycia tablic wartości funkcji trygonometrycznych możemy porównywać wartości tych funkcji dla różnych kątów.
Wskażemy liczbę mniejszą wśród liczb oraz .
Rozwiązanie
Zbadamy znak różnicy .
Otrzymujemy:
.
Ponieważ oraz , więc .
Zatem liczba jest ujemna, co oznacza, że .
Pokażemy, że wartość wyrażenia dla wynosi .
Rozwiązanie
Sprowadzając wyrażenia do wspólnego mianownika, otrzymujemy:
.
Wartość wyrażenia dla wynosi:
.
Udowodnimy następującą tożsamość trygonometryczną: .
Rozwiązanie
Wychodząc od lewej strony tożsamości, mamy
.
Wykażemy, że w dowolnym trójkącie prostokątnym o przyprostokątnych i , przeciwprostokątnej , kącie ostrym , długość przeciwprostokątnej możemy obliczyć ze wzoru , jeżeli jest promieniem okręgu wpisanego w ten trójkąt.
Rozwiązanie
W dowodzie wykorzystamy wzór na promień okręgu wpisanego w trójkąt prostokątny o przyprostokątnych i oraz przeciwprostokątnej :
.
Z definicji funkcji trygonometrycznych w trójkącie prostokątnym mamy, że:
, więc ,
, więc .
Po podstawieniu do wzoru na otrzymujemy, że .
Po przekształceniu wzór jest postaci: .
Słownik
podstawowa zależność pomiędzy funkcjami trygonometrycznymi