Narysujemy siatkę ostrosłupa prawidłowego szesćiokątnego o krawędzi podstawy długości $2\mathrm{cm}$ i krawędzi bocznej długości $4 \mathrm{cm}$

Rozwiązanie

Rysujemy najpierw sześciokąt foremny o krawędzi długości $2\mathrm{cm}$. Na każdym jego boku budujemy trójkąt równoramienny o podstawie $2\mathrm{cm}$ oraz ramieniu długości $4 \mathrm{cm}$.

R8g6xEAaD8Phf

IlustracjaIlustracja przedstawia siatkę ostrosłupa prawidłowego sześciokątnego. Na środku znajduje się sześciokąt foremny i długości boku 3 centymetry. Do każdego z tych boków przylega swoją podstawą trójkąt równoramienny. Ramiona trójkątów mają długość centymetry.

Sprawdzimy, czy z odcinków długości $a=6 \mathrm{cm}$ i $b=5 \mathrm{cm}$ da się zbudować ostrosłup prawidłowy sześciokątny o krawędzi podstawy $a$ i krawędzi bocznej $b$.

Rozwiązanie

Zauważmy, że dłuższa przekątna podstawy ostrosłupa prawidłowego sześciokątnego i $2$ przeciwległe krawędzie tworzą trójkąt, co widać na poniższym rysunku:

RJ6Ej5fwmRdWi

Ilustracja przedstawia ostrosłup prawidłowy sześciokątny. Podstawą tego ostrosłupa jest sześciokąt foremny, krawędź podstawy ma długość a. W podstawie zaznaczono jej dwie dłuższe przekątne oraz punkt przecięcia się tych przekątnych. Krawędzie ścian bocznych mają długość b. W ostrosłupie zaznaczono trójkąt, którego ramionami są dwie naprzeciwległe krawędzie boczne, a podstawą jest przekątna sześciokątna znajdująca się pomiędzy tymi krawędziami i przechodzące przez punkt przecięcia się przekątnych sześciokąta.

Z warunku trójkąta wynika, że długość każdego boku tego trójkąta musi być mniejsza niż suma długości pozostałych boków. Podstawą tego trójkąta jest przekątna sześciokąta, której długość wynosi $12\mathrm{cm}$. Suma długości pozostałych boków jest równa $10\mathrm{cm}$, co jest sprzeczne z warunkiem trójkąta. Zatem z odcinków długości $a=6 \mathrm{cm}$ i $b=5 \mathrm{cm}$ nie da się zbudować ostrosłupa prawidłowego sześciokątnego o krawędzi podstawy $a$ i krawędzi bocznej $b$.

Suma długości krawędzi ostrosłupa prawidłowego sześciokątnego wynosi $72\mathrm{c}\mathrm{m}$. Obliczymy długości tych krawędzi wiedząc, że krawędzie boczne są dwa razy dłuższe od krawędzi podstawy.

Rozwiązanie

Wiemy, że omawiany ostrosłup ma $6$ krawędzi podstawy (oznaczmy je jako $a$) i sześć krawędzi bocznych ($2a$). Powstaje równanie:

$6a+6·2a=72$,

$6a+12a=72$,

$18a=72$,

$a=4$.

Zatem krawędź podstawy ostrosłupa prawidłowego sześciokątnego ma długość $4\mathrm{c}\mathrm{m}$ a krawędź boczna ma długość $8\mathrm{c}\mathrm{m}$.

Suma długości krawędzi ostrosłupa prawidłowego sześciokątnego, w którym krawędź boczna jest cztery razy dłuższa od krawędzi podstawy, wynosi $S\mathrm{c}\mathrm{m}$. Obliczymy pole podstawy tego ostrosłupa.

Rozwiązanie

Oznaczmy długość krawędzi podstawy jako niewiadomą $a$. Krawędź boczna jest cztery razy dłuższa, czyli ma długość $4a$. Możemy więc ułożyć równanie:

$6a+6·4a=S$,

$6a+24a=S$,

$30a=S$,

$a=\frac{S}{30}$.

Obliczymy pole podstawy naszego ostrosłupa, czyli pole sześciokąta foremnego.

$P_p=\frac{6\cdot {\left(\frac{S}{30}\right)}^2\sqrt{3}}{4}=\frac{6\cdot S^2\sqrt{3}}{900\cdot 4}=\frac{S^2\sqrt{3}}{600} \left[{\mathrm{cm}}^2\right]$

Drut o długości $7n \mathrm{cm}$ wykorzystano do stworzenia modelu ostrosłupa prawidłowego sześciokątnego. Podzielono go w stosunku $4:3$. Dłuższą część wykorzystano na krawędzie boczne, krótszą na krawędzie podstawy. Obliczymy długość poszczególnych krawędzi ostrosłupa oraz cosinus kąta nachylenia krawędzi bocznej do krawędzi podstawy.

Rozwiązanie

Drut podzielono na $4+3=7$ części,

$7n:7=n$

co oznacza, że suma długości krawędzi bocznych ostrosłupa wynosi $4n \mathrm{cm}$, zaś suma krawędzi podstawy:  $3n \mathrm{cm}$. Policzmy więc długości poszczególnych krawędzi: $4n:6=\frac{2}{3}n \mathrm{cm}$ - długość krawędzi bocznej $3n:6=\frac{1}{2}n \mathrm{cm}$ - długość krawędzi podstawy.

Wykonajmy rysunek pomocniczy, aby zobaczyć, jak policzyć cosinus kąta nachylenia krawędzi bocznej do krawędzi podstawy. Oznaczmy go $\alpha$.

R4n4yMrl4hol4

Ilustracja przedstawia ostrosłup prawidłowy sześciokątny. Podstawą tego ostrosłupa jest sześciokąt foremny, krawędź podstawy ma długość $\frac{1}{2}n$. W ścianie bocznej zaznaczono jej wysokość, dzieli ona krawędź podstawy na dwie równe części. Krawędzie ścian bocznych mają długość $\frac{2}{3}n$. Kąt pomiędzy krawędzią ściany bocznej a krawędzią podstawy został podpisany literą alfa.

$\cos \alpha =\frac{{\displaystyle \frac{1}{4}}n}{{\displaystyle \frac{2}{3}}n}=\frac{3}{8}$

Dłuższa przekątna podstawy ostrosłupa prawidłowego sześciokątnego ma długość $12 \mathrm{cm}$. Krawędź boczna jest dłuższa od krawędzi podstawy o $4 \mathrm{cm}$. Obliczymy sumę długości krawędzi tego ostrosłupa oraz miarę kąta płaskiego przy wierzchołku ostrosłupakąt płaski przy wierzchołku ostrosłupakąta płaskiego przy wierzchołku ostrosłupa.

Rozwiązanie

Zacznijmy od policzenia długości krawędzi podstawy naszego ostrosłupa. Skoro przekątna podstawy ma długość $12 \mathrm{cm}$, to korzystając ze wzoru na dłuższą przekątną podstawy otrzymujemy:

$2a=12$,

co daje nam:

$a=6 \left[\mathrm{cm}\right]$.

Krawędź boczna jest dłuższa o $4 \mathrm{cm}$, więc ma długość $10 \mathrm{cm}$. Policzmy więc sumę krawędzi naszego ostrosłupa:

$6·6+6·10=36+60=96 \left[\mathrm{cm}\right]$.

Wykonajmy rysunek pomocniczy.

R1Kmde0fvNZoc

Ilustracja przedstawia ostrosłup prawidłowy sześciokątny. Podstawą tego ostrosłupa jest sześciokąt foremny, krawędź podstawy ma długość sześć. Krawędzie ścian bocznych mają długość dziesięć. Kąt pomiędzy krawędziami ścian bocznych został podpisany literą alfa.

Obliczmy miarę kąta płaskiego przy wierzchołku ostrosłupa. Skorzystajmy z twierdzenia cosinusów.

$6^2={10}^2+{10}^2-2·10·10·\cos \alpha$

$36=200-200\cos \alpha$

$\cos \alpha =0,82$

$\alpha \approx 35°$

ostrosłup prosty, którego podstawa jest wielokątem foremnym

ostrosłup, którego wszystkie krawędzie boczne są równe. Spodek wysokości ostrosłupa prostego jest środkiem okręgu opisanego na podstawie.

ostrosłup prosty, którego podstawa jest sześciokątem foremny

kąt pomiędzy ramionami ściany bocznej ostrosłupa

opisuje zależność pomiędzy liczbą wierzchołków, ścian i krawędzi wielościanu: $W+S=K+2$, gdzie: $W$ - liczba wierzchołków, $S$ - liczba ścian, $K$ - liczba krawędzi.