Układem równań liniowych z dwiema niewiadomymi nazywamy koniunkcję dwóch równań pierwszego stopnia z dwiema niewiadomymi.

Układ taki przyjmuje postać:

gdzie $a_1$ i $b_1$ oraz $a_2$ i $b_2$ nie są równocześnie równe zero. W powyższym układzie $x$ oraz $y$ oznaczają niewiadome, $a_1$, $a_2$, $b_1$ oraz $b_2$ – współczynniki przy niewiadomych odpowiednio $x$ oraz $y$, natomiast $c_1$ i $c_2$ nazywamy wyrazami wolnymi.

Rozwiązaniem takiego układu równań jest każda para liczb spełniających jednocześnie wszystkie równania danego układu równań.

Przy czym taki układ równań może mieć jedno rozwiązanie, nieskończenie wiele rozwiązań lub może nie mieć rozwiązania.

Dwa układy równań liniowych nazywamy równoważnymi, gdy mają ten sam zbiór rozwiązań.

Jeśli obie strony każdego z równań (lub jednego z nich) danego układu równań pomnożymy przez dowolne liczby różne od zera, a następnie równania te dodamy stronami i tak otrzymanym równaniem zastąpimy jedno z równań układu, to otrzymany układ równań jest równoważny danemurównoważne układy równańukład równań jest równoważny danemu.

Rozwiążemy układ równań, stosując powyższe twierdzenie.

$\left\{\begin{array}{l}-2x+y=3\\ x+y=9\end{array}\right.$

Mnożymy obie strony pierwszego równania przez liczbę $\left(-1\right)$.

$\left\{\begin{array}{l}-2x+y=3 |·\left(-1\right)\\ x+y=9 \end{array}\right.$

Równania dodajemy stronami. Rozwiązujemy otrzymane równanie.

$\underline{+\left\{\begin{array}{l}2x-y=-3\\ x+y=9\end{array}\right.}$
$3x=6 \overline{):3}$

$x=2$

Otrzymanym w ten sposób równaniem zastępujemy pierwsze z równań układu.

$\left\{\begin{array}{l}x=2\\ x+y=9\end{array}\right.$

Postawiamy otrzymaną wartość $x$ do drugiego z równań układu.

$\left\{\begin{array}{l}x=2\\ 2+y=9\end{array}\right.$

Rozwiązujemy drugie równanie.

$\left\{\begin{array}{l}x=2\\ y=7\end{array}\right.$

Otrzymaliśmy parę liczb będącą rozwiązaniem danego układu równań.

(Sprawdź!)

Dany jest układ równań $\left\{\begin{array}{l}3x-2y=2\\ 2x+3y=10\end{array}\right.$.

Rozwiążemy ten układ, stosując poznane twierdzenie.

$\left\{\begin{array}{l}3x-2y=2\\ 2x+3y=10\end{array}\right.$

Mnożymy obie strony pierwszego równania przez liczbę $\left(-2\right)$, a obie strony drugiego równania przez liczbę $3$.

$\left\{\begin{array}{l}3x-2y=2 |·\left(-2\right) \\ 2x+3y=10 |·3 \end{array}\right.$

Wówczas współczynniki przy niewiadomej $x$ będą liczbami przeciwnymi.

Otrzymane równania dodajemy stronami. Rozwiązujemy równanie z niewiadomą $y$.

$\underline{+\left\{\begin{array}{l}-6x+4y=-4\\ 6x+9y=30\end{array}\right.}$
$13y=26 \overline{):13}$

$y=2$

Otrzymanym w ten sposób równaniem zastępujemy pierwsze z równań układu.

$\left\{\begin{array}{l}y=2\\ 2x+3y=10\end{array}\right.$

Postawiamy otrzymaną wartość $y$ do drugiego z równań układu.

$\left\{\begin{array}{l}y=2\\ 2x+6=10\end{array}\right.$

Rozwiązujemy drugie równanie.

$\left\{\begin{array}{l}x=2\\ y=2\end{array}\right.$

Otrzymaliśmy parę liczb będącą rozwiązaniem danego układu równań.

(Sprawdź!)

Aby rozwiązać bardziej skomplikowany układ dwóch równań liniowych, musimy każde z równań układu doprowadzić do najprostszej postaci. Możemy dodawać do obu stron równania to samo wyrażenie oraz mnożyć obie strony równania przez to samo niezerowe wyrażenie.

Rozwiążemy układ równańukład równań liniowych z dwiema niewiadomymiukład równań

$\left\{\begin{array}{l}\frac{x+y}{2}+\frac{4x-y}{3}=1\\ 2\left(x-y\right)+3=x-3y+1\end{array}\right.$

Mnożymy obie strony pierwszego równania przez liczbę $6$, a w drugim równaniu opuszczamy nawias.

$\left\{\begin{array}{l}3x+3y+8x-2y=6 \\ 2x-2y+3=x-3y+1\end{array}\right.$

Redukujemy wyrazy podobne  w każdym z równań.

$\left\{\begin{array}{l}11x+y=6\\ x+y=-2\end{array}\right.$

Po doprowadzeniu układu równań do najprostszej postaci, znajdziemy jego rozwiązanie stosując metodę przeciwnych współczynników.

Mnożymy więc drugie równanie przez liczbę $\left(-1\right)$.

$\left\{\begin{array}{l}11x+y=6 \\ x+y=-2 |·\left(-1\right)\end{array}\right.$

Otrzymane równania dodajemy stronami. Rozwiązujemy równanie z niewiadomą $y$.

$\underline{+\left\{\begin{array}{l}11x+y=6 \\ -x-y=2\end{array}\right.}$

$10x=8 \overline{):10}$

$x=0,8$

Otrzymanym w ten sposób równaniem zastępujemy jedno z równań układu.

$\left\{\begin{array}{l}x+y=-2\\ x=0,8\end{array}\right.$

Postawiamy otrzymaną wartość $x$ do drugiego z równań układu.

$\left\{\begin{array}{l}y+0,8=-2\\ x=0,8\end{array}\right.$

Rozwiązujemy drugie równanie.

$\left\{\begin{array}{l}y=-2,8\\ x=0,8\end{array}\right.$

Otrzymaliśmy parę liczb

$\left\{\begin{array}{l}y=-2,8\\ x=0,8\end{array}\right.$

będącą rozwiązaniem danego układu równań.

Rozwiążemy układ równań

$\left\{\begin{array}{l}-\sqrt{3}x+2y=3\\ x-\frac{2\sqrt{3}}{3}y=-\sqrt{3}\end{array}\right.$.

Mnożymy obie strony drugiego równania przez $\sqrt{3}$.

$\left\{\begin{array}{l}-\sqrt{3}x+2y=3\\ \sqrt{3}x-2y=-3\end{array}\right.$

Dodajemy równania stronami.

$\underline{+\left\{\begin{array}{l}-\sqrt{3}x+2y=3\\ \sqrt{3}x-2y=-3\end{array}\right.}$
$0=0$

Otrzymaliśmy tożsamość $0=0$.

Oznacza to, że układ równań posiada nieskończenie wiele rozwiązań postaci

$\left\{\begin{array}{l}x\in \mathrm{ℝ}\\ y=\frac{\sqrt{3}}{2}x+\frac{3}{2}\end{array}\right.$

Jest to układ równań nieoznaczony (układ równań zależnych).

Znajdź rozwiązania układu równań

$\left\{\begin{array}{l}\frac{2x+y}{3}-\frac{2y+3x}{5}=\frac{1}{15}\\ {\left(x+1\right)}^2-{\left(y+1\right)}^2=x^2-y^2+15\end{array}\right.$.

Przekształcając równoważnie każde z równań, doprowadzamy układ równań do najprostszej postaci.

$\left\{\begin{array}{l}\frac{2x+y}{3}-\frac{2y+3x}{5}=\frac{1}{15} |·15\\ x^2+2x+1-y^2-2y-1=x^2-y^2+15\end{array}\right.$

$\left\{\begin{array}{l}10x+5y-6y-9x=1\\ 2x-2y=15\end{array}\right.$

$\left\{\begin{array}{l}x-y=1\\ 2x-2y=15\end{array}\right.$

Zastosujemy teraz metodę przeciwnych współczynników, aby znaleźć rozwiązanie tego układu.

Aby otrzymać przeciwne współczynniki przy niewiadomej $x$, pomnożymy pierwsze równanie przez liczbę $\left(-2\right)$.

$\left\{\begin{array}{l}x-y=1 |·\left(-2\right)\\ 2x-2y=15\end{array}\right.$

$\left\{\begin{array}{l}-2x+2y=-2\\ 2x-2y=15\end{array}\right.$

Otrzymaliśmy układ równań, w którym przeciwne współczynniki znajdują się zarówno przy niewiadomej $x$, jak i przy niewiadomej $y$.

Dodając równania stronami otrzymujemy:

$\underline{+\left\{\begin{array}{l}-2x+2y=-2\\ 2x-2y=15\end{array}\right.}$
$0=13$

A zatem ten układ równań jest sprzeczny i nie posiada rozwiązania.

układ równań postaci

układy równań, które mają ten sam zbiór rozwiązań

metoda polegająca na pomnożeniu obu stron jednego lub każdego równania przez dowolną liczbę różną od zera, tak aby przy jednej z niewiadomych otrzymać przeciwne współczynniki, dzięki czemu po dodaniu do siebie równań stronami można obliczyć jedną z niewiadomych