Na rysunku przedstawiono wykres funkcji danej za pomocą wzoru .
Na podstawie wykresu obserwujemy, że dla argumentów przeciwnych oraz należących do dziedziny funkcji mamy spełniony warunek , gdzie .
RMhxpI5kx43wq
Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią X od minus sześciu do sześciu oraz z pionową osią Y od minus pięciu do ośmiu. Na płaszczyźnie narysowano wykres funkcji f będący krzywą biegnącą niemal pionowo od minus nieskończoności w trzeciej ćwiartce, przez początek układu współrzędnych i dalej wykres biegnie niemal pionowo do plus nieskończoności w pierwszej ćwiartce.
Wykres tej funkcji jest symetryczny względem punktu .
Wykażemy na podstawie definicji, że funkcja ta jest nieparzysta.
Dziedzią funkcji jest zbiór wszystkich liczb rzeczywistych, więc zapiszemy oraz jeśli liczba to również liczba , sprawdzamy teraz czy zachodzi równość
.
Obliczamy wartość funkcji dla argumentu i mamy:
, warunek powyższy jest spełniony, więc funkcja jest nieparzysta.
Zajmiemy się teraz badaniem nieparzystości funkcji.
Własności funkcji nieparzystej
Własność: Własności funkcji nieparzystej
Należy pamiętać, że badając nieparzystość funkcji będziemy często korzystać z następujących własności – dla każdego :
,
,
.
Przykład 1
Zbadamy nieparzystość funkcji .
Dziedziną tej funkcji jest zbiór wszystkich liczb rzeczywistych, więc zapiszemy oraz jeśli liczba to również liczba , sprawdzamy teraz czy zachodzi równość
,
Obliczamy wartość funkcji dla argumentu i mamy:
, warunek powyższy jest spełniony, stąd wniosek, że funkcja jest nieparzysta.
Wykres tej funkcji jest symetryczny względem początku układu współrzędnych.
RkzKbyKHqFLbG
Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią X od minus sześciu do sześciu oraz z pionową osią Y od minus pięciu do pięciu. Na płaszczyźnie narysowano wykres funkcji wielomianowej f będący krzywą biegnącą niemal pionowo od minus nieskończoności w trzeciej ćwiartce, przez punkt nawias minus 1 średnik 0 zamknięcie nawiasu. Powyżej tego punktu wykres przyjmuje postać niewielkiego łuku. Dalej wykres biegnie w dół, przebiegając przez początek układu współrzędnych. W czwartej ćwiartce wykres przyjmuje postać podobnego łuku, przecina oś X w punkcie nawias 1 średnik 0 zamknięcie nawiasu i dalej wykres biegnie niemal pionowo do plus nieskończoności w pierwszej ćwiartce.
Przykład 2
Zbadamy nieparzystość funkcji .
Dziedziną tej funkcji jest zbiór wszystkich liczb rzeczywistych, więc zapiszemy oraz jeśli liczba , to również liczba , sprawdzamy teraz czy zachodzi równość
,
Obliczamy wartość funkcji dla argumentu i mamy:
, warunek powyższy jest spełniony, stąd wniosek, że funkcja jest nieparzysta.
Wykres tej funkcji jest symetryczny względem punktu .
R13csK7AAuVTy
Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią X od minus sześciu do sześciu oraz z pionową osią Y od minus trzech do trzech. Na płaszczyźnie narysowano wykres funkcji f będący sinusoidalną krzywą. Zakres wartości tej funkcji to zbiór domknięty od minus jeden do jeden, a okres funkcji to pi.
Przykład 3
Niech dana będzie funkcja .
Zbadamy nieparzystość funkcji: najpierw wyznaczamy dziedzinę funkcji oraz zauważamy, że jeśli liczba to również liczba , następnie sprawdzamy czy ,
Tak, więc funkcja jest funkcją nieparzystą, oznacza to również, że wykres funkcji jest symetryczny względem początku układu współrzędnych.
Warto zauważyć, że w każdym ze składników tej funkcji zmienna jest w nieparzystej potędze.
RQ9pp9PAypSrd
Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią X od minus sześciu do sześciu oraz z pionową osią Y od minus pięciu do pięciu. Na płaszczyźnie narysowano wykres funkcji wielomianowej f będący krzywą biegnącą niemal pionowo od minus nieskończoności w drugiej ćwiartce i biegnie w dół do punktu nawias minus jeden średnik minus dwa zamknięcie nawiasu. Stąd wykres odbija w górę i biegnie z uskokiem do początku układu współrzędnych i dalej również z biegnie z uskokiem w do punktu nawias jeden średnik dwa zamknięcie nawiasu. Z tego punktu wykres odbija w dół i biegnie niemal pionowo w czwartej ćwiartce.
Przykład 4
Niech dana będzie funkcja .
Zbadamy nieparzystość funkcji: najpierw wyznaczamy dziedzinę funkcji , zauważmy, że jeśli liczba to również liczba , następnie sprawdzamy czy ,
Tak, więc funkcja jest funkcją nieparzystą, oznacza to również, że wykres funkcji jest symetryczny względem początku układu współrzędnych.
RSMl7FncZjqyE
Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią X od minus sześciu do sześciu oraz z pionową osią Y od minus pięciu do pięciu. Na płaszczyźnie narysowano wykres funkcji f składający się z dwóch części: jedna z części jest hiperbolą znajdującą się w trzeciej i w pierwszej ćwiartce, a druga z nich przypomina wykres funkcji potęgowej o nieparzystym wykładniku i ujemnej podstawie, czyli jest krzywą biegnącą w drugiej ćwiartce niemal pionowo w dół. Wykres łukowato skręca w prawo i przebiega przez punkt nawias 0 średnik 0 zamknięcie nawiasu. Dalej wykres biegnie niemal pionowo w dół w czwartej ćwiartce. Na rysunku linią przerywaną zaznaczono również dwie pionowe asymptoty określone równaniami: x równa się minus jeden oraz x równa się jeden.
Przykład 5
Dane są funkcje nieparzyste oraz .
Zbadamy czy funkcja , która jest sumą funkcji nieparzystych jest funkcją nieparzystą.
Najpierw wyznaczamy wzór funkcji .
Dziedziną tej funkcji jest zbiór wszystkich liczb rzeczywistych z wyłączeniem liczby , zatem oraz jeśli liczba to również liczba , sprawdzamy teraz czy zachodzi równość:
.
Wyznaczymy teraz wartość funkcji dla argumentu :
,
warunek powyższy jest spełniony, stąd otrzymujemy, że funkcja jest nieparzysta.
Przykład 6
Dane są funkcje: nieparzysta oraz parzysta .
Zbadamy, czy funkcja , która jest iloczynem funkcji nieparzystej i funkcji parzystej jest funkcją nieparzystą.
Najpierw wyznaczamy wzór funkcji .
Dziedziną funkcji: oraz jeśli liczba to również liczba , sprawdzamy teraz czy zachodzi równość:
.
Wyznaczymy teraz wartość funkcji dla argumentu :
,
warunek powyższy jest spełniony, stąd otrzymujemy, że funkcja jest nieparzysta.
Ważne!
W powyższych przykładach rozważaliśmy takie funkcje, że:
suma funkcji nieparzystych była funkcją nieparzystą, natomiast iloczyn funkcji parzystej i nieparzystej był funkcją nieparzystą.
Przykład 7
Zapoznaj się z poniższym apletem.
Używając suwaków, możesz zmieniać wzory przykładowych funkcji nieparzystych, możesz obserwować jak wygląda wykres każdej z trzech funkcji , oraz . Wykres każdej powstającej funkcji jest symetryczny względem punktu .
Zapoznaj się z opisem poniższego apletu.
RHau7iQ9MbaRA
W aplecie przedstawiono wykres współrzędnych. Na płaszczyźnie pojawiają się wykresy następujących funkcji: f nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, x indeks górny, a, koniec indeksu górnego, minus, x indeks górny, a, minus, dwa, koniec indeksu górnego, g nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, b x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, sinus nawias, a x, zamknięcie nawiasu oraz h nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, początek ułamka, b x indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, mianownik, cztery, minus, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, koniec ułamka. Możemy wybrać parametry a i b. Zakres dla parametru a wynosi od minus pięciu do pięciu co jeden. Zakres dla parametru b wynosi od minus dwa do dwa co jedną dziesiątą. Podamy dwa przykłady dla wybranych parametrów a i b dla każdej z funkcji f, g oraz h i opiszemy kształt wykresu, jaki przyjmują te funkcje dla wybranych przez nas parametrów. Przykład pierwszy: a równa się minus 3, b równa się 0 przecinek sześć. Funkcja f przyjmuje postać: f nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, x indeks górny, minus, trzy, koniec indeksu górnego, minus, x indeks górny, minus, trzy, minus, dwa, koniec indeksu górnego, równa się, początek ułamka, jeden, mianownik, x indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, koniec ułamka, minus, początek ułamka, jeden, mianownik, x indeks górny, pięć, koniec indeksu górnego, koniec ułamka. Wykres funkcji f to wykrzywiona hiperbola znajdująca się głównie w drugiej i czwartej ćwiartce. Część górna hiperboli przebija w punkcie nawias mins 1 średnik 0 zamkniecie nawiasu do trzeciej ćwiartki, zatacza tam niewielki łuk i wypłaszcza się w lewo niemal poziomo do ujemnej półosi O X. Podobnie z dolną częścią hiperboli. W przedziale od zera do jeden jest niemal pionowa, w punkcie nawias 1 średnik 0 zamknięciu nawiasu przebija do pierwszej ćwiartki, w której zatacza niewielki łuk, po czym wypłaszcza się w prawo do dodatniej półosi O X. Dla tych samych parametrów funkcja g przyjmuje postać: g nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, zero przecinek sześć x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, sinus nawias, minus, trzy x, zamknięcie nawiasu. Wykres funkcji g jest zmodyfikowaną, nieregularną sinusoidą, której maksima w poszczególnych kawałkach dziedziny osiągają coraz wyższe wartości, idąc w stronę obu nieskończoności. W okolicy początku układu współrzędnych wyskoki wykresu znacznie się zmniejszają. Funkcja przebiega przez punkt nawias 0 średnik zero zamknięcie nawiasu. Funkcja h dla wybranych parametrów przyjmuje postać h nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, początek ułamka, zero przecinek sześć x indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, mianownik, cztery, minus, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, koniec ułamka. Wykres tej funkcji przyjmuje postać hiperboli o znacznie rozsuniętych i ostrzejszych, niż standardowo łukach. Łuki te leżą w drugiej i w czwartej ćwiartce. Drugą składową wykresu jest krzywa przypominająca wykres funkcji potęgowej z nieparzystą potęgą, jednak ta krzywa jest bardziej wypłaszczona w okolicy początku układu współrzędnych. Przykład drugi: wartość a wynosi 5, a wartość b wynosi minus 0 przecinek pięć. Funkcja f przyjmuje dla tych parametrów postać f nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, x indeks górny, pięć, koniec indeksu górnego, minus, x indeks górny, pięć, minus, dwa, koniec indeksu górnego, równa się, x indeks górny, pięć, koniec indeksu górnego, minus, x indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego. Wykres tej funkcji wielomianowej biegnie niemal pionowo w trzeciej ćwiartce do punktu nawias minus 1 średnik zero zamknięcie nawiasu. W punkcie tym przebija do drugiej ćwiartki, gdzie zatacza nieregularny niewielki łuk i przebiega przez początek układu współrzędnych do ćwiartki czwartej, gdzie zatacza podobny niewielki łuk i przebija do pierwszej ćwiartki, biegnąc przez punkt nawias 1 średnik zero zamkniecie nawiasu. W pierwszej ćwiartce wykres biegnie niemal pionowo. Funkcja g przyjmuje tu postać: g nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, minus, zero przecinek pięć x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, sinus nawias, pięć x, zamknięcie nawiasu. Tutaj funkcja przypomina zmodyfikowaną sinusoidę, która wokół początku układu współrzędnych osiąga niewielkie wartości. Im dalej od tego punktu, tym funkcja przyjmuje coraz większe wartości. Funkcja h przyjmuje tu postać h nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, początek ułamka, minus, zero przecinek pięć x indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, mianownik, pięć, minus, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, koniec ułamka. Wykres funkcji h składa się z dwóch części. Pierwsza z nich to odsunięta od początku układu współrzędnych hiperbola, której obie części są ostrymi łukami leżącymi w trzeciej i w pierwszej ćwiartce. Druga składowa wykresu to krzywa biegnąca w drugiej ćwiartce niemal pionowo, zbliżająca się do początku układu po łuku. krzywa ta przebiega przez punkt nawias 0 średnik 0 zamkniecie nawiasu i dalej biegnie w czwartej ćwiartce również niemal pionowo.
W aplecie przedstawiono wykres współrzędnych. Na płaszczyźnie pojawiają się wykresy następujących funkcji: f nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, x indeks górny, a, koniec indeksu górnego, minus, x indeks górny, a, minus, dwa, koniec indeksu górnego, g nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, b x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, sinus nawias, a x, zamknięcie nawiasu oraz h nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, początek ułamka, b x indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, mianownik, cztery, minus, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, koniec ułamka. Możemy wybrać parametry a i b. Zakres dla parametru a wynosi od minus pięciu do pięciu co jeden. Zakres dla parametru b wynosi od minus dwa do dwa co jedną dziesiątą. Podamy dwa przykłady dla wybranych parametrów a i b dla każdej z funkcji f, g oraz h i opiszemy kształt wykresu, jaki przyjmują te funkcje dla wybranych przez nas parametrów. Przykład pierwszy: a równa się minus 3, b równa się 0 przecinek sześć. Funkcja f przyjmuje postać: f nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, x indeks górny, minus, trzy, koniec indeksu górnego, minus, x indeks górny, minus, trzy, minus, dwa, koniec indeksu górnego, równa się, początek ułamka, jeden, mianownik, x indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, koniec ułamka, minus, początek ułamka, jeden, mianownik, x indeks górny, pięć, koniec indeksu górnego, koniec ułamka. Wykres funkcji f to wykrzywiona hiperbola znajdująca się głównie w drugiej i czwartej ćwiartce. Część górna hiperboli przebija w punkcie nawias mins 1 średnik 0 zamkniecie nawiasu do trzeciej ćwiartki, zatacza tam niewielki łuk i wypłaszcza się w lewo niemal poziomo do ujemnej półosi O X. Podobnie z dolną częścią hiperboli. W przedziale od zera do jeden jest niemal pionowa, w punkcie nawias 1 średnik 0 zamknięciu nawiasu przebija do pierwszej ćwiartki, w której zatacza niewielki łuk, po czym wypłaszcza się w prawo do dodatniej półosi O X. Dla tych samych parametrów funkcja g przyjmuje postać: g nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, zero przecinek sześć x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, sinus nawias, minus, trzy x, zamknięcie nawiasu. Wykres funkcji g jest zmodyfikowaną, nieregularną sinusoidą, której maksima w poszczególnych kawałkach dziedziny osiągają coraz wyższe wartości, idąc w stronę obu nieskończoności. W okolicy początku układu współrzędnych wyskoki wykresu znacznie się zmniejszają. Funkcja przebiega przez punkt nawias 0 średnik zero zamknięcie nawiasu. Funkcja h dla wybranych parametrów przyjmuje postać h nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, początek ułamka, zero przecinek sześć x indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, mianownik, cztery, minus, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, koniec ułamka. Wykres tej funkcji przyjmuje postać hiperboli o znacznie rozsuniętych i ostrzejszych, niż standardowo łukach. Łuki te leżą w drugiej i w czwartej ćwiartce. Drugą składową wykresu jest krzywa przypominająca wykres funkcji potęgowej z nieparzystą potęgą, jednak ta krzywa jest bardziej wypłaszczona w okolicy początku układu współrzędnych. Przykład drugi: wartość a wynosi 5, a wartość b wynosi minus 0 przecinek pięć. Funkcja f przyjmuje dla tych parametrów postać f nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, x indeks górny, pięć, koniec indeksu górnego, minus, x indeks górny, pięć, minus, dwa, koniec indeksu górnego, równa się, x indeks górny, pięć, koniec indeksu górnego, minus, x indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego. Wykres tej funkcji wielomianowej biegnie niemal pionowo w trzeciej ćwiartce do punktu nawias minus 1 średnik zero zamknięcie nawiasu. W punkcie tym przebija do drugiej ćwiartki, gdzie zatacza nieregularny niewielki łuk i przebiega przez początek układu współrzędnych do ćwiartki czwartej, gdzie zatacza podobny niewielki łuk i przebija do pierwszej ćwiartki, biegnąc przez punkt nawias 1 średnik zero zamkniecie nawiasu. W pierwszej ćwiartce wykres biegnie niemal pionowo. Funkcja g przyjmuje tu postać: g nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, minus, zero przecinek pięć x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, sinus nawias, pięć x, zamknięcie nawiasu. Tutaj funkcja przypomina zmodyfikowaną sinusoidę, która wokół początku układu współrzędnych osiąga niewielkie wartości. Im dalej od tego punktu, tym funkcja przyjmuje coraz większe wartości. Funkcja h przyjmuje tu postać h nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, początek ułamka, minus, zero przecinek pięć x indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, mianownik, pięć, minus, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, koniec ułamka. Wykres funkcji h składa się z dwóch części. Pierwsza z nich to odsunięta od początku układu współrzędnych hiperbola, której obie części są ostrymi łukami leżącymi w trzeciej i w pierwszej ćwiartce. Druga składowa wykresu to krzywa biegnąca w drugiej ćwiartce niemal pionowo, zbliżająca się do początku układu po łuku. krzywa ta przebiega przez punkt nawias 0 średnik 0 zamkniecie nawiasu i dalej biegnie w czwartej ćwiartce również niemal pionowo.
