Na rysunku przedstawiono wykres funkcji danej za pomocą wzoru .
Na podstawie wykresu obserwujemy, że dla argumentów przeciwnych oraz należących do dziedziny funkcji mamy spełniony warunek , gdzie .
RMhxpI5kx43wq
Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią X od minus sześciu do sześciu oraz z pionową osią Y od minus pięciu do ośmiu. Na płaszczyźnie narysowano wykres funkcji f będący krzywą biegnącą niemal pionowo od minus nieskończoności w trzeciej ćwiartce, przez początek układu współrzędnych i dalej wykres biegnie niemal pionowo do plus nieskończoności w pierwszej ćwiartce.
Wykres tej funkcji jest symetryczny względem punktu .
Wykażemy na podstawie definicji, że funkcja ta jest nieparzysta.
Dziedzią funkcji jest zbiór wszystkich liczb rzeczywistych, więc zapiszemy oraz jeśli liczba to również liczba , sprawdzamy teraz czy zachodzi równość
.
Obliczamy wartość funkcji dla argumentu i mamy:
, warunek powyższy jest spełniony, więc funkcja jest nieparzysta.
Zajmiemy się teraz badaniem nieparzystości funkcji.
Własności funkcji nieparzystej
Własność: Własności funkcji nieparzystej
Należy pamiętać, że badając nieparzystość funkcji będziemy często korzystać z następujących własności – dla każdego :
,
,
.
Przykład 1
Zbadamy nieparzystość funkcji .
Dziedziną tej funkcji jest zbiór wszystkich liczb rzeczywistych, więc zapiszemy oraz jeśli liczba to również liczba , sprawdzamy teraz czy zachodzi równość
,
Obliczamy wartość funkcji dla argumentu i mamy:
, warunek powyższy jest spełniony, stąd wniosek, że funkcja jest nieparzysta.
Wykres tej funkcji jest symetryczny względem początku układu współrzędnych.
RkzKbyKHqFLbG
Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią X od minus sześciu do sześciu oraz z pionową osią Y od minus pięciu do pięciu. Na płaszczyźnie narysowano wykres funkcji wielomianowej f będący krzywą biegnącą niemal pionowo od minus nieskończoności w trzeciej ćwiartce, przez punkt nawias minus 1 średnik 0 zamknięcie nawiasu. Powyżej tego punktu wykres przyjmuje postać niewielkiego łuku. Dalej wykres biegnie w dół, przebiegając przez początek układu współrzędnych. W czwartej ćwiartce wykres przyjmuje postać podobnego łuku, przecina oś X w punkcie nawias 1 średnik 0 zamknięcie nawiasu i dalej wykres biegnie niemal pionowo do plus nieskończoności w pierwszej ćwiartce.
Przykład 2
Zbadamy nieparzystość funkcji .
Dziedziną tej funkcji jest zbiór wszystkich liczb rzeczywistych, więc zapiszemy oraz jeśli liczba , to również liczba , sprawdzamy teraz czy zachodzi równość
,
Obliczamy wartość funkcji dla argumentu i mamy:
, warunek powyższy jest spełniony, stąd wniosek, że funkcja jest nieparzysta.
Wykres tej funkcji jest symetryczny względem punktu .
R13csK7AAuVTy
Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią X od minus sześciu do sześciu oraz z pionową osią Y od minus trzech do trzech. Na płaszczyźnie narysowano wykres funkcji f będący sinusoidalną krzywą. Zakres wartości tej funkcji to zbiór domknięty od minus jeden do jeden, a okres funkcji to pi.
Przykład 3
Niech dana będzie funkcja .
Zbadamy nieparzystość funkcji: najpierw wyznaczamy dziedzinę funkcji oraz zauważamy, że jeśli liczba to również liczba , następnie sprawdzamy czy ,
Tak, więc funkcja jest funkcją nieparzystą, oznacza to również, że wykres funkcji jest symetryczny względem początku układu współrzędnych.
Warto zauważyć, że w każdym ze składników tej funkcji zmienna jest w nieparzystej potędze.
RQ9pp9PAypSrd
Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią X od minus sześciu do sześciu oraz z pionową osią Y od minus pięciu do pięciu. Na płaszczyźnie narysowano wykres funkcji wielomianowej f będący krzywą biegnącą niemal pionowo od minus nieskończoności w drugiej ćwiartce i biegnie w dół do punktu nawias minus jeden średnik minus dwa zamknięcie nawiasu. Stąd wykres odbija w górę i biegnie z uskokiem do początku układu współrzędnych i dalej również z biegnie z uskokiem w do punktu nawias jeden średnik dwa zamknięcie nawiasu. Z tego punktu wykres odbija w dół i biegnie niemal pionowo w czwartej ćwiartce.
Przykład 4
Niech dana będzie funkcja .
Zbadamy nieparzystość funkcji: najpierw wyznaczamy dziedzinę funkcji , zauważmy, że jeśli liczba to również liczba , następnie sprawdzamy czy ,
Tak, więc funkcja jest funkcją nieparzystą, oznacza to również, że wykres funkcji jest symetryczny względem początku układu współrzędnych.
RSMl7FncZjqyE
Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią X od minus sześciu do sześciu oraz z pionową osią Y od minus pięciu do pięciu. Na płaszczyźnie narysowano wykres funkcji f składający się z dwóch części: jedna z części jest hiperbolą znajdującą się w trzeciej i w pierwszej ćwiartce, a druga z nich przypomina wykres funkcji potęgowej o nieparzystym wykładniku i ujemnej podstawie, czyli jest krzywą biegnącą w drugiej ćwiartce niemal pionowo w dół. Wykres łukowato skręca w prawo i przebiega przez punkt nawias 0 średnik 0 zamknięcie nawiasu. Dalej wykres biegnie niemal pionowo w dół w czwartej ćwiartce. Na rysunku linią przerywaną zaznaczono również dwie pionowe asymptoty określone równaniami: x równa się minus jeden oraz x równa się jeden.
Przykład 5
Dane są funkcje nieparzyste oraz .
Zbadamy czy funkcja , która jest sumą funkcji nieparzystych jest funkcją nieparzystą.
Najpierw wyznaczamy wzór funkcji .
Dziedziną tej funkcji jest zbiór wszystkich liczb rzeczywistych z wyłączeniem liczby , zatem oraz jeśli liczba to również liczba , sprawdzamy teraz czy zachodzi równość:
.
Wyznaczymy teraz wartość funkcji dla argumentu :
,
warunek powyższy jest spełniony, stąd otrzymujemy, że funkcja jest nieparzysta.
Przykład 6
Dane są funkcje: nieparzysta oraz parzysta .
Zbadamy, czy funkcja , która jest iloczynem funkcji nieparzystej i funkcji parzystej jest funkcją nieparzystą.
Najpierw wyznaczamy wzór funkcji .
Dziedziną funkcji: oraz jeśli liczba to również liczba , sprawdzamy teraz czy zachodzi równość:
.
Wyznaczymy teraz wartość funkcji dla argumentu :
,
warunek powyższy jest spełniony, stąd otrzymujemy, że funkcja jest nieparzysta.
Ważne!
W powyższych przykładach rozważaliśmy takie funkcje, że:
suma funkcji nieparzystych była funkcją nieparzystą, natomiast iloczyn funkcji parzystej i nieparzystej był funkcją nieparzystą.
Przykład 7
Zapoznaj się z poniższym apletem.
Używając suwaków, możesz zmieniać wzory przykładowych funkcji nieparzystych, możesz obserwować jak wygląda wykres każdej z trzech funkcji , oraz . Wykres każdej powstającej funkcji jest symetryczny względem punktu .
Zapoznaj się z opisem poniższego apletu.
RHau7iQ9MbaRA
W aplecie przedstawiono wykres współrzędnych. Na płaszczyźnie pojawiają się wykresy następujących funkcji: , oraz . Możemy wybrać parametry a i b. Zakres dla parametru a wynosi od minus pięciu do pięciu co jeden. Zakres dla parametru b wynosi od minus dwa do dwa co jedną dziesiątą. Podamy dwa przykłady dla wybranych parametrów a i b dla każdej z funkcji f, g oraz h i opiszemy kształt wykresu, jaki przyjmują te funkcje dla wybranych przez nas parametrów. Przykład pierwszy: a równa się minus 3, b równa się 0 przecinek sześć. Funkcja f przyjmuje postać: . Wykres funkcji f to wykrzywiona hiperbola znajdująca się głównie w drugiej i czwartej ćwiartce. Część górna hiperboli przebija w punkcie nawias mins 1 średnik 0 zamkniecie nawiasu do trzeciej ćwiartki, zatacza tam niewielki łuk i wypłaszcza się w lewo niemal poziomo do ujemnej półosi O X. Podobnie z dolną częścią hiperboli. W przedziale od zera do jeden jest niemal pionowa, w punkcie nawias 1 średnik 0 zamknięciu nawiasu przebija do pierwszej ćwiartki, w której zatacza niewielki łuk, po czym wypłaszcza się w prawo do dodatniej półosi O X. Dla tych samych parametrów funkcja g przyjmuje postać: . Wykres funkcji g jest zmodyfikowaną, nieregularną sinusoidą, której maksima w poszczególnych kawałkach dziedziny osiągają coraz wyższe wartości, idąc w stronę obu nieskończoności. W okolicy początku układu współrzędnych wyskoki wykresu znacznie się zmniejszają. Funkcja przebiega przez punkt nawias 0 średnik zero zamknięcie nawiasu. Funkcja h dla wybranych parametrów przyjmuje postać . Wykres tej funkcji przyjmuje postać hiperboli o znacznie rozsuniętych i ostrzejszych, niż standardowo łukach. Łuki te leżą w drugiej i w czwartej ćwiartce. Drugą składową wykresu jest krzywa przypominająca wykres funkcji potęgowej z nieparzystą potęgą, jednak ta krzywa jest bardziej wypłaszczona w okolicy początku układu współrzędnych. Przykład drugi: wartość a wynosi 5, a wartość b wynosi minus 0 przecinek pięć. Funkcja f przyjmuje dla tych parametrów postać . Wykres tej funkcji wielomianowej biegnie niemal pionowo w trzeciej ćwiartce do punktu nawias minus 1 średnik zero zamknięcie nawiasu. W punkcie tym przebija do drugiej ćwiartki, gdzie zatacza nieregularny niewielki łuk i przebiega przez początek układu współrzędnych do ćwiartki czwartej, gdzie zatacza podobny niewielki łuk i przebija do pierwszej ćwiartki, biegnąc przez punkt nawias 1 średnik zero zamkniecie nawiasu. W pierwszej ćwiartce wykres biegnie niemal pionowo. Funkcja g przyjmuje tu postać: . Tutaj funkcja przypomina zmodyfikowaną sinusoidę, która wokół początku układu współrzędnych osiąga niewielkie wartości. Im dalej od tego punktu, tym funkcja przyjmuje coraz większe wartości. Funkcja h przyjmuje tu postać . Wykres funkcji h składa się z dwóch części. Pierwsza z nich to odsunięta od początku układu współrzędnych hiperbola, której obie części są ostrymi łukami leżącymi w trzeciej i w pierwszej ćwiartce. Druga składowa wykresu to krzywa biegnąca w drugiej ćwiartce niemal pionowo, zbliżająca się do początku układu po łuku. krzywa ta przebiega przez punkt nawias 0 średnik 0 zamkniecie nawiasu i dalej biegnie w czwartej ćwiartce również niemal pionowo.
W aplecie przedstawiono wykres współrzędnych. Na płaszczyźnie pojawiają się wykresy następujących funkcji: , oraz . Możemy wybrać parametry a i b. Zakres dla parametru a wynosi od minus pięciu do pięciu co jeden. Zakres dla parametru b wynosi od minus dwa do dwa co jedną dziesiątą. Podamy dwa przykłady dla wybranych parametrów a i b dla każdej z funkcji f, g oraz h i opiszemy kształt wykresu, jaki przyjmują te funkcje dla wybranych przez nas parametrów. Przykład pierwszy: a równa się minus 3, b równa się 0 przecinek sześć. Funkcja f przyjmuje postać: . Wykres funkcji f to wykrzywiona hiperbola znajdująca się głównie w drugiej i czwartej ćwiartce. Część górna hiperboli przebija w punkcie nawias mins 1 średnik 0 zamkniecie nawiasu do trzeciej ćwiartki, zatacza tam niewielki łuk i wypłaszcza się w lewo niemal poziomo do ujemnej półosi O X. Podobnie z dolną częścią hiperboli. W przedziale od zera do jeden jest niemal pionowa, w punkcie nawias 1 średnik 0 zamknięciu nawiasu przebija do pierwszej ćwiartki, w której zatacza niewielki łuk, po czym wypłaszcza się w prawo do dodatniej półosi O X. Dla tych samych parametrów funkcja g przyjmuje postać: . Wykres funkcji g jest zmodyfikowaną, nieregularną sinusoidą, której maksima w poszczególnych kawałkach dziedziny osiągają coraz wyższe wartości, idąc w stronę obu nieskończoności. W okolicy początku układu współrzędnych wyskoki wykresu znacznie się zmniejszają. Funkcja przebiega przez punkt nawias 0 średnik zero zamknięcie nawiasu. Funkcja h dla wybranych parametrów przyjmuje postać . Wykres tej funkcji przyjmuje postać hiperboli o znacznie rozsuniętych i ostrzejszych, niż standardowo łukach. Łuki te leżą w drugiej i w czwartej ćwiartce. Drugą składową wykresu jest krzywa przypominająca wykres funkcji potęgowej z nieparzystą potęgą, jednak ta krzywa jest bardziej wypłaszczona w okolicy początku układu współrzędnych. Przykład drugi: wartość a wynosi 5, a wartość b wynosi minus 0 przecinek pięć. Funkcja f przyjmuje dla tych parametrów postać . Wykres tej funkcji wielomianowej biegnie niemal pionowo w trzeciej ćwiartce do punktu nawias minus 1 średnik zero zamknięcie nawiasu. W punkcie tym przebija do drugiej ćwiartki, gdzie zatacza nieregularny niewielki łuk i przebiega przez początek układu współrzędnych do ćwiartki czwartej, gdzie zatacza podobny niewielki łuk i przebija do pierwszej ćwiartki, biegnąc przez punkt nawias 1 średnik zero zamkniecie nawiasu. W pierwszej ćwiartce wykres biegnie niemal pionowo. Funkcja g przyjmuje tu postać: . Tutaj funkcja przypomina zmodyfikowaną sinusoidę, która wokół początku układu współrzędnych osiąga niewielkie wartości. Im dalej od tego punktu, tym funkcja przyjmuje coraz większe wartości. Funkcja h przyjmuje tu postać . Wykres funkcji h składa się z dwóch części. Pierwsza z nich to odsunięta od początku układu współrzędnych hiperbola, której obie części są ostrymi łukami leżącymi w trzeciej i w pierwszej ćwiartce. Druga składowa wykresu to krzywa biegnąca w drugiej ćwiartce niemal pionowo, zbliżająca się do początku układu po łuku. krzywa ta przebiega przez punkt nawias 0 średnik 0 zamkniecie nawiasu i dalej biegnie w czwartej ćwiartce również niemal pionowo.
