Przedstawimy wyrażenie $\frac{\cos 22,5°}{\sin 22,5°}+\frac{\sin 22,5°}{\cos 22,5°}$ w najprostszej postaci, a następnie obliczymy jego wartość.

Rozwiązanie:

$\frac{\cos 22,5°}{\sin 22,5°}+\frac{\sin 22,5°}{\cos 22,5°}=\frac{{\cos }^{2}22,5°}{\sin 22,5°·\cos 22,5°}+\frac{{\sin }^{2}22,5°}{\sin 22,5°·\cos 22,5°}=$

$=\frac{{\sin }^{2}22,5°+{\cos }^{2}22,5°}{\sin 22,5°·\cos 22,5°}=\frac{1}{\sin 22,5°·\cos 22,5°}$

Jeżeli zastosujemy wzór $\sin 2\alpha =2\sin \alpha ·\cos \alpha$, to

$\frac{1}{\sin 22,5°·\cos 22,5°}=\frac{2}{2\sin 22,5°·\cos 22,5°}=\frac{2}{\sin 45°}=\frac{2}{{\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}}}=2\sqrt{2}$.

Wykażemy, że wartość wyrażenia ${\left(2\sin \alpha -2\cos \alpha \right)}^2+{\left(2\sin \alpha +2\cos \alpha \right)}^2$ jest stała i nie zależy od wartości funkcji trygonometrycznych kąta $\alpha$.

Rozwiązanie:

Użyjemy wzorów skróconego mnożenia na kwadrat różnicy i sumy dwóch wyrażeń.

Zatem

${\left(2\sin \alpha -2\cos \alpha \right)}^2+{\left(2\sin \alpha +2\cos \alpha \right)}^2=$

$=4{\sin }^2\alpha -8\sin \alpha \cos \alpha +4{\cos }^2\alpha +4{\sin }^2\alpha +8\sin \alpha \cos \alpha +4{\cos }^2\alpha =$

$=8{\sin }^2\alpha +8{\cos }^2\alpha =8·\left({\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha \right)=8·1=8$.

Zauważmy, że do uproszczenia wyrażenia wykorzystaliśmy wzór na jedynkę trygonometryczną.

Wartość wyrażenia jest stała i nie zależy od wartości funkcji trygonometrycznych kąta $\alpha$.

Przedstawimy wyrażenie $\left(\frac{1}{{\sin }^2\alpha }+\frac{1}{{\cos }^2\alpha }\right)·{\sin }^2\alpha$ w najprostszej postaci oraz obliczymy jego wartość, gdy $\cos \alpha =\frac{1}{3}$.

Rozwiązanie:

Po sprowadzeniu ułamków do wspólnego mianownika otrzymujemy:

$\left(\frac{1}{{\sin }^2\alpha }+\frac{1}{{\cos }^2\alpha }\right)·{\sin }^2\alpha =\left(\frac{{\cos }^2\alpha }{{\sin }^2\alpha ·{\cos }^2\alpha }+\frac{{\sin }^2\alpha }{{\sin }^2\alpha ·{\cos }^2\alpha }\right)·{\sin }^2\alpha =$

$=\frac{{\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha }{{\sin }^2\alpha ·{\cos }^2\alpha }·{\sin }^2\alpha =\frac{1}{{\sin }^2\alpha ·{\cos }^2\alpha }·{\sin }^2\alpha =\frac{1}{{\cos }^2\alpha }$.

Zauważmy, że po sprowadzeniu ułamków do wspólnego mianownika, w liczniku otrzymaliśmy wzór na jedynkę trygonometryczną.

Wartość wyrażenia dla $\cos \alpha =\frac{1}{3}$ wynosi:

$\frac{1}{{\left({\displaystyle \frac{1}{3}}\right)}^2}=9$.

Przedstawimy wyrażenie $\frac{\cos \alpha }{1-\sin \alpha }+\frac{\cos \alpha }{1+\sin \alpha }$ w najprostszej postaci, a następnie obliczymy jego wartość dla $\alpha =30°$.

Rozwiązanie:

Po sprowadzeniu ułamków do wspólnego mianownika otrzymujemy, że:

$\frac{\cos \alpha }{1-\sin \alpha }+\frac{\cos \alpha }{1+\sin \alpha }=\frac{\cos \alpha ·\left(1+\sin \alpha \right)}{\left(1-\sin \alpha \right)·\left(1+\sin \alpha \right)}+\frac{\cos \alpha ·\left(1-\sin \alpha \right)}{\left(1-\sin \alpha \right)·\left(1+\sin \alpha \right)}=$

$=\frac{\cos \alpha +\cos \alpha ·\sin \alpha +\cos \alpha -\cos \alpha ·\sin \alpha }{1-{\sin }^2\alpha }=\frac{2\cos \alpha }{{\cos }^2\alpha }=\frac{2}{\cos \alpha }$.

Zatem dla $\alpha =30°$ wartość wyrażenia wynosi

$\frac{2}{\cos 30°}=\frac{2}{{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}}=\frac{4\sqrt{3}}{3}$.

Przedstawimy wyrażenie $\frac{{\sin }^3\alpha +\sin \alpha ·{\cos }^2\alpha }{{\sin }^2\alpha ·\cos \alpha +{\cos }^3\alpha }$ w najprostszej postaci, a następnie obliczymy jego wartość, gdy $\mathrm{tg}\alpha =3$.

Rozwiązanie:

Po wyłączeniu wspólnego czynnika przed nawias, w liczniku i mianowniku ułamka otrzymujemy, że

$\frac{{\sin }^3\alpha +\sin \alpha ·{\cos }^2\alpha }{{\sin }^2\alpha ·\cos \alpha +{\cos }^3\alpha }=\frac{\sin \alpha ·\left({\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha \right)}{\cos \alpha ·\left({\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha \right)}=\frac{\sin \alpha ·1}{\cos \alpha ·1}=\mathrm{tg}\alpha$.

Zatem wartość wyrażenia wynosi $3$.

Przedstawimy wyrażenie $\frac{{\left({\displaystyle \frac{1}{\mathrm{tg}\alpha }}\right)}^2+1}{{\mathrm{tg}}^2\alpha +1}$ w najprostszej postaci, a następnie obliczymy jego wartość, gdy $\sin \alpha =\frac{2}{3}$ oraz $\alpha$ jest kątem ostrym.

Rozwiązanie:

$\frac{{\left({\displaystyle \frac{1}{\mathrm{tg}\alpha }}\right)}^2+1}{{\mathrm{tg}}^2\alpha +1}=\frac{{\displaystyle \frac{1}{{\mathrm{tg}}^2\alpha }+1}}{{\mathrm{tg}}^2\alpha +1}=\frac{{\displaystyle \frac{1}{{\mathrm{tg}}^2\alpha }+\frac{{\mathrm{tg}}^2\alpha }{{\mathrm{tg}}^2\alpha }}}{{\mathrm{tg}}^2\alpha +1}=\frac{{\displaystyle \frac{1+{\mathrm{tg}}^2\alpha }{{\mathrm{tg}}^2\alpha }}}{{\mathrm{tg}}^2\alpha +1}=$

$=\frac{1+{\mathrm{tg}}^2\alpha }{{\mathrm{tg}}^2\alpha }·\frac{1}{{\mathrm{tg}}^2\alpha +1}=\frac{1}{{\mathrm{tg}}^2\alpha }$

Jeżeli $\sin \alpha =\frac{2}{3}$, to korzystając ze wzoru na jedynkę trygonometryczną mamy:

${\left(\frac{2}{3}\right)}^2+{\cos }^2\alpha =1$

$\frac{4}{9}+{\cos }^2\alpha =1$

${\cos }^2\alpha =\frac{5}{9}$, więc $\cos \alpha =\frac{\sqrt{5}}{3}$ lub $\cos \alpha =-\frac{\sqrt{5}}{3}$.

Ponieważ $\alpha$ jest kątem ostrym, to $\cos \alpha =\frac{\sqrt{5}}{3}$.

Zatem $\mathrm{tg}\alpha =\frac{{\displaystyle \frac{2}{3}}}{{\displaystyle \frac{\sqrt{5}}{3}}}=\frac{2}{\sqrt{5}}$.

Wartość wyrażenia $\frac{1}{{\mathrm{tg}}^2\alpha }$ wynosi $\frac{1}{{\left({\displaystyle \frac{2}{\sqrt{5}}}\right)}^2}=\frac{1}{{\displaystyle \frac{4}{5}}}=\frac{5}{4}$.

funkcje matematyczne wyrażające stosunek między długościami boków trójkąta prostokątnego względem miar jego kątów wewnętrznych

podstawowa zależność pomiędzy funkcjami trygonometrycznymi