Równaniem wielomianowym stopnia $n$, $n\in \mathrm{\mathbb{N}}$, nazywamy równanie, które można zapisać w postaci

gdzie:
$W\left(x\right)$ – jest wielomianem stopnia $n$.

Pierwiastkiem wielomianu $W\left(x\right)$ nazywamy taką liczbę rzeczywistą $a$, dla której zachodzi warunek $W\left(a\right)=0$.

Wykażemy, że suma rozwiązań równaniarozwiązania równaniarozwiązań równania $x^{30}-4x^{28}\mathrm{}=4-x^2$ jest równa $0$. 
$x^{30}+x^2-4x^{28}\mathrm{}-4=0$ Zastosujemy metodę grupowania wyrazów.

$x^2\left(x^{28}+1\right)-4\left(x^{28}+1\right)=0$

Wyłączymy sumę algebraiczną $\left(x^{28}+1\right)$ przed nawias.

$\left(x^{28}+1\right)\left(x^2-4\right)=0$

$x^{28}+1=0$ lub $x^2-4=0$

$x^{28}=-1$ lub $x^2=4$

sprzeczne,  $x_1=2$ lub $x_2=-2$
Suma rozwiązań równania jest równa:

$x_1+x_2=2+\left(-2\right)=0$.

Zatem wykazaliśmy, że suma rozwiązań równania jest równa $0$.

Udowodnimy, że jedynym rozwiązaniem równania $x^5+3x^4+7x^3=0$ w zbiorze liczb rzeczywistych jest liczba $0$.

$x^5+3x^4+7x^3=0$

Wyłączymy przed nawias wyrażenie $x^3$.

$x^3\left(x^2+3x+7\right)=0$

$x^3=0$ lub $x^2+3x+7=0$

$x=0,$$∆=3^2-4·7=9-28=-19<0$

Drugie równanie nie posiada rozwiązania.

Jedynym rozwiązaniem równania jest $x=0$.

Wykażemy, że rozwiązania równaniarozwiązania równaniarozwiązania równania $x^3-6x^2+11x-6=0$ są kolejnymi liczbami naturalnymi.

$x^3-6x^2+11x-6=0$

Zapiszemy równanie w postaci równoważnej tak, abyśmy mogli pogrupować wyrazy i wyłączyć wspólny czynnik przed nawias.

$x^3-x^2-5x^2+5x+6x-6=0$

$x^2\left(x-1\right)-5x\left(x-1\right)+6\left(x-1\right)=0$

$\left(x-1\right)\left(x^2-5x+6\right)=0$

$x-1=0$ lub $x^2-5x+6=0$

$x=1$

Z wzorów Viete'awzory Viete’awzorów Viete'a możemy odgadnąć, że $x=2$ lub $x=3$.

Równanie ma trzy rozwiązania $x=1$, $x=2$, $x=3$, które są kolejnymi liczbami naturalnymi.

Wykażemy, że dla $a=6$ pierwiastki równania są kolejnymi liczbami parzystymi.

$x^3-\left(a+6\right)x^2+2\left(3a+4\right)x-8a=0$

Podstawiamy w miejsce $a$ liczbę $6$ i rozwiązujemy równanie z niewiadomą $x$.

$x^3-\left(6+6\right)x^2+2\left(3·6+4\right)x-8·6=0$

$x^3-12x^2+44x-48=0$

$x^3-6x^2-6x^2+36x+8x-48=0$

$x^2(x-6)-6x(x-6)+8(x-6)=0$

$\left(x-6\right)\left(x^2-6x+8\right)=0$

$(x-6)(x-4)(x-2)=0$

$x=6$ lub $x=4$ lub $x=2$

Dla $a=6$ pierwiastki równania są kolejnymi liczbami parzystymi.

Wykażemy, że dla $m=4$ równanie $\left(x+2\right)\left(x^2+mx+m\right)=0$ ma tylko jedno rozwiązanie.

Dla $m=4$ otrzymujemy:

$\left(x+2\right)\left(x^2+4x+4\right)=0$

$\left(x+2\right){\left(x+2\right)}^2=0$

${\left(x+2\right)}^3=0$

$x=-2$

Wykazaliśmy, że dla $m=4$ liczba $x=-2$ jest jedynym rozwiązaniem równania.

Udowodnimy, że równanie $x^4-x^2+2x+3=0$ jest sprzeczne dla każdego $x\in ℝ$.

$x^4-x^2+2x+3=0$

$x^4-2x^2+x^2+2x+1+1+1=0$

$x^4-2x^2+1+x^2+2x+1+1=0$

${(x^2-1)}^2+{(x+1)}^2+1=0$

Lewa strona równania przyjmuje zawsze wartości dodatnie, bo ${\left(x^2-1\right)}^2\ge 0$ i  ${\left(x+1\right)}^2\ge 0$ i jeżeli do sumy liczb nieujemnych dodamy $1$, to wynik będzie dodatni. Zatem równanie nie posiada rozwiązania.

Wykażemy, że jeżeli równanie $x^3+a{x}^2+ax+1=0$ mają spełniać tylko dwie liczby, to są to liczby $-1$ i $1$.

$x^3+a{x}^2+ax+1=0$

$x^3+1+a{x}^2+ax=0$

$\left(x+1\right)\left(x^2-x+1\right)+ax\left(x+1\right)=0$

$\left(x+1\right)\left(x^2-x+1+ax\right)=0$

$\left(x+1\right)\left(x^2+\left(a-1\right)x+1\right)=0$

$\left(x+1\right)=0$ lub $\left(x^2+\left(a-1\right)x+1\right)=0$

$x=-1$

$\left(x^2+\left(a-1\right)x+1\right)=0$

Aby równanie miało $1$ rozwiązanie $∆=0$.

$\Delta ={\left(a-1\right)}^2-4=a^2-2a+1-4=a^2-2a-3$

$a^2-2a-3=0$

$a=-1$ lub $a=3$

dla $a=-1$ otrzymujemy:

$x^2-2x+1=0$

${\left(x-1\right)}^2=0$

$x=1$

dla $a=3$ otrzymujemy:

$x^2+2x+1=0$

${\left(x+1\right)}^2=0$

$x=-1$ - nie spełnia warunków zadania, bo wtedy równanie ma jedno rozwiązanie, a nie dwa. Czyli $a=3$ nie spełnia warunków zadania.

liczby spełniające równanie

jeżeli równanie kwadratowe $a{x}^2+bx+c=0$, gdzie $a\ne 0$, ma pierwiastki $x_1$, $x_2$, to $x_1+x_2=-\frac{b}{a}$ oraz $x_1·x_2=\frac{c}{a}$