Trójkąt Pascala tworzą liczby całkowite dodatnie $\left(1,2,3,\dots \right)$ zgodnie z następującym schematem: w wierzchołku trójkąta (czyli w wierszu początkowym – zerowym) oraz na obu jego równych ramionach znajdują się jedynki. W środku, począwszy od trzeciego wiersza, znajdują się sumy dwóch liczb z wiersza powyżej, które są położone bezpośrednio nad daną liczbą. Fragment trójkąta Pascala przedstawiony jest poniżej.

R1GzjqbmT0gCa

Rysunek przedstawia trójkąt Pascala. Wiersz zerowy: 1, wiersz pierwszy: 1 1, wiersz drugi: 1 2 1, wiersz trzeci: 1 3 3 1, wiersz czwarty: 1 4 6 4 1, wiersz piąty: 1 5 10 10 5 1, wiersz szósty: 1 6 15 20 15 6 1

Przypomnijmy teraz wzór na współczynnik dwumianowy:

gdzie $n$, $k$ to dowolne liczby całkowite nieujemne $\left(0,1,2,3,...\right)$ oraz $n\le k$. Przypomnimy także wzór na dwumian Newtona, który wiąże się bezpośrednio z trójkątem Pascala, co pokażemy w dalszej części. Dwumian Newtona jest postaci:

przy czym $n$ jest dowolną liczbą całkowitą nieujemną oraz $a$, $b$ są dowolnymi liczbami rzeczywistymi.

Liczby w trójkącie Pascala (począwszy od wiersza drugiego) odpowiadają współczynnikom rozwinięcia wzoru na $n$ – tą potęgę sumy.

Na przykład liczby w trzecim wierszu trójkąta Pascala: $1$, $3$, $3$, $1$ to kolejne współczynniki liczbowe rozwinięcia sześcianu sumy.

Czym jest zatem trójkąt Pascala?

Jest to ciąg liczb ułożony w trójkąt o określonych własnościach matematycznych.

Własności trójkąta Pascala

1. Symetria.

Pierwszą własnością trójkąta Pascala, którą możemy zauważyć, jest symetria. Mianowicie możemy wykreślić prostą przechodząca przez pierwsze wyrazy każdego wiersza, następnie kolejną prostą przez drugie wyrazy każdego wiersza. Czynność tę możemy powtarzać w nieskończoność, otrzymując tzw. skosy.

Pierwszy skos składa się z samych jedynek. Drugi to kolejne liczby naturalne, trzeci to liczby trójkątneliczby trójkątneliczby trójkątne, a czwarty – czworościenne (piramidalne)liczby czworościenneczworościenne (piramidalne). Symetria polega na tym, że w każdym przypadku mamy dwie przecinające się proste w punkcie, leżącym na osi symetii trójkąta.

2. Sumy liczb w poszczególnych wierszach to kolejne potęgi liczby $2$.

Kolejne potęgi naturalne dwójki:

• dla $0$ mamy: $2^0=1$,

• dla $1$ mamy: $2^1=2$,

• dla $2$ mamy: $2^2=4$,

• dla $3$ mamy: $2^3=8$,

• dla $4$ mamy: $2^4=16$

• i tak dalej.

Sumy liczb w kolejnych wierszach wynoszą:

• dla $0$ mamy: $1=1$

• dla $1$ mamy: $1+1=2$,

• dla $2$ mamy: $1+2+1=4$,

• dla $3$ mamy: $1+3+3+1=8$,

• dla $4$ mamy: $1+4+6+4+1=16$

• i tak dalej.

3. Suma kwadratów wszystkich elementów wiersza o numerze $n$ (numerując od zera) jest równa środkowemu elementowi wiersza $2n$.

Weźmy na przykład wiersz trzeci i szósty (dla $n=3, 2n=6$). Wiersz trzeci: $1$, $3$, $3$, $1$.

Suma kwadratów wyrazów wiersza trzeciego: $1^2+3^2+3^2+1^2=20$.

Wiersz szósty: $1$, $6$, $15$, $20$, $15$, $6$, $1$.

Jak widzimy na tym przykładzie, suma kwadratów wyrazów wiersza trzeciego rzeczywiście równa się środkowemu wyrazowi wiersza szóstego, czyli $20$.

4. Zastępując w trójkącie Pascala każdą liczbę nieparzystą jedynką, a parzystą zerem, otrzymujemy geometryczny wzór trójkąta Sierpińskiego.

R1Lhrb40rfrZY

Rysunek przedstawia trójkąt Sierpińskiego, który jest trójkątem równobocznym, którego środki boków są połączone w równoboczny trójkąt wewnętrzny. Trójkąt wewnętrzny jest wycięty z trójkąta wyjściowego. Wewnątrz trójkąta pozostały trzy trójkąty równoboczne znajdujące się wokół wyciętego trójkąta. W każdym z nich również połączono środki boków w trójkąt, który również wycięto. Schemat podziału i wycinania części trójkątów powtarzany jest w nieskończoność, w związku z czym trójkąt ten jest fraktalem.

Słownik