Przeczytaj
Popatrzmy na rysunek poniżej, gdzie ramiona kąta o wierzchołkukąta o wierzchołku w punkcie przecięte są dwiema prostymi równoległymiprostymi równoległymi. Wówczas stosunek długości odcinków wyznaczonych na jednym ramieniu kątaramieniu kąta jest równy stosunkowi długości odcinków wyznaczonych na drugim ramieniu kątakąta, czyli
![Ilustracja przedstawia dwie półproste o wspólnym początku w punkcie O wyznaczające kąt ostry. Półproste są ramionami kąta. Przez ramiona kąta przechodzą dwie ukośne równoległe proste. Pierwsza prosta przecina górne ramię w punkcie P i dolne w punkcie P prim. Druga prosta przecina górne ramię w punkcie Q i dolne w punkcie Q prim.](https://static.zpe.gov.pl/portal/f/res-minimized/Rp5ZWIemqCcb8/1619782590/1Xumhixggq87RXqTC896i8vNiVflqL62.png)
Zauważmy, że równość jest równoważna równości oraz, że i .
Zatem tezę możemy zapisać w następującej postaci:
co łatwo przekształcamy do wzoru:
i dalej
co jest wnioskiem z Twierdzenia Talesa.
Wykorzystując twierdzenie o stosunku odcinków wyznaczonych przez dwie proste równoległe na ramionach kąta, możemy geometrycznie dokonać podziału danego odcinka w stosunku wyznaczonym przez długości dwóch innych odcinków i , tak jak na rysunku, nie mierząc długości tych odcinków.
![Na ilustracji przedstawiono trzy poziome odcinki. Na niższym poziomie narysowano najdłuższy odcinek A B, a nad nim dwa krótsze odcinki: po lewo C D i po prawo E F.](https://static.zpe.gov.pl/portal/f/res-minimized/Rs6nCvKUsau5n/1619782591/2Av0e4lpu6xQB8I2mMmNUtV2DFKCrOM5.png)
Rozwiązanie
Konstrukcja podziału odcinka, gdzie stosunek jest podany w postaci dwóch odcinków podziału, polega następujących krokach przedstawionych na rysunku:
![W górnej części ilustracji przedstawiono dwa poziome odcinki: krótszy C D i dłuższy E F. Poniżej przedstawiono półprostą o początku w punkcie A. Następnie narysowano dwa nachodzące na siebie okręgi narysowane linią przerywaną. Mniejszy okrąg ma środek w punkcie A i promień o długości takiej jak odcinek C D. Wyróżniony promień mniejszego okręgu to odcinek A P, gdzie punkt P leży na półprostej. Większy okrąg ma środek w punkcie P, wyróżniono jego promień P Q, który jest długości odcinka E F, a punkt Q również leży na półprostej. Z punktu A poprowadzono poziomy odcinek A B. Przez okręgi i punkty P i Q poprowadzono dwie ukośne równoległe proste narysowane linią przerywaną. Proste te przecinają również poziomy odcinek A B w taki sposób, że prosta przechodząca przez punkt P przecina odcinek A B w puncie P prim, a prosta przechodząca przez punkt Q przecina odcinek A B w punkcie B.](https://static.zpe.gov.pl/portal/f/res-minimized/R6xOeNFBpHO3S/1619782591/1hNdwBBNJumQpoKqY8EclJpQpbAORCEJ.png)
Narysuj półprostą o początku w punkcie .
Zmierz cyrklem długość odcinka i wstawiając nóżkę cyrkla w punkcie zatocz łuk tak, by przeciął się z półprostą . Niech oznacza ten punkt przecięcia.
Zmierz cyrklem długość odcinka i wstawiając nóżkę cyrkla w punkcie zatocz łuk tak, by przeciął się z półprostą . Niech oznacza ten punkt przecięcia.
Przez punkty i poprowadź prostą .
Przez punkt poprowadź prostą równoległą do prostej . Niech oznacza punkt przecięcia prostej z odcinkiem .
Punkt jest taki, że .
Załóżmy, że dany jest stosunek . Mówimy, że punkt leżący na odcinku dzieli odcinek w stosunku , jeśli
Punkt w poprzedniej konstrukcji jest punktem podziału odcinka w stosunku .
Możemy dokonać podziału odcinka również w sytuacji, gdy podane są tylko długości odcinków i z poprzedniej konstrukcji, pod warunkiem, że potrafimy skonstruować odcinki o podanych długościach.
Zastanówmy się jak konstrukcyjnie podzielić odcinek w stosunku .
Rozwiązanie
Narysujemy odcinek długości , korzystając z twierdzenia Pitagorasa przedstawionego na rysunku:
![Ilustracja przedstawia trójkąt prostokątny o pionowej przyprostokątnej a, podstawie b i przeciwprostokątnej c. Obok trójkąta zapisano wzór: a2+b2=c2.](https://static.zpe.gov.pl/portal/f/res-minimized/R1EwPhsY7X7m7/1619782592/20tBiP6ze9rXBY5H7q64EXBBvWl0HpzD.png)
Zauważmy, że jeśli , , to .
![Ilustracja przedstawia trójkąt równoboczny o boku o długości c równa się dwa. Z górnego wierzchołka upuszczono wysokość b, która podzieliła trójkąt na pół. Między wysokością b a podstawą oznaczono kat prosty. Połowa podstawy opisana jest jako a.](https://static.zpe.gov.pl/portal/f/res-minimized/R1PZSPFzO5hhz/1619782592/1kzBxo7gxFLMnpHIdEzlJZmhLVwvt6Jg.png)
Rzeczywiście, . Jeżeli więc skonstruujemy trójkąt równoboczny o boku długości , to jego wysokość będzie miała długość właśnie .
Innym sposobem konstrukcji odcinków o długości pierwiastków z liczb naturalnych jest przedstawiona na rysunku spirala zwana ślimakiem Teodorosa.
![Rysunek przedstawia ślimaka Teodorosa. Konstrukcja ślimaka jest następująca: rysujemy kolejne trójkąty prostokątne o jednym wspólnym boku. Najmniejszy trójkąt jest równoramiennym trójkątem prostokątnym o przyprostokątnych o długości jeden i przeciwprostokątnej o długości pierwiastek z dwóch. Następny trójkąt prostokątny ma przyprostokątną pierwiastek z dwóch, drugą przyprostokątną o długości jeden i przeciwprostokątną pierwiastek z trzech. Następny trójkąt prostokątny ma przyprostokątną pierwiastek z trzech, drugą przyprostokątną o długości jeden i przeciwprostokątną pierwiastek z czterech. Następny trójkąt prostokątny ma przyprostokątną pierwiastek z czterech, drugą przyprostokątną o długości jeden i przeciwprostokątną pierwiastek z pięciu. Następny trójkąt prostokątny ma przyprostokątną pierwiastek z pięciu, drugą przyprostokątną o długości jeden i przeciwprostokątną pierwiastek z sześciu.](https://static.zpe.gov.pl/portal/f/res-minimized/R1HPpgH4R1e3P/1619782592/2hhmeuMx4q0jy1KZ5ii3fUB2zlzRTz76.png)
Poprawność konstrukcji wynika z Twierdzenia Pitagorasa, gdyż mamy kolejno:
Postępując dalej w ten sam sposób, możemy skonstruować pierwiastek z dowolnej liczby naturalnej.
Skoro już potrafimy skonstruować odcinek długości oraz odcinek długości , to dowolny odcinek podzielimy w stosunku metodą przedstawioną w Przykładzie . Prowadzimy półprostą o początku w punkcie . Na tej półprostej z punktu zaznaczamy łuk długości i punkt przecięcia półprostej z łukiem oznaczamy symbolem . Następnie z punktu zaznaczamy łuk długości i punkt przecięcia półprostej z łukiem oznaczamy symbolem . Przez punkty prowadzimy prostą, a następnie przez punkt prowadzimy prostą równoległą do prostej . Punkt przecięcia prostej z odcinkiem jest punktem podziału tego odcinka w stosunku .
Korzystając z faktu, że stosunek podziału odcinka jest ilorazem, możemy w celu uproszczenia wykonywać przekształcanie tego ilorazu w taki sposób, aby nie zmienić jego wartości, na przykład skracać i rozszerzać ten stosunek, w taki sam sposób jak skracamy i rozszerzamy ułamki.
Uprościmy stosunek .
Rozwiązanie
Chcemy podzielić dany odcinek w stosunku . Stosując omówione wyżej sposoby musielibyśmy skonstruowaćskonstruować odcinki oraz , ale możemy uprościć to zadanie skracając dany stosunek przez . Wtedy i zadanie sprowadza się do podziału odcinka w stosunku .
Podobnie postępując mamy:
Zauważmy, ze w przykładach 1‑3 powyżej stosunek podziału odcinka sprowadzał się do ułamka, którego licznik i mianownik były liczbami całkowitymi dodatnimi. Natomiast przykład pokaże, że nie zawsze możliwe jest uzyskanie takiej postaci.
Jeżeli stosunek jest liczbą wymierną dodatnią, to istnieją względnie pierwsze, dodatnie liczby całkowite , takie, że otrzymamy proporcjęproporcję
W przypadku, gdy stosunek podziału odcinka sprowadza się do postaci , gdzie , są liczbami całkowitymi dodatnimi, konstrukcja podziału odcinka może być sprowadzona do podzielenia odcinka na odcinków równej długości. Pierwszy odcinek podziału będzie sumą pierwszych odcinków, a drugi będzie sumą kolejnych odcinków. Dla uproszczenia zaleca się by ułamek był nieskracalny. Pokażemy to na przykładzie.
Podzielimy odcinek w stosunku .
Rozwiązanie
Wpierw upraszczamy stosunek i wykonujemy następujące kroki:
Obliczamy sumę .
Rysujemy półprostą o początku w punkcie .
Ustalamy rozwartość cyrkla i wstawiając nóżkę cyrkla w punkcie zaznaczamy na półprostej punkt .
Następnie, nie zmieniając rozwartości cyrkla, wstawiamy nóżkę cyrkla w punkcie i zaznaczamy punkt .
Powtarzamy te czynność dla i kolejnych punktów do momentu aż zaznaczymy punkt . Odcinek jest podzielony na odcinków równej długości (równej rozwartości cyrkla).
Rysujemy prostą przechodzącą przez punkty i oraz prostą równoległą do przechodzącą przez punkt .
Punkt przecięcia prostej z odcinkiem jest punktem podziału tego odcinka w stosunku .
Konstrukcja ta jest poprawna, gdyż odcinek ma długość równą a odcinek ma długość równą . Stąd ich stosunek jest równy a konstrukcja z Przykładu gwarantuje, że jest punktem podziału odcinka w tym samym stosunku .
![Ilustracja przedstawia ukośną półprostą o początku w punkcie A. Od punktu A wyróżniono siedem punktów od P jeden do P siedem w równych odległościach od siebie. Z punktu A poprowadzono także poziomy odcinek A B. Przez półprostą w punktach P cztery i P siedem poprowadzono linią przerywaną dwie równoległe ukośne półproste, które przecinają odcinek A B. Prosta przechodząca przez punkt P cztery przecina odcinek w punkcie P, a prosta przechodząca przez punkt P siedem przecina odcinek w punkcie B.](https://static.zpe.gov.pl/portal/f/res-minimized/R1Rz08EVwLjG0/1619782593/10nHTgqOp9biHkGReJ8TLgXylIfHega3.png)
Podamy sposób podziału odcinka w stosunku , gdzie , , są dodatnimi liczbami całkowitymi na przykładzie stosunku .
Rozwiązanie
Sumujemy .
Odkładamy na półprostej siedem odcinków równej długości jak w poprzednim przykładzie.
Rysujemy prostą przechodzącą przez punkty i oraz prostą równoległą do przechodzącą przez punkt i prostą równoległą do przechodzącą przez punkt .
Otrzymujemy punkty i jak na rysunku.
![Ilustracja przedstawia ukośną półprostą o początku w punkcie A. Od punktu A wyróżniono siedem punktów od P jeden do P siedem w równych odległościach od siebie. Z punktu A poprowadzono także poziomy odcinek A B. Przez półprostą w punktach P dwa, P cztery i P siedem poprowadzono linią przerywaną trzy równoległe ukośne półproste, które przecinają odcinek A B. Prosta przechodząca przez punkt P dwa przecina odcinek w punkcie Q, prosta przechodząca przez punkt P cztery przecina odcinek w punkcie P, a prosta przechodząca przez punkt P siedem przecina odcinek w punkcie B. Dodatkowo zapisano na rysunku długości odcinków wyróżnionych na prostej: odcinek A P dwa ma długość dwa, odcinek P dwa P cztery ma długość dwa, odcinek P cztery P siedem ma długość trzy.](https://static.zpe.gov.pl/portal/f/res-minimized/R1QgVDgXayoPw/1619782593/2fKT4m5rwgNV5uSdUencde4sFeVS9J5D.png)
W przypadku stosunku postaci , gdzie , są liczbami całkowitymi dodatnimi oraz jest potęgą dwójki, możemy do podziału odcinka wykorzystać konstrukcję symetralnej odcinka. Wiadomo, że symetralna odcinka dzieli ten odcinek na połowy. Na przykład, gdy mamy stosunek , to i wtedy można podzielić odcinek na połowy a potem powstałe połówki znów na połowę. Dostaniemy podział odcinka na równe części.
Zastosujemy podział odcinka w danym stosunku do podziału trójkąta na trójkąty, których pola są w tym samym stosunku.
Rozwiązanie
Podzielimy dowolny trójkąt na dwa trójkąty, których pola są w stosunku .
![Ilustracja przedstawia poziomą prosta narysowaną linią przerywaną. Na prostej wyróżniono dwa odcinki o wspólnym końcu: A D oraz D B. Nad prostą narysowano punkt C. Z punktu C poprowadzono trzy ukośne odcinki i pionową wysokość h do poziomej prostej. Odcinki to: CA, C D oraz C B. Punkty te tworzą trójkąt A B C.](https://static.zpe.gov.pl/portal/f/res-minimized/Rg6h9jLc5W1Cf/1619782594/14QQ4Djgv27Nk77I4Ng9dLzo5PXCi7g9.png)
Rozwiązanie zadania sprowadza się do wyznaczenia punktu , który dzieli bok trójkąta w stosunku , czyli . Zauważamy, że wysokość trójkąta spuszczona na bok jest też wysokością trójkątów i . Stosunek pól tych trójkątów jest równy:
.
Słownik
równość dwóch ilorazów w postaci
konstrukcja odcinków, kątów i innych figur geometrycznych z użyciem jedynie cyrkla i linijki (podziałki można użyć tylko do odmierzenia długości wyjściowych odcinków)
część płaszczyzny zawarta między dwiema półprostymi (wraz z tymi półprostymi) wychodzącymi z tego samego punktu
półproste wyznaczające kąt
punkt wspólny ramion kąta
proste bez punktu wspólnego lub proste pokrywające się