Popatrzmy na rysunek poniżej, gdzie ramiona kąta o wierzchołkuwierzchołek kątakąta o wierzchołku w punkcie $O$ przecięte są dwiema prostymi równoległymiproste równoległeprostymi równoległymi. Wówczas stosunek długości odcinków wyznaczonych na jednym ramieniu kątaramiona kątaramieniu kąta jest równy stosunkowi długości odcinków wyznaczonych na drugim ramieniu kątakątkąta, czyli

Rp5ZWIemqCcb8

Ilustracja przedstawia dwie półproste o wspólnym początku w punkcie O wyznaczające kąt ostry. Półproste są ramionami kąta. Przez ramiona kąta przechodzą dwie ukośne równoległe proste. Pierwsza prosta przecina górne ramię w punkcie P i dolne w punkcie P prim. Druga prosta przecina górne ramię w punkcie Q i dolne w punkcie Q prim.

Wykorzystując twierdzenie o stosunku odcinków wyznaczonych przez dwie proste równoległe na ramionach kąta, możemy geometrycznie dokonać podziału danego odcinka $AB$ w stosunku wyznaczonym przez długości dwóch innych odcinków $CD$ i $EF$, tak jak na rysunku, nie mierząc długości tych odcinków.

Rs6nCvKUsau5n

Na ilustracji przedstawiono trzy poziome odcinki. Na niższym poziomie narysowano najdłuższy odcinek A B, a nad nim dwa krótsze odcinki: po lewo C D i po prawo E F.

Rozwiązanie

Konstrukcja podziału odcinka, gdzie stosunek jest podany w postaci dwóch odcinków podziału, polega następujących krokach przedstawionych na rysunku:

R6xOeNFBpHO3S

W górnej części ilustracji przedstawiono dwa poziome odcinki: krótszy C D i dłuższy E F. Poniżej przedstawiono półprostą o początku w punkcie A. Następnie narysowano dwa nachodzące na siebie okręgi narysowane linią przerywaną. Mniejszy okrąg ma środek w punkcie A i promień o długości takiej jak odcinek C D. Wyróżniony promień mniejszego okręgu to odcinek A P, gdzie punkt P leży na półprostej. Większy okrąg ma środek w punkcie P, wyróżniono jego promień P Q, który jest długości odcinka E F, a punkt Q również leży na półprostej. Z punktu A poprowadzono poziomy odcinek A B. Przez okręgi i punkty P i Q poprowadzono dwie ukośne równoległe proste narysowane linią przerywaną. Proste te przecinają również poziomy odcinek A B w taki sposób, że prosta przechodząca przez punkt P przecina odcinek A B w puncie P prim, a prosta przechodząca przez punkt Q przecina odcinek A B w punkcie B.

1. Narysuj półprostą $p$ o początku w punkcie $A$.

2. Zmierz cyrklem długość odcinka $CD$ i wstawiając nóżkę cyrkla w punkcie $A$ zatocz łuk tak, by przeciął się z półprostą $p$. Niech $P$ oznacza ten punkt przecięcia.

3. Zmierz cyrklem długość odcinka $EF$ i wstawiając nóżkę cyrkla w punkcie $P$ zatocz łuk tak, by przeciął się z półprostą $p$. Niech $Q$ oznacza ten punkt przecięcia.

4. Przez punkty $Q$ i $B$ poprowadź prostą $l$.

5. Przez punkt $P$ poprowadź prostą $k$ równoległą do prostej $l$. Niech $P^{\text{'}}$ oznacza punkt przecięcia prostej $k$ z odcinkiem $AB$.

6. Punkt $P^{\text{'}}$ jest taki, że $\frac{\left|A{P}^{\text{'}}\right|}{\left|P^{\text{'}}B\right|}=\frac{\left|CD\right|}{\left|EF\right|}$.

Załóżmy, że dany jest stosunek $p:q$. Mówimy, że punkt $C$ leżący na odcinku $AB$ dzieli odcinek $AB$ w stosunku $p:q$, jeśli

Zastanówmy się jak konstrukcyjnie podzielić odcinek $AB$ w stosunku $\sqrt{3}:2$.

Rozwiązanie

Narysujemy odcinek długości $\sqrt{3}$, korzystając z twierdzenia Pitagorasa przedstawionego na rysunku:

R1EwPhsY7X7m7

Ilustracja przedstawia trójkąt prostokątny o pionowej przyprostokątnej a, podstawie b i przeciwprostokątnej c. Obok trójkąta zapisano wzór: $a^2+b^2=c^2$.

Zauważmy, że jeśli $a=1$, $c=2$, to $b=\sqrt{3}$.

R1PZSPFzO5hhz

Ilustracja przedstawia trójkąt równoboczny o boku o długości c równa się dwa. Z górnego wierzchołka upuszczono wysokość b, która podzieliła trójkąt na pół. Między wysokością b a podstawą oznaczono kat prosty. Połowa podstawy opisana jest jako a.

Rzeczywiście, $a^2+b^2=1+3=4=c^2$. Jeżeli więc skonstruujemy trójkąt równoboczny o boku długości $2$, to jego wysokość będzie miała długość właśnie $\sqrt{3}$.

Innym sposobem konstrukcji odcinków o długości pierwiastków z liczb naturalnych jest przedstawiona na rysunku spirala zwana ślimakiem Teodorosa.

R1HPpgH4R1e3P

Rysunek przedstawia ślimaka Teodorosa. Konstrukcja ślimaka jest następująca: rysujemy kolejne trójkąty prostokątne o jednym wspólnym boku. Najmniejszy trójkąt jest równoramiennym trójkątem prostokątnym o przyprostokątnych o długości jeden i przeciwprostokątnej o długości pierwiastek z dwóch. Następny trójkąt prostokątny ma przyprostokątną pierwiastek z dwóch, drugą przyprostokątną o długości jeden i przeciwprostokątną pierwiastek z trzech. Następny trójkąt prostokątny ma przyprostokątną pierwiastek z trzech, drugą przyprostokątną o długości jeden i przeciwprostokątną pierwiastek z czterech. Następny trójkąt prostokątny ma przyprostokątną pierwiastek z czterech, drugą przyprostokątną o długości jeden i przeciwprostokątną pierwiastek z pięciu. Następny trójkąt prostokątny ma przyprostokątną pierwiastek z pięciu, drugą przyprostokątną o długości jeden i przeciwprostokątną pierwiastek z sześciu.

Poprawność konstrukcji wynika z Twierdzenia Pitagorasa, gdyż mamy kolejno:

$\sqrt{1+1}=\sqrt{2}$

$\sqrt{{\sqrt{2}}^2+1}=\sqrt{2+1}=\sqrt{3}$

$\sqrt{{\sqrt{3}}^2+1}=\sqrt{3+1}=\sqrt{4}=2$

$\sqrt{2^2+1}=\sqrt{4+1}=\sqrt{5}$

$\sqrt{{\sqrt{5}}^2+1}=\sqrt{5+1}=\sqrt{6}$

Postępując dalej w ten sam sposób, możemy skonstruować pierwiastek z dowolnej liczby naturalnej.

Skoro już potrafimy skonstruować odcinek długości $\sqrt{3}$ oraz odcinek długości $2$, to dowolny odcinek $AB$ podzielimy w stosunku $\sqrt{3}:2$ metodą przedstawioną w Przykładzie $1$. Prowadzimy półprostą o początku w punkcie $A$. Na tej półprostej z punktu $A$ zaznaczamy łuk długości $\sqrt{3}$ i punkt przecięcia półprostej z łukiem oznaczamy symbolem $P$. Następnie z punktu $P$ zaznaczamy łuk długości $2$ i punkt przecięcia półprostej z łukiem oznaczamy symbolem $Q$. Przez punkty $BQ$ prowadzimy prostą, a następnie przez punkt $P$ prowadzimy prostą równoległą do prostej $BQ$. Punkt przecięcia prostej $BQ$ z odcinkiem $AB$ jest punktem podziału tego odcinka w stosunku $\sqrt{3}:2$.

Uprościmy stosunek $\frac{4\pi }{3\pi }$.

Rozwiązanie

Chcemy podzielić dany odcinek w stosunku $\frac{4\pi }{3\pi }$. Stosując omówione wyżej sposoby musielibyśmy skonstruowaćkonstrukcja cyrklem i linijkąskonstruować odcinki $4\pi$ oraz $3\pi$, ale możemy uprościć to zadanie skracając dany stosunek przez $\pi$. Wtedy $\frac{4\pi }{3\pi }=\frac{4}{3}$ i zadanie sprowadza się do podziału odcinka w stosunku $4:3$.

Podobnie postępując mamy:

2. $\sqrt{3}:\frac{1}{\sqrt{3}}=\sqrt{3}·\sqrt{3}=3=3:1$

3. $\frac{1,12}{2,4}=\frac{112}{240}=\frac{7}{15}=7:15$

4. $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{6}}=\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3·2}}=\frac{1}{\sqrt{2}}=1:\sqrt{2}$

Jeżeli stosunek $\frac{p}{q}$ jest liczbą wymierną dodatnią, to istnieją względnie pierwsze, dodatnie liczby całkowite $m$, $n$ takie, że otrzymamy proporcjęproporcjaproporcję

Podzielimy odcinek $AB$ w stosunku $12:9$.

Rozwiązanie

Wpierw upraszczamy stosunek $\frac{12}{9}=\frac{4}{3}$ i wykonujemy następujące kroki:

1. Obliczamy sumę $4+3=7$.

2. Rysujemy półprostą $p$ o początku w punkcie $A$.

3. Ustalamy rozwartość cyrkla $d$ i wstawiając nóżkę cyrkla w punkcie $A$ zaznaczamy na półprostej $p$ punkt $P_1$.

4. Następnie, nie zmieniając rozwartości cyrkla, wstawiamy nóżkę cyrkla w punkcie $P_1$ i zaznaczamy punkt $P_2$.

5. Powtarzamy te czynność dla $P_2$ i kolejnych punktów do momentu aż zaznaczymy punkt $P_7$. Odcinek $A{P}_7$ jest podzielony na $7$ odcinków równej długości $d$ (równej rozwartości cyrkla).

6. Rysujemy prostą $k$ przechodzącą przez punkty $P_7$ i $B$ oraz prostą $l$ równoległą do $k$ przechodzącą przez punkt $P_4$.

7. Punkt $P$ przecięcia prostej $k$ z odcinkiem $AB$ jest punktem podziału tego odcinka w stosunku $4:3$.

8. Konstrukcja ta jest poprawna, gdyż odcinek $A{P}_4$ ma długość równą $4d$ a odcinek $P_4{P}_7$ ma długość równą $3d$. Stąd ich stosunek jest równy $4d:3d=4:3$ a konstrukcja z Przykładu $1$ gwarantuje, że $P$ jest punktem podziału odcinka $AB$ w tym samym stosunku $4:3$.

R1Rz08EVwLjG0

Ilustracja przedstawia ukośną półprostą o początku w punkcie A. Od punktu A wyróżniono siedem punktów od P jeden do P siedem w równych odległościach od siebie. Z punktu A poprowadzono także poziomy odcinek A B. Przez półprostą w punktach P cztery i P siedem poprowadzono linią przerywaną dwie równoległe ukośne półproste, które przecinają odcinek A B. Prosta przechodząca przez punkt P cztery przecina odcinek w punkcie P, a prosta przechodząca przez punkt P siedem przecina odcinek w punkcie B.

Podamy sposób podziału odcinka w stosunku $m:n:k$, gdzie $m$, $n$, $k$ są dodatnimi liczbami całkowitymi na przykładzie stosunku $2:2:3$.

Rozwiązanie

1. Sumujemy $2+2+3=7$.

2. Odkładamy na półprostej $p$ siedem odcinków równej długości jak w poprzednim przykładzie.

3. Rysujemy prostą $k$ przechodzącą przez punkty $P_7$ i $B$ oraz prostą $l$ równoległą do $k$ przechodzącą przez punkt $P_4$ i prostą $s$ równoległą do $k$ przechodzącą przez punkt $P_2$.

4. Otrzymujemy punkty $P$ i $Q$ jak na rysunku.

R1QgVDgXayoPw

Ilustracja przedstawia ukośną półprostą o początku w punkcie A. Od punktu A wyróżniono siedem punktów od P jeden do P siedem w równych odległościach od siebie. Z punktu A poprowadzono także poziomy odcinek A B. Przez półprostą w punktach P dwa, P cztery i P siedem poprowadzono linią przerywaną trzy równoległe ukośne półproste, które przecinają odcinek A B. Prosta przechodząca przez punkt P dwa przecina odcinek w punkcie Q, prosta przechodząca przez punkt P cztery przecina odcinek w punkcie P, a prosta przechodząca przez punkt P siedem przecina odcinek w punkcie B. Dodatkowo zapisano na rysunku długości odcinków wyróżnionych na prostej: odcinek A P dwa ma długość dwa, odcinek P dwa P cztery ma długość dwa, odcinek P cztery P siedem ma długość trzy.

Zastosujemy podział odcinka w danym stosunku do podziału trójkąta na trójkąty, których pola są w tym samym stosunku.

Rozwiązanie

Podzielimy dowolny trójkąt na dwa trójkąty, których pola są w stosunku $p:q$.

Rg6h9jLc5W1Cf

Ilustracja przedstawia poziomą prosta narysowaną linią przerywaną. Na prostej wyróżniono dwa odcinki o wspólnym końcu: A D oraz D B. Nad prostą narysowano punkt C. Z punktu C poprowadzono trzy ukośne odcinki i pionową wysokość h do poziomej prostej. Odcinki to: CA, C D oraz C B. Punkty te tworzą trójkąt A B C.

Rozwiązanie zadania sprowadza się do wyznaczenia punktu $D$, który dzieli bok $AB$ trójkąta $ABC$ w stosunku $p:q$, czyli $\left|AD\right|:\left|DB\right|=p:q$. Zauważamy, że wysokość $h$ trójkąta $ABC$ spuszczona na bok $AB$ jest też wysokością trójkątów $ADC$ i $DBC$. Stosunek pól tych trójkątów jest równy:

$\frac{\frac{1}{2}h·\left|AD\right|}{\frac{1}{2}h·\left|DB\right|}=\frac{\left|AD\right|}{\left|DB\right|}=p:q$.

równość dwóch ilorazów w postaci $\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$

konstrukcja odcinków, kątów i innych figur geometrycznych z użyciem jedynie cyrkla i linijki (podziałki można użyć tylko do odmierzenia długości wyjściowych odcinków)

część płaszczyzny zawarta między dwiema półprostymi (wraz z tymi półprostymi) wychodzącymi z tego samego punktu

półproste wyznaczające kąt

punkt wspólny ramion kąta

proste bez punktu wspólnego lub proste pokrywające się