Przeczytaj
Popatrzmy na rysunek poniżej, gdzie ramiona kąta o wierzchołkukąta o wierzchołku w punkcie przecięte są dwiema prostymi równoległymiprostymi równoległymi. Wówczas stosunek długości odcinków wyznaczonych na jednym ramieniu kątaramieniu kąta jest równy stosunkowi długości odcinków wyznaczonych na drugim ramieniu kątakąta, czyli
Zauważmy, że równość jest równoważna równości oraz, że i .
Zatem tezę możemy zapisać w następującej postaci:
co łatwo przekształcamy do wzoru:
i dalej
co jest wnioskiem z Twierdzenia Talesa.
Wykorzystując twierdzenie o stosunku odcinków wyznaczonych przez dwie proste równoległe na ramionach kąta, możemy geometrycznie dokonać podziału danego odcinka w stosunku wyznaczonym przez długości dwóch innych odcinków i , tak jak na rysunku, nie mierząc długości tych odcinków.
Rozwiązanie
Konstrukcja podziału odcinka, gdzie stosunek jest podany w postaci dwóch odcinków podziału, polega następujących krokach przedstawionych na rysunku:
Narysuj półprostą o początku w punkcie .
Zmierz cyrklem długość odcinka i wstawiając nóżkę cyrkla w punkcie zatocz łuk tak, by przeciął się z półprostą . Niech oznacza ten punkt przecięcia.
Zmierz cyrklem długość odcinka i wstawiając nóżkę cyrkla w punkcie zatocz łuk tak, by przeciął się z półprostą . Niech oznacza ten punkt przecięcia.
Przez punkty i poprowadź prostą .
Przez punkt poprowadź prostą równoległą do prostej . Niech oznacza punkt przecięcia prostej z odcinkiem .
Punkt jest taki, że .
Załóżmy, że dany jest stosunek . Mówimy, że punkt leżący na odcinku dzieli odcinek w stosunku , jeśli
Punkt w poprzedniej konstrukcji jest punktem podziału odcinka w stosunku .
Możemy dokonać podziału odcinka również w sytuacji, gdy podane są tylko długości odcinków i z poprzedniej konstrukcji, pod warunkiem, że potrafimy skonstruować odcinki o podanych długościach.
Zastanówmy się jak konstrukcyjnie podzielić odcinek w stosunku .
Rozwiązanie
Narysujemy odcinek długości , korzystając z twierdzenia Pitagorasa przedstawionego na rysunku:
Zauważmy, że jeśli , , to .
Rzeczywiście, . Jeżeli więc skonstruujemy trójkąt równoboczny o boku długości , to jego wysokość będzie miała długość właśnie .
Innym sposobem konstrukcji odcinków o długości pierwiastków z liczb naturalnych jest przedstawiona na rysunku spirala zwana ślimakiem Teodorosa.
Poprawność konstrukcji wynika z Twierdzenia Pitagorasa, gdyż mamy kolejno:
Postępując dalej w ten sam sposób, możemy skonstruować pierwiastek z dowolnej liczby naturalnej.
Skoro już potrafimy skonstruować odcinek długości oraz odcinek długości , to dowolny odcinek podzielimy w stosunku metodą przedstawioną w Przykładzie . Prowadzimy półprostą o początku w punkcie . Na tej półprostej z punktu zaznaczamy łuk długości i punkt przecięcia półprostej z łukiem oznaczamy symbolem . Następnie z punktu zaznaczamy łuk długości i punkt przecięcia półprostej z łukiem oznaczamy symbolem . Przez punkty prowadzimy prostą, a następnie przez punkt prowadzimy prostą równoległą do prostej . Punkt przecięcia prostej z odcinkiem jest punktem podziału tego odcinka w stosunku .
Korzystając z faktu, że stosunek podziału odcinka jest ilorazem, możemy w celu uproszczenia wykonywać przekształcanie tego ilorazu w taki sposób, aby nie zmienić jego wartości, na przykład skracać i rozszerzać ten stosunek, w taki sam sposób jak skracamy i rozszerzamy ułamki.
Uprościmy stosunek .
Rozwiązanie
Chcemy podzielić dany odcinek w stosunku . Stosując omówione wyżej sposoby musielibyśmy skonstruowaćskonstruować odcinki oraz , ale możemy uprościć to zadanie skracając dany stosunek przez . Wtedy i zadanie sprowadza się do podziału odcinka w stosunku .
Podobnie postępując mamy:
Zauważmy, ze w przykładach 1‑3 powyżej stosunek podziału odcinka sprowadzał się do ułamka, którego licznik i mianownik były liczbami całkowitymi dodatnimi. Natomiast przykład pokaże, że nie zawsze możliwe jest uzyskanie takiej postaci.
Jeżeli stosunek jest liczbą wymierną dodatnią, to istnieją względnie pierwsze, dodatnie liczby całkowite , takie, że otrzymamy proporcjęproporcję
W przypadku, gdy stosunek podziału odcinka sprowadza się do postaci , gdzie , są liczbami całkowitymi dodatnimi, konstrukcja podziału odcinka może być sprowadzona do podzielenia odcinka na odcinków równej długości. Pierwszy odcinek podziału będzie sumą pierwszych odcinków, a drugi będzie sumą kolejnych odcinków. Dla uproszczenia zaleca się by ułamek był nieskracalny. Pokażemy to na przykładzie.
Podzielimy odcinek w stosunku .
Rozwiązanie
Wpierw upraszczamy stosunek i wykonujemy następujące kroki:
Obliczamy sumę .
Rysujemy półprostą o początku w punkcie .
Ustalamy rozwartość cyrkla i wstawiając nóżkę cyrkla w punkcie zaznaczamy na półprostej punkt .
Następnie, nie zmieniając rozwartości cyrkla, wstawiamy nóżkę cyrkla w punkcie i zaznaczamy punkt .
Powtarzamy te czynność dla i kolejnych punktów do momentu aż zaznaczymy punkt . Odcinek jest podzielony na odcinków równej długości (równej rozwartości cyrkla).
Rysujemy prostą przechodzącą przez punkty i oraz prostą równoległą do przechodzącą przez punkt .
Punkt przecięcia prostej z odcinkiem jest punktem podziału tego odcinka w stosunku .
Konstrukcja ta jest poprawna, gdyż odcinek ma długość równą a odcinek ma długość równą . Stąd ich stosunek jest równy a konstrukcja z Przykładu gwarantuje, że jest punktem podziału odcinka w tym samym stosunku .
Podamy sposób podziału odcinka w stosunku , gdzie , , są dodatnimi liczbami całkowitymi na przykładzie stosunku .
Rozwiązanie
Sumujemy .
Odkładamy na półprostej siedem odcinków równej długości jak w poprzednim przykładzie.
Rysujemy prostą przechodzącą przez punkty i oraz prostą równoległą do przechodzącą przez punkt i prostą równoległą do przechodzącą przez punkt .
Otrzymujemy punkty i jak na rysunku.
W przypadku stosunku postaci , gdzie , są liczbami całkowitymi dodatnimi oraz jest potęgą dwójki, możemy do podziału odcinka wykorzystać konstrukcję symetralnej odcinka. Wiadomo, że symetralna odcinka dzieli ten odcinek na połowy. Na przykład, gdy mamy stosunek , to i wtedy można podzielić odcinek na połowy a potem powstałe połówki znów na połowę. Dostaniemy podział odcinka na równe części.
Zastosujemy podział odcinka w danym stosunku do podziału trójkąta na trójkąty, których pola są w tym samym stosunku.
Rozwiązanie
Podzielimy dowolny trójkąt na dwa trójkąty, których pola są w stosunku .
Rozwiązanie zadania sprowadza się do wyznaczenia punktu , który dzieli bok trójkąta w stosunku , czyli . Zauważamy, że wysokość trójkąta spuszczona na bok jest też wysokością trójkątów i . Stosunek pól tych trójkątów jest równy:
.
Słownik
równość dwóch ilorazów w postaci
konstrukcja odcinków, kątów i innych figur geometrycznych z użyciem jedynie cyrkla i linijki (podziałki można użyć tylko do odmierzenia długości wyjściowych odcinków)
część płaszczyzny zawarta między dwiema półprostymi (wraz z tymi półprostymi) wychodzącymi z tego samego punktu
półproste wyznaczające kąt
punkt wspólny ramion kąta
proste bez punktu wspólnego lub proste pokrywające się