Przeczytaj
Przypomnijmy definicję ilorazu różnicowego funkcjiilorazu różnicowego funkcji.
Niech oznacza dowolną funkcję określoną w otoczeniu punktu .
Ilorazem różnicowym funkcji w punkcie dla przyrostu zmiennej niezależnej nazywamy wyrażenie
które jest równoważne wyrażeniu
Inaczej mówiąc, jest to stosunek przyrostu wartości funkcji do przyrostu argumentu funkcji.
Interpretacja geometryczna ilorazu różnicowego funkcji
Iloraz różnicowy jest równy współczynnikowi kierunkowemu prostej przechodzącej przez punkty o współrzędnych oraz , które należą do wykresu funkcji .
Prosta ta nazywana jest sieczną do wykresu funkcjisieczną do wykresu funkcji i jest opisana za pomocą wzoru:
lub równoważnie
Zauważmy, że korzystając z trójkąta prostokątnego, otrzymujemy zależność:
Ponieważ współczynnik kierunkowy prostej jest równy tangensowi kąta nachylenia tej prostej do osi , zatem zachodzi równość:
Wyznaczymy współczynnik kierunkowy siecznej do wykresu funkcji określonej wzorem w punkcie , gdy .
Rozwiązanie
Zauważmy, że oraz .
Ponieważ , zatem:
.
Wyznaczymy równanie siecznej do wykresu funkcji określonej wzorem , gdy oraz .
Rozwiązanie
Ponieważ , zatem
.
Równanie siecznej do wykresu funkcji opisuje wzór: , wobec tego:
.
Wiadomo, że równanie każdej prostej opisujemy za pomocą równania , a równanie siecznej za pomocą wzoru:
Jeżeli wyznaczymy wartość współczynnika , to:
Wyznaczymy wartość współczynnika we wzorze siecznej do wykresu funkcji określonej wzorem dla i .
Rozwiązanie
Jeżeli wykorzystamy wzór , to:
Sieczna do wykresu funkcji jest równoległa do osi , gdy , zatem
Warunek ten jest spełniony, gdy , czyli .
Sprawdzimy, czy sieczna do wykresu funkcji określonej wzorem dla i jest prostą równoległą do osi .
Rozwiązanie
Obliczamy:
,
.
Ponieważ zachodzi warunek , zatem sieczna do wykresu funkcji jest prostą równoległą do osi .
Wiadomo, że kąt nachylenia prostej do osi ma miarę . Prosta ta jest sieczną do wykresu funkcji określonej wzorem w punkcie o współrzędnych .
Wyznaczymy wartość przyrostu (), dla której podana prosta jest sieczną do wykresu funkcji .
Rozwiązanie
Jeżeli kąt nachylenia prostej do osi ma miarę , to współczynnik kierunkowy siecznej do wykresu funkcji jest równy:
.
Zauważmy, że oraz .
Korzystając ze wzoru , mamy:
,
,
,
,
Zatem lub .
Ponieważ , więc .
Słownik
stosunek różnicy wartości funkcji do różnicy argumentów, opisujący przyrost funkcji na danym przedziale
prosta, która przecina daną krzywą w co najmniej dwóch punktach