Narysujemy wykres funkcji $f\left(x\right)=-\frac{3}{x}$.

Rozwiązanie

Aby narysować wykres funkcji, należy wyznaczyć kilka punktów, które należą do tego wykresu, czyli np. wykonać tabelkę:

RJfCg5yGCkbyk

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią x od minus 6 do sześć i pionową osią y od minus 6 do sześć. W układzie zaznaczono wykres o kształcie hiperboli. Części hiperboli znajdują się w drugiej i czwartej ćwiartce a jej asymptotami są osie układu współrzędnych. Część znajdująca się w drugiej ćwiartce przechodzi przez punkty nawias minus trzy średnik jeden zamknięcie nawiasu oraz nawias minus jeden średnik trzy zamknięcie nawiasu. Część znajdująca się w czwartej ćwiartce przechodzi przez punkty nawias jeden średnik minus trzy zamknięcie nawiasu i nawias trzy średnik minus jeden zamknięcie nawiasu. Wykres podpisano $y=-\frac{3}{x}$.

Na podstawie wykresu z przykładu 1. odczytamy własności wykresu funkcji $f\left(x\right)=-\frac{3}{x}$.

Rozwiązanie

• Wykresem funkcji $f\left(x\right)=-\frac{3}{x}$ jest hiperbolahiperbolahiperbola, której gałęziegałąź hiperboligałęzie znajdują się w drugiej i czwartej ćwiartce układu współrzędnych.

• Wykres funkcji nie przecina osi $Y$.

• Wykres funkcji jest symetryczny względem początku układu współrzędnych, czyli względem punktu $\left(0;0\right)$.

• Wykres funkcji jest symetryczny względem prostej $y=-x$ oraz $y=x$.

• Wykres funkcji ma asymptotęasymptotaasymptotę poziomą o równaniu: $y=0$, która pokrywa się z osią $X$.

• Wykres funkcji ma asymptotę pionową o równaniu: $x=0$, która pokrywa się z osią $Y$.

Ponadto:

• Dziedzina funkcji: $D_f=\mathrm{ℝ}\setminus \left\{0\right\}$.

• Zbiór wartości funkcji: $Z{W}_f=\mathrm{ℝ}\setminus \left\{0\right\}$.

• Funkcja nie ma miejsc zerowych.

• Funkcja jest rosnąca w każdym z przedziałów: $\left(-\infty ;0\right)$, $\left(0;\infty \right)$.

• $f\left(x\right)<0$ dla $x\in \left(0;\infty \right)$.

• $f\left(x\right)>0$ dla $x\in \left(-\infty ;0\right)$.

• Funkcja jest różnowartościowa.

• Funkcja nie przyjmuje ani wartości najmniejszej, ani największej.

Własności funkcji nie zmieniają się wraz ze zmainą współczynnika $a$, o ile $a<0$.

Narysujemy wykres funkcji $f\left(x\right)=\frac{a}{x}$ wiedząc, że do jej wykresu należy punkt $\left(\sqrt{3}-\sqrt{5};\sqrt{3}+\sqrt{5}\right)$.

Rozwiązanie

Należy najpierw wyznaczyć współczynnik $a$ we wzorze funkcji.

Podstawiamy współrzędne punktu do wzoru funkcji:

$\sqrt{3}+\sqrt{5}=\frac{a}{\sqrt{3}-\sqrt{5}}$

$\left(\sqrt{3}-\sqrt{5}\right)\left(\sqrt{3}+\sqrt{5}\right)=a$

$a=-2$.

Należy zatem narysować wykres funkcji $f\left(x\right)=-\frac{2}{x}$.

RWMNdb70TGtSo

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią x od minus 6 do sześć i pionową osią y od minus 6 do sześć. W układzie zaznaczono wykres o kształcie hiperboli. Części hiperboli znajdują się w drugiej i czwartej ćwiartce a jej asymptotami są osie układu współrzędnych. Część znajdująca się w drugiej ćwiartce przechodzi przez punkty nawias minus dwa średnik jeden zamknięcie nawiasu oraz nawias minus jeden średnik dwa zamknięcie nawiasu. Część znajdująca się w czwartej ćwiartce przechodzi przez punkty nawias jeden średnik minus dwa zamknięcie nawiasu i nawias dwa średnik minus jeden zamknięcie nawiasu. Wykres podpisano $y=-\frac{2}{x}$.

Wiedząc, że do wykresu funkcji $f\left(x\right)=\frac{a}{x}$ należy punkt $\left(\frac{1}{15};-3\right)$ wyznaczymy kilka innych punktów, które również należą do wykresu tej funkcji.

Rozwiązanie: Podstawiamy współrzędne punktu do wzoru funkcji:

$-3=\frac{a}{{\displaystyle \frac{1}{15}}}$

$a=-\frac{1}{5}$

czyli wszystkie pary $\left(x;y\right)$, dla któych $xy=-\frac{1}{5}$ również należą do wykresu tej funkcji. Są to np. $\left(-1;\frac{1}{5}\right)$; $\left(4;-\frac{1}{20}\right)$, $\left(-\frac{3}{5};\frac{1}{3}\right)$, $\left(-\frac{\sqrt{3}}{3};\frac{\sqrt{3}}{5}\right)$.

Inny sposób wyznaczania punktów, które należą do wykresu funkcji:

Jeśli znamy wzór funkcji $f\left(x\right)=\frac{{\displaystyle -\frac{1}{5}}}{x}$, to aby wyznaczyć współrzędne innego punktu należącego do wykresu wybieramy dowolny argument z dziedziny np. $x=\frac{1}{10}$ i dla niego obliczamy wartość funkcji $f\left(x\right)$:

$f\left(\frac{1}{10}\right)=\frac{{\displaystyle -\frac{1}{5}}}{{\displaystyle \frac{1}{10}}}=-\frac{1}{5}·\frac{10}{1}=-2$, czyli punkt $\left(\frac{1}{10};-2\right)$ też należy do wykresu tej funkcji.

Wyznaczymy zbiór wartości funkcji $f\left(x\right)=-\frac{5}{x}$, jeśli:

a) $D_f=\left(1;10\right)$

b) $D_f=\left(-5;0\right)\cup \left(0;5\right)$

Rozwiązanie

Zbiór wartości można wyznaczyć na podstawie wykresu funkcji $f\left(x\right)=-\frac{5}{x}$ sporządzonego dla podanej dziedziny.

a)

RuVIB5sGVZcnA

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią x od minus 4 do 11 i pionową osią y od minus 6 do sześć. W układzie zaznaczono wykres o kształcie hiperboli. Części hiperboli znajdują się w drugiej i czwartej ćwiartce a jej asymptotami są osie układu współrzędnych. Część znajdująca się w drugiej ćwiartce przechodzi przez punkt nawias minus jeden średnik pięć zamknięcie nawiasu. Część znajdująca się w czwartej ćwiartce przechodzi przez punkty nawias jeden średnik minus pięć zamknięcie nawiasu i nawias pięć średnik minus jeden zamknięcie nawiasu. Wykres podpisano $y=-\frac{5}{x}$. W układzie zaznaczono również przedział, który wydzielono prostymi pionowymi namalowanymi liniami przerywanymi. Pierwsza prosta ma równanie $x=1$, z kolei druga prosta ma równanie $x=10$.

$Z{W}_f=\left(-5;-\frac{1}{2}\right)$

b)

RPNGLYPeI92y5

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią x od minus 7 do 8 i pionową osią y od minus 6 do sześć. W układzie zaznaczono wykres o kształcie hiperboli. Części hiperboli znajdują się w drugiej i czwartej ćwiartce a jej asymptotami są osie układu współrzędnych. Część znajdująca się w drugiej ćwiartce przechodzi przez punkty nawias minus pięć średnik jeden zamknięcie nawiasu oraz nawias minus jeden średnik pięć zamknięcie nawiasu. Część znajdująca się w czwartej ćwiartce przechodzi przez punkty nawias jeden średnik minus pięć zamknięcie nawiasu i nawias pięć średnik minus jeden zamknięcie nawiasu. Wykres podpisano $y=-\frac{5}{x}$. W układzie zaznaczono również przedział, który wydzielono prostymi pionowymi namalowanymi liniami przerywanymi. Pierwsza prosta ma równanie $x=-5$, z kolei druga prosta ma równanie $x=5$.

$Z{W}_f=\left(-\infty ;-1\right)\cup \left(1;\infty \right)$

Odczytamy z wykresu funkcji $f\left(x\right)=-\frac{6}{x}$ zbiór argumentów, dla których funkcja przyjmuje wartości mniejsze lub równe $3$.

R12MWksCMrx92

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią x od minus 7 do 8 i pionową osią y od minus 6 do sześć. W układzie zaznaczono wykres o kształcie hiperboli. Części hiperboli znajdują się w drugiej i czwartej ćwiartce a jej asymptotami są osie układu współrzędnych. Część znajdująca się w drugiej ćwiartce przechodzi przez punkty nawias minus sześć średnik jeden zamknięcie nawiasu oraz nawias minus jeden średnik sześć zamknięcie nawiasu. Część znajdująca się w czwartej ćwiartce przechodzi przez punkty nawias jeden średnik minus sześć zamknięcie nawiasu i nawias sześć średnik minus jeden zamknięcie nawiasu. Wykres podpisano $y=-\frac{6}{x}$. W układzie zaznaczono również przedział poniżej poziomej prostej zaznaczonej linią ciągłą o równaniu $y=3$.

Odpowiedź

$f\left(x\right)\le 3\iff x\in \left(-\infty ;-2\right.⟩\cup \left(0;\infty \right)$

prosta, do której coraz bardziej „zbliża się” wykres pewnej funkcji. W dostatecznie odległych punktach krzywa prawie pokrywa się ze swoją asymptotą

wykres funkcji $f\left(x\right)=\frac{a}{x}$, gdzie $a\ne 0$

każda z dwóch rozłącznych krzywych, z których składa się hiperbola