Przeczytaj

Lazare Carnot udowodnił twierdzenie sformułowane w Elementach Euklidesa w trzecim wieku przed naszą erą, które brzmiało:

Ra8evUG1wFWX3

Na ilustracji przedstawiono różnoboczny trójkąt ABC, z kątem gamma przy wierzchołku C. Na każdym boku trójkąta zbudowano kwadrat. Kolorem czerwonym zacieniowano prostokąt, którego przekątną stanowi bok AC, a wierzchołek zawarty w zbudowanym na tym boku kwadracie oznaczono D.

W trójkącie rozwartokątnym kwadrat na boku leżącym naprzeciwko kąta rozwartego jest większy od kwadratów na bokach zawierających kąt rozwarty o dwukrotność prostokąta zbudowanego na boku, na który spada prosta prostopadła i na odcinku odciętym na zewnątrz przez tę prostopadłą w kierunku kąta rozwartego.

Pierwsze twierdzenie Carnota sformułowane we współczesnym języku i opisujące również przypadek trójkąta ostrokątnego brzmi następująco:

pierwsze twierdzenie Carnota

Twierdzenie: pierwsze twierdzenie Carnota

RpFFSPZGcCLYI

Na ilustracji przedstawiono trójkąt ABC, z kątem gamma przy wierzchołku B. Bok AB oznaczono literą c, bok BC oznaczono literą a, natomiast bok AC oznaczono literą b. Z wierzchołka A opuszczono wysokość do boku BC, której spodek leży w punkcie D. Odległość punktu D od wierzchołka C jest równa d, natomiast od wierzchołka B jest równa a-d. Kolorem czerwonym zaznaczono wysokość AD, oraz odcinek BD.

1. Jeżeli w trójkącie $A B C$ kąt $A C B$ jest ostry i punkt $D$ jest spodkiem wysokościspodek wysokościspodkiem wysokości opuszczonej z wierzchołka $A$ , to ${|A B|}^{2} = {|B C|}^{2} + {|A C|}^{2} - 2 |B C| \cdot |C D|$ lub równoważnie $c^{2} = a^{2} + b^{2} - 2 a d$ .

R1SOZijafjYUS

Na ilustracji przedstawiono trójkąt ABC, z kątem gamma przy wierzchołku C. Bok AB oznaczono literą c, bok BC oznaczono literą a, natomiast bok AC oznaczono literą b. Z wierzchołka A opuszczono wysokość, której spodek leży w punkcie D, znajdującym się na przedłużeniu boku BC. Odległość punktu D od wierzchołka C jest równa d. Kolorem czerwonym zaznaczono wysokość AD, oraz odcinek DC.

2. Jeżeli w trójkącie $A B C$ kąt $A C B$ jest rozwarty i punkt $D$ jest spodkiem wysokości opuszczonej z wierzchołka $A$ , to ${|A B|}^{2} = {|B C|}^{2} + {|A C|}^{2} + 2 |B C| \cdot |C D|$ lub równoważnie $c^{2} = a^{2} + b^{2} + 2 a d$ .

Dowód

1. Załóżmy, że w trójkącie $A B C$ kąt $A C B$ jest ostry i punkt $D$ jest spodkiem wysokości $h$ opuszczonej z wierzchołka $A$ . Ponieważ trójkąty $A D C$ i $A D B$ są trójkątami prostokątnymi, to $h^{2} = b^{2} - d^{2}$ , $h^{2} = c^{2} - {(a - d)}^{2}$ .

Stąd $c^{2} - {(a - d)}^{2} = b^{2} - d^{2}$ , więc $c^{2} = {(a - d)}^{2} + b^{2} - d^{2} = a^{2} + d^{2} - 2 a d + b^{2} - d^{2} = a^{2} + b^{2} - 2 a d$ .

2. Załóżmy, że w trójkącie $A B C$ kąt $A C B$ jest rozwarty i punkt $D$ jest spodkiem wysokości $h$ opuszczonej z wierzchołka $A$ . Ponieważ trójkąty $A D C$ i $A D B$ są trójkątami prostokątnymi, to $h^{2} = b^{2} - d^{2}$ , $h^{2} = c^{2} - {(a + d)}^{2}$ .

Stąd $c^{2} - {(a + d)}^{2} = b^{2} - d^{2}$ , więc $c^{2} = {(a + d)}^{2} + b^{2} - d^{2} = a^{2} + b^{2} + 2 a d$ .

Przykład 1

W trójkącie $A B C$ , kąt przy wierzchołku $C$ jest ostry oraz $|A C| = 8$ , $|B C| = 5$ . Ponadto, odległość spodka wysokości opuszczonej na bok $B C$ od wierzchołka $C$ wynosi $d = 3$ . Wyznaczymy długość boku $A B$ .

Z powyższego twierdzenia wynika, że ${|A B|}^{2} = {|B C|}^{2} + {|A C|}^{2} - 2 |B C| d = 25 + 64 - 2 \cdot 5 \cdot 3 = 59$ . Stąd $|A B| = \sqrt{59}$ .

Przykład 2

W trójkącie $A B C$ , kąt przy wierzchołku $C$ jest rozwarty oraz $|A C| = 8$ , $|B C| = 5$ . Ponadto, odległość spodka wysokości opuszczonej na bok $B C$ od wierzchołka $C$ wynosi $d = 3$ . Wyznaczymy długość boku $A B$ .

Z powyższego twierdzenia wynika, że ${|A B|}^{2} = {|B C|}^{2} + {|A C|}^{2} + 2 |B C| d = 25 + 64 + 2 \cdot 5 \cdot 3 = 119$ . Stąd $|A B| = \sqrt{119}$ .

Kolejnym twierdzeniem przypisywanym Carnotowi jest wniosek z powyższego twierdzenia nazywany twierdzeniem cosinusów.

twierdzenie cosinusów

Twierdzenie: twierdzenie cosinusów

RSFVE3mKMvIqJ

Na ilustracji przedstawiono trójkąt ABC. Zaznaczono kąt alfa przy wierzchołku A, kąt beta przy wierzchołku B, oraz kąt gamma przy wierzchołku C. Bok AB oznaczono literą c, bok BC oznaczono literą a, natomiast bok AC oznaczono literą b.

W dowolnym trójkącie $A B C$ , przy oznaczeniach z rysunku mamy:

c^{2} = a^{2} + b^{2} - 2 a b \cos γ

Dowód

Niech $D$ będzie punktem, w którym wysokość poprowadzona z wierzchołka $A$ opada na bok $B C$ . Trójkąty $A D C$ i $A D B$ są trójkątami prostokątnymi niezależnie od tego czy kąt $γ$ jest ostry czy rozwarty.

Jeżeli kąt $γ$ jest ostry, to $d = b \cos γ$ .

Po wstawieniu $d = b \cos γ$ do równości $c^{2} = a^{2} + b^{2} - 2 a d$ dostajemy $c^{2} = a^{2} + b^{2} - 2 a b \cos γ$ .

Jeżeli kąt $γ$ jest rozwarty, to $d = b \cos (180 ° - γ) = - b \cos γ$ .

Po wstawieniu $d = - b \cos γ$ do równości $c^{2} = a^{2} + b^{2} + 2 a d$ dostajemy $c^{2} = a^{2} + b^{2} - 2 a b \cos γ$ .

Jeżeli kąt $γ$ jest prosty, to $d = 0$ i $\cos γ = \cos 90 ° = 0$ . Wtedy $c^{2} = a^{2} + b^{2} + 2 a d = a^{2} + b^{2} = a^{2} + b^{2} - 2 a b \cos γ$ .

Przykład 3

W trójkącie $A B C$ dane są boki $a = 4$ , $b = 6$ oraz kąt między nimi $γ = 120 °$ . Wyznaczymy długość boku $c$ .

Z twierdzenia cosinusów mamy:

$c^{2} = a^{2} + b^{2} - 2 a b \cos γ = 16 + 36 - 2 \cdot 4 \cdot 6 \cos 120 ° =$

$= 52 - 48 \cos (180 ° - 60 °) = 52 + 48 \cos 60 ° = 52 + 48 \cdot \frac{1}{2} = 52 + 24 = 76$

Stąd $c = \sqrt{76} = 2 \sqrt{19}$ .

Z twierdzenia Carnota i twierdzenia Pitagorasa wynika, że

Jeżeli $a$ , $b$ , $c$ są długościami boków trójkąta, to kąt między bokami $a$ , $b$ jest

ostry wtedy i tylko wtedy, gdy $a^{2} + b^{2} > c^{2}$ .
prosty wtedy i tylko wtedy, gdy $a^{2} + b^{2} = c^{2}$ .
rozwarty wtedy i tylko wtedy, gdy $a^{2} + b^{2} < c^{2}$ .

Ciekawostka

twierdzenie Dijkstry

Twierdzenie: twierdzenie Dijkstry

R11g2xsEQF1fv

W dowolnym trójkącie $A B C$ , przy oznaczeniach z rysunku mamy $sgn (α + β - γ) = sgn (a^{2} + b^{2} - c^{2})$ , gdzie $sgn$ oznacza funkcję $signum$ .

sgn (x) = \{\begin{cases} - 1 dla x < 0 \\ 0 dla x = 0 \\ 1 dla x > 0 \end{cases}

Dowód

Z twierdzenia cosinusów mamy $sgn (a^{2} + b^{2} - c^{2}) = sgn (a^{2} + b^{2} - a^{2} - b^{2} + 2 a b \cos γ) =$

$= sgn (2 a b \cos γ) = sgn (\cos γ)$

Z drugiej strony $sgn (α + β - γ) = sgn (α + β + γ - 2 γ) = sgn (180 ° - 2 γ)$ .

Jeżeli $γ$ jest kątem ostrym, to $\cos γ > 0$ oraz $180 ° - 2 γ > 0$ , więc $sgn (\cos γ) = sgn (180 ° - 2 γ) = 1$ .

Jeżeli $γ$ jest kątem rozwartym, to $\cos γ < 0$ oraz $180 ° - 2 γ < 0$ , więc $sgn (\cos γ) = sgn (180 ° - 2 γ) = - 1$ .

Jeżeli $γ$ jest kątem prostym, to $\cos γ = 0$ oraz $180 ° - 2 γ = 0$ , więc $sgn (\cos γ) = sgn (180 ° - 2 γ) = 0$ .

Carnota o promieniu okręgu wpisanego w trójkąt i promieniu okręgu opisanego na trójkącie

Twierdzenie: Carnota o promieniu okręgu wpisanego w trójkąt i promieniu okręgu opisanego na trójkącie

Ustalmy, że $r$ i $R$ oznaczają promienie okręgów, odpowiednio, wpisanego w trójkąt $A B C$ i opisanego na trójkącieokrąg opisany na trójkącieopisanego na trójkącie $A B C$ oraz kąty i boki trójkąta oznaczone są jak na rysunku. Wyznaczymy zależności między kątami $α$ , $β$ , $γ$ a kątami $∢ O A B$ , $∢ O B C$ i $∢ O C A$ .

RRRy7MNFIHYnt

Rozważmy kąty jakie tworzą z bokami trójkąta promienie $O A$ , $O B$ , $O C$ okręgu opisanego na trójkącie $A B C$ .

Z własności okręgu opisanego na trójkącie, trójkąty $B O C$ , $A O C$ i $A O B$ są równoramienne i ich ramionami są promienie $R$ .

Niech $x$ , $y$ , $z$ oznaczają kąty przy podstawie trójkątów równoramiennych $B O C$ , $A O C$ i $A O B$ , odpowiednio.

Jeżeli trójkąt jest ostrokątny, to $x + y = γ$ , $y + z = α$ , $z + x = β$ .

RdcbjGanzgqub

Na ilustracji przedstawiono trójkąt ABC, na którym opisano okrąg o środku w punkcie O. Kąt w trójkącie przy wierzchołku A oznaczono alfa, przy wierzchołku B kąt beta, oraz przy wierzchołku C kąt gamma. Linią przerywaną zaznaczono promienie okręgu, które łączą wierzchołki trójkąta ze środkiem okręgu. Promień wychodzący z wierzchołka A podzielił kąt alfa na kąt y i z. Promień wychodzący z wierzchołka B podzielił kąt beta na kąt z i x. Natomiast promień wychodzący z wierzchołka C podzielił kąt alfa na kąt x i y.

Dodając stronami mamy $2 x + 2 y + 2 z = α + β + γ = 180 °$ , więc $x + y + z = 90 °$ .

Dalej $x + y + z + x = γ + β$ , więc $90 ° + x = 180 ° - α$ . Stąd $x = 90 ° - α$ .

Analogicznie, $y = 90 ° - β$ oraz $z = 90 ° - γ$ .

Jeżeli trójkąt jest rozwartokątny i kąt $γ$ jest rozwarty, to $z + α = y$ , $z + β = x$ , $x + y = γ$ .

R1UKWkZaoLmkl

Na ilustracji przedstawiono trójkąt ABC, z kątem rozwartym przy wierzchołku C. Na trójkącie opisano okrąg o środku w punkcie O. Kąt w trójkącie przy wierzchołku A oznaczono alfa, przy wierzchołku B kąt beta, oraz przy wierzchołku C kąt gamma. Linią przerywaną zaznaczono promienie okręgu, które łączą wierzchołki trójkąta ze środkiem okręgu. ∠OAC oznaczono y i stanowi sumę kąta alfa i powstałego kąta z. ∠OBC oznaczono x i stanowi sumę kąta beta i powstałego kąta z. Promień wychodzący z wierzchołka C podzielił kąt gamma na kąt x i y.

Dodając stronami dwie pierwsze równości mamy $2 z + (α + β) = x + y = γ$ , więc $2 z + (180 ° - γ) = γ$ i ostatecznie $z = γ - 90 °$ .

Dalej $z + α = (γ - 90 °) + α = y$ , więc $y = 180 ° - β - 90 ° = 90 ° - β$ .

Analogicznie, $x = 90 ° - α$ .

Jeżeli trójkąt jest prostokątny i kąt $γ$ jest prosty, to $z + α = y$ , $z + β = x$ , $x + y = γ$ .

Dodając stronami dwie pierwsze równości mamy $2 z + (α + β) = x + y = γ$ , więc $2 z + (180 ° - γ) = γ$ i ostatecznie $z = 0 °$ .

Dalej $z + α = (γ - 90 °) + α = y$ , więc $y = 180 ° - β - 90 ° = 90 ° - β$ .

Analogicznie, $x = 90 ° - α$

Warto zauważyć, że powyższe zależności między kątami trójkąta i kątami $x$ , $y$ , $z$ wynikają z twierdzenia o kącie środkowym i wpisanym w okrąg.

Przykład 4

Omówimy sposób wyznaczenia okręgu opisanego na trójkącie, w którym znany jest jeden kąt ostry i bok leżący naprzeciwko tego kąta, bez wyznaczania symetralnych boków trójkąta.

Przy oznaczeniach powyżej niech $α$ będzie danym kątem ostrym.

Rsq8KvOM4ebTP

Wtedy na mocy cechy przystawania kąt‑bok‑kąt możemy wyznaczyć trójkąt $B O C$ . Jego wierzchołek $O$ będzie środkiem okręgu opisanego na trójkącie $A B C$ . Wiemy, że $∢ O B C = ∢ O C B = x = 90 ° - α$ i znamy bok $C B$ i to wystarczy do konstrukcji trójkąta $B O C$ .

Przytoczymy teraz dwa twierdzenia, które wykorzystują własności wysokościwysokość trójkąta wysokości w trójkącie i są niezbędne do sformułowania drugiego twierdzenia Carnota.

długość promienia

r

Twierdzenie: długość promienia

r

$r = \frac{2 P}{a + b + c}$ , gdzie $P$ oznacza pole trójkąta $A B C$ .

Dowód

$P = P_{A S B} + P_{B S C} + P_{A S C}$ , gdzie $S$ jest środkiem okręgu wpisanego w trójkąt.

Ponieważ promień jest prostopadły do boku trójkąta, to $P = \frac{a r}{2} + \frac{b r}{2} + \frac{c r}{2}$ , więc $2 P = a r + b r + c r = r (a + b + c)$ . Stąd $r = \frac{2 P}{a + b + c}$ .

długość promienia

R

Twierdzenie: długość promienia

R

$R = \frac{2 P}{a \cos α + b \cos β + c \cos γ}$ , gdzie $P$ oznacza pole trójkąta $A B C$ .

Dowód

Niech $d_{a}$ , $d_{b}$ , $d_{c}$ oznaczają odległości środka okręgu opisanego na trójkącieokrąg opisany na trójkącie okręgu opisanego na trójkącie od odpowiednich boków trójkąta. Odległości te są również wysokościami w trójkątach $B O C$ , $A O C$ , $A O B$ .

Po skorzystaniu z własności sinusa i cosinusa w trójkącie prostokątnym oraz wyznaczonych kątów $x$ , $y$ , $z$ powyżej mamy, w przypadku trójkąta ostrokątnego:

RXxj5VjVsRnBO

Na ilustracji przedstawiono trójkąt ABC, na którym opisano okrąg o środku w punkcie O. Bok AB oznaczono literą c, bok BC oznaczono literą a, natomiast bok AC oznaczono literą b. Kąt w trójkącie przy wierzchołku A oznaczono alfa, przy wierzchołku B kąt beta, oraz przy wierzchołku C kąt gamma. Linią przerywaną zaznaczono promienie okręgu, które łączą wierzchołki trójkąta ze środkiem okręgu. Zaznaczono następujące odcinki. Odcinek OE oznaczony de, stanowiący odległość środka okręgu od boku c. Odcinek OF, oznaczony da, stanowiący odległość środka okręgu od boku a. Odcinek OD, oznaczony db, stanowiący odległość środka okręgu od boku b.

$d_{a} = R \sin x = R \sin (90^{\circ} - α) = R \cos α$ ,

$d_{b} = R \sin y = R \sin (90^{\circ} - β) = R \cos β$ ,

$d_{c} = R \sin z = R \sin (90^{\circ} - γ) = R \cos γ$ .

$P = P_{B O C} + P_{A O C} + P_{A O B} = \frac{a d_{a}}{2} + \frac{b d_{b}}{2} + \frac{c d_{c}}{2} =$

$= \frac{1}{2} (a R \cos α + b R \cos β + c R \cos γ)$

Stąd $R = \frac{2 P}{a \cos α + b \cos β + c \cos γ}$ .

W przypadku trójkąta rozwartokątnego, w którym kąt $γ$ jest rozwarty mamy:

R54NQWN88Faiq

Na ilustracji przedstawiono rozwartokątny trójkąt ABC, na którym opisano okrąg o środku w punkcie O. Bok AB oznaczono literą c, bok BC oznaczono literą a, natomiast bok AC oznaczono literą b. Kąt w trójkącie przy wierzchołku A oznaczono alfa, przy wierzchołku B kąt beta, oraz przy wierzchołku C kąt rozwarty gamma. Linią przerywaną zaznaczono promienie okręgu, które łączą wierzchołki trójkąta ze środkiem okręgu. Zaznaczono następujące odcinki. Odcinek OE oznaczony de, stanowiący odległość środka okręgu od boku c. Odcinek OF, oznaczony da, stanowiący odległość środka okręgu od boku a. Odcinek OD, oznaczony db, stanowiący odległość środka okręgu od boku b.

$d_{a} = R \sin x = R \sin (90 ° - α) = R \cos α$ ,

$d_{b} = R \sin y = R \sin (90 ° - β) = R \cos β$ ,

$d_{c} = R \sin z = R \sin (γ - 90 °) = - R \cos γ$ .

$P = P_{B O C} + P_{A O C} - P_{A O B} = \frac{a d_{a}}{2} + \frac{b d_{b}}{2} - \frac{c d_{c}}{2} =$

$= \frac{1}{2} (a R \cos α + b R \cos β - c R (- \cos γ)) =$

$= \frac{1}{2} (a R \cos α + b R \cos β + c R \cos γ)$ .

Stąd $R = \frac{2 P}{a \cos α + b \cos β + c \cos γ}$ .

W przypadku trójkąta prostokątnego, w którym kąt $γ$ jest prosty mamy:

$d_{a} = R \cos α$ ,

$d_{b} = R \cos β$ ,

$d_{c} = R \cos γ = R \cos 90^{\circ} = 0$ .

$P = P_{B O C} + P_{A O C} = \frac{a d_{a}}{2} + \frac{b d_{b}}{2} = \frac{1}{2} (a R \cos α + b R \cos β + c R \cos 90^{\circ}) =$

$= \frac{1}{2} (a R \cos α + b R \cos β + c R \cos γ)$ .

Stąd $R = \frac{2 P}{a \cos α + b \cos β + c \cos γ}$ .

twierdzenie o stosunku

\frac{r}{R}

Twierdzenie: twierdzenie o stosunku

\frac{r}{R}

Dla dowolnego trójkąta $A B C$ zachodzi $\frac{r}{R} = \cos α + \cos β + \cos γ - 1$ .

Dowód

Z dwóch poprzednich twierdzeń wynika, że:

$\frac{r}{R}$ $= \frac{\frac{2 P}{a + b + c}}{\frac{2 P}{a \cos α + b \cos β + c \cos γ}} = \frac{a \cos α + b \cos β + c \cos γ}{a + b + c}$

Jeśli trójkąt jest ostrokątny, to wykorzystując wysokości w trójkącie mamy:

R1EwidKCNv1t7

Na ilustracji przedstawiono ostrokątny trójkąt ABC, na którym opisano okrąg o środku w punkcie O. Bok AB oznaczono literą c, bok BC oznaczono literą a, natomiast bok AC oznaczono literą b. Z wierzchołka A opuszczono wysokość trójkąta do boku BC, z wierzchołka B opuszczono wysokość trójkąta do boku AC, oraz z wierzchołka C opuszczono wysokość trójkąta do boku AB. Kąt w trójkącie przy wierzchołku A oznaczono alfa, przy wierzchołku B kąt beta, oraz przy wierzchołku C kąt gamma. Linią przerywaną zaznaczono promienie okręgu, które łączą wierzchołki trójkąta ze środkiem okręgu. Zaznaczono następujące odcinki. Odcinek OE oznaczony de, stanowiący odległość środka okręgu od boku c. Odcinek OF, oznaczony da, stanowiący odległość środka okręgu od boku a. Odcinek OD, oznaczony db, stanowiący odległość środka okręgu od boku b.

$a = c \cos β + b \cos γ$ , $b = c \cos α + a \cos γ$ , $c = a \cos β + b \cos α$ .

W przypadku, gdy kąt $γ$ jest rozwarty lub prosty to wykorzystując wysokości w trójkącie mamy:

RybL8AGWVrG5j

$a = c \cos β - b \cos (180^{\circ} - γ) = c \cos β + b \cos γ$ ,

$b = c \cos α - a \cos (180^{\circ} - γ) = c \cos α + a \cos γ$ ,

$c = a \cos β + b \cos α$ .

Wtedy $a + b + c = (b + c) \cos α + (a + c) \cos β + (a + b) \cos γ$ .

Przekształcamy licznik:

$a \cos α + b \cos β + c \cos γ =$

$= a \cos α + b \cos β + c \cos γ + (b + c) \cos α + (a + c) \cos β +$

$+ (a + b) \cos γ - ((b + c) \cos α + (a + c) \cos β + (a + b) \cos γ) =$

$= (a + b + c) \cos α + (a + b + c) \cos β + (a + b + c) \cos γ - (a + b + c) =$

$= (a + b + c) (\cos α + \cos β + \cos γ - 1)$

Ostatecznie:

$\frac{r}{R}$ $= \frac{a \cos α + b \cos β + c \cos γ}{a + b + c} = \frac{(a + b + c) (\cos α + \cos β + \cos γ - 1)}{a + b + c} =$

$= \cos α + \cos β + \cos γ - 1$

Przykład 5

Wyznaczymy długość promienia $r$ okręgu wpisanego w trójkątokrąg wpisany w trójkątokręgu wpisanego w trójkąt $A B C$ , jeśli $R = 12$ oraz $α = 60 °$ , $β = 45 °$ .

Wyznaczamy cosinusy kątów trójkąta

$\cos α = \cos 60^{\circ} = \frac{1}{2}$

$\cos β = \cos 45^{\circ} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Trzeci kąt trójkąta $A B C$ wynosi $γ = 180 ° - (α + β)$ , więc

$\cos γ = \cos (180^{\circ} - (α + β)) = - \cos (α + β) =$

$= - \cos α \cos β + \sin α \sin β = - \frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{6}}{4}$

Wtedy

$r = R (\cos α + \cos β + \cos γ - 1)$ $= 12 (\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{6}}{4} - 1) =$

$= 6 + 6 \sqrt{2} - 3 \sqrt{2} + 3 \sqrt{6} - 12 = 3 \sqrt{2} + 3 \sqrt{6} - 6$

drugie twierdzenie Carnota

Twierdzenie: drugie twierdzenie Carnota

Przy oznaczeniach z rysunków:

R8aTpRRGXJT5o

RWAYzDthxQGWt

Jeśli trójkąt $A B C$ jest ostrokątny, to $d_{a} + d_{b} + d_{c} = r + R$ .
Jeśli trójkąt $A B C$ jest trójkątem rozwartokątnym, w którym kąt $γ$ jest rozwarty, to $d_{a} + d_{b} - d_{c} = r + R$ .
Jeśli trójkąt $A B C$ jest trójkątem prostokątnym, w którym kąt $γ$ jest prosty, to $d_{a} + d_{b} = r + R$ .

Dowód

W dowodzie twierdzenia o długości promienia $R$ wyznaczyliśmy:

w przypadku, gdy trójkąt $A B C$ jest ostrokątny $d_{a} = R \cos α$ , $d_{b} = R \cos β$ , $d_{c} = R \cos γ$ .

Stąd

$d_{a} + d_{b} + d_{c} = R \cos α + R \cos β + R \cos γ = R (\cos α + \cos β + \cos γ) =$

$= R (\frac{r}{R} + 1) = r + R \frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{6}}{4}$ .

w przypadku, gdy trójkąt $A B C$ jest trójkątem rozwartokątnym, w którym kąt $γ$ jest rozwarty $d_{a} = R \cos α$ , $d_{b} = R \cos β$ , $d_{c} = - R \cos γ$ .

Stąd

$d_{a} + d_{b} - d_{c} = R \cos α + R \cos β - (- R \cos γ) =$

$= R (\cos α + \cos β + \cos γ) =$ $R (\frac{r}{R} + 1) = r + R$ .

w przypadku, gdy trójkąt $A B C$ jest trójkątem prostokątnym, w którym kąt $γ$ jest prosty: $d_{a} = R \cos α$ , $d_{b} = R \cos β$ , $d_{c} = R \cos 90 ° = 0$ .

Stąd

$d_{a} + d_{b} = d_{a} + d_{b} + 0 = d_{a} + d_{b} + d_{c} =$

$= R \cos α + R \cos β + R \cos 90 ° = R (\cos α + \cos β + \cos 90 °) =$

$= R (\frac{r}{R} + 1) = r + R$

Przykład 6

Wyznaczymy długość promienia $r$ okręgu wpisanego w prostokątny trójkątokrąg wpisany w trójkątokręgu wpisanego w prostokątny trójkąt $A B C$ .

RekXFQXZd8XVc

Na ilustracji przedstawiono trójkąt ABC, z kątem prostym przy wierzchołku C. Bok AB oznaczono literą c, bok BC oznaczono literą a, natomiast bok AC oznaczono literą b. Na trójkącie opisano okrąg, którego środek w punkcie O, leży na przeciwprostokątnej AB. Zaznaczono następujące odcinki. Odcinek OG oznaczony db, stanowiący odległość środka okręgu od boku b, oraz odcinek OF, oznaczony da, stanowiący odległość środka okręgu od boku a. ∠GAO, oraz ∠FOB oznaczono alfa. ∠AOG, oraz ∠OBF oznaczono beta.

Środek okręgu opisanego na trójkącie prostokątnym jest środkiem przeciwprostokątnej, stąd $R = \frac{c}{2}$ . Odcinki $O F$ i $O G$ są odległościami $d_{a}$ , $d_{b}$ środka okręgu opisanego na trójkącie od boków $a$ i $b$ , odpowiednio.

Zauważamy, że trójkąty $A G O$ , $O F B$ i $A C B$ są podobne na mocy cechy kąt – kąt – kąt. Stąd $d_{a} = \frac{b}{2}$ , $d_{b} = \frac{a}{2}$ .

Z drugiego twierdzenia Carnota $r = d_{a} + d_{b} - R = \frac{a + b - c}{2}$ .

Słownik

wysokość trójkąta

najkrótszy odcinek łączący jeden z wierzchołków trójkąta z prostą zawierającą przeciwległy bok trójkąta (podstawę)

spodek wysokości

punkt przecięcia wysokości z podstawą

okrąg wpisany w trójkąt

okrąg, który jest styczny do wszystkich boków trójkąta

okrąg opisany na trójkącie

okrąg, który przechodzi przez wszystkie wierzchołki trójkąta

Wprowadzenie

Symulacja interaktywna

Słownik