Wiele obiektów ma jednorodny rozkład masy. Oznacza to, że gęstość materiału, z którego wykonane jest to ciało, jest taka sama w każdym punkcie tego ciała. W takim razie dowolny fragment tego ciała ma taką samą masę, jak dowolny inny fragment tego ciała o tej samej objętości. W efekcie jaka siła grawitacji działa na każdy fragment tego ciała? Taka sama – co pokazuje Rys. 1.
REmsVHTRxZOuX
R1aM0RXF5BZqd
Rys. 2. ilustruje, że rozkład masy w ciele wcale nie musi być jednorodny – prawa część wykonana jest z materiału o większej gęstości, lewa część ma mniejszą gęstość, a pomiędzy końcami gęstość ta płynnie się zmienia. W efekcie na fragmenty ciała zlokalizowane po prawej stronie rysunku działa większa siła grawitacji niż na takie same fragmenty z lewej strony ciała – ponieważ te z prawej przy tej samej objętości mają większą masę. Co z tego wynika?
Odpowiedź znajdziemy na Rys. 3. i 4. Czarne kółka oznaczają środek masy ciała, czyli punkt, który zachowuje się tak, jak gdyby była w nim skupiona cała masa ciała. Położenie tego punktu w jednym wymiarze dla punktów materialnych wyznacza się korzystając z poniższego wzoru:
gdzie to masy poszczególnych punktów materialnych, a to ich odległości od przyjętego środka układu współrzędnych. W przypadku rozciągłego ciała możemy również zastosować ten wzór, dzieląc obiekt na małe fragmenty o grubości i masie każdy, a następnie analogicznie je sumując. Ponieważ fragmenty zlokalizowane po prawej stronie mają większą masę, ich wkład w obliczaną sumę będzie większy. W efekcie, jak widzimy na Rys. 4., środek masy niejednorodnego obiektu jest przesunięty w bok. Dlaczego ma to znaczenie w opisie jego ruchu? Ponieważ w jednorodnym polu grawitacyjnym to właśnie do środka masy przyłożona jest wypadkowa siła grawitacji.
R1F31EaxaNTv6
R1StoTbf6hXMi
Zanim omówimy konsekwencje tej obserwacji dla ruchu ciała, spójrzmy na jeszcze jeden przykład pokazujący, że środek masy obiektu nie musi znajdować się w jego środku geometrycznym. Na Rys. 5. połączono ze sobą dwa jednorodne ciała o różnych gęstościach. Środek masy układu znajduje się pomiędzy środkami mas każdego z tych obiektów. Możemy o tym pomarańczowym obiekcie myśleć jako o „obciążniku”, czyli małym, ciężkim elemencie – kawałku ołowiu doczepionym do wędkarskiego spławika, grubej nakrętce nakręconej na śrubę, gwoździu wbitym w drewno etc. Środek masy układu będzie przesunięty w stronę obciążnika. Jak wpłynie to na zachowanie się ciała pod wpływem przyłożonych do niego sił?
R1AELkOzXduSc
Odpowiedź na to pytanie znajdziemy w budowie popularnej zabawki zwanej „wańką‑wstańkąWańka‑wstańkawańką‑wstańką”. Przykład takiej zabawki widzimy na Rys. 6. Dół tej zabawki uformowany jest w obły kształt - półkuli lub podobny do jajka. Zabawka jest pusta w środku, ale w jej dolnej części znajduje się właśnie żelazny obciążnik. W efekcie środek masy całej zabawki przesunięty jest mocno w dół. Teraz przyjrzyjmy się prawej części rysunku – co się stanie, gdy wytrącimy zabawkę z położenia równowagi? Środek masy – ze względu na swoje położenie i kształt zabawki – uniesie się do góry! Oznacza to, że zwiększy się energia potencjalna grawitacji tego układ i będzie on starał się powrócić do pierwotnego położenia trwałej równowagi. Czyli zabawka „wstanie” z powrotem do pionu!
RD3sTeqkp50S8
To samo zjawisko wykorzystują zabawki typu „piłka‑zmyłka”, czyli kule z przymocowanym wewnątrz obciążnikiem. Przekrój przez taką kulę widoczny jest na Rys. 7. Czarne, małe kółka oznaczają położenie środka masy. W przypadku zwykłej piłki środek masy znajduje się w jej geometrycznym środku. W przypadku piłki z obciążnikiem – przesunięty jest w dół, w stronę obciążnika. Co się stanie, jeśli takie piłki kopniemy, wytrącając je z położenia równowagi?
R1RPjjmA1ftbp
Odpowiedź na to pytanie znajdziemy na Rys. 8. W jego lewej części widać, że zwykła, nieobciążona, symetryczna piłka pozostaje w równowadze niezależnie od tego, jak ją obrócimy. Za każdym razem siła grawitacji i siła reakcji podłoża będą działały pionowo w tej samej osi, znosząc się wzajemnie ze względu na przeciwne zwroty. Jednakże w przypadku piłki z przesuniętym środkiem ciężkości widzimy inny rozkład sił. Owszem, obie siły działają pionowo, ale nie w jednej osi. W efekcie zaznaczona na zielono siła reakcji podłoża tworzy moment siły! Można go określić za pomocą wzoru:
Znaczy to, że siła reakcji podłoża będzie powodować obracanie się piłki w zaznaczonym wygiętą strzałką kierunku – czyli obrót piłki do takiego położenia, aby znów obciążnik był możliwie nisko. W efekcie piłka z lewej strony po kopnięciu toczy się płynnie, a piłka z prawej przekręca się, wracając po przechyleniu do położenia równowagi – czasem cofając się w kierunku przeciwnym do kierunku kopnięcia. To faktycznie „piłka‑zmyłka”!
R19bkWQg5zs9f
Słowniczek
Wańka‑wstańka
Wańka‑wstańka
(ang. roly‑poly toy) dziecięca zabawka, która wytrącona z równowagi wraca do pionowego położenia, ze względu na znajdujący się w jej wnętrzu obciążnik, obniżający jej środek ciężkości.