Warto przeczytać

Wiele obiektów ma jednorodny rozkład masy. Oznacza to, że gęstość materiału, z którego wykonane jest to ciało, jest taka sama w każdym punkcie tego ciała. W takim razie dowolny fragment tego ciała ma taką samą masę, jak dowolny inny fragment tego ciała o tej samej objętości. W efekcie jaka siła grawitacji działa na każdy fragment tego ciała? Taka sama – co pokazuje Rys. 1.

REmsVHTRxZOuX

Rys. 1. Rysunek przedstawia prostokąt, którego dłuższy bok jest poziomy, bok krótszy jest pionowy. Prostokąt jest równomiernie zabarwiony na kolor niebieski. Prezentuje ciało jednorodne o takiej samej gęstości w każdym punkcie. Wzdłuż poziomego boku narysowanych jest dziewięć pionowych jednakowych wektorów siły grawitacyjnej. Każdy opisany wielką literą F.

R1aM0RXF5BZqd

Rys. 2. Rysunek przedstawia prostokąt, którego dłuższy bok jest poziomy, bok krótszy jest pionowy. Prostokąt ma niejednorodny rozkład masy i gęstości. Pokazano to przez zmianę koloru wypełnienia od jasnoniebieskiej z lewej strony do ciemnoniebieskiej z prawej. Przejście kolorów jest płynne, nie ma granic. Siły grawitacji przedstawiono jako dziewięć wektorów o zmieniającej się długości od lewego końca do prawego. Wektor z lewej strony jest najkrótszy i opisany wielką literą F z indeksem dolnym jeden. Z prawej strony umieszczono najdłuższy wektor opisany wielką literą F z indeksem dolnym dziewięć. Gdyby połączyć groty wektorów, to otrzymalibyśmy linię prostą narysowaną pod kątem czterdziestu pięciu stopni względem podstawy prostokąta.

Rys. 2. ilustruje, że rozkład masy w ciele wcale nie musi być jednorodny – prawa część wykonana jest z materiału o większej gęstości, lewa część ma mniejszą gęstość, a pomiędzy końcami gęstość ta płynnie się zmienia. W efekcie na fragmenty ciała zlokalizowane po prawej stronie rysunku działa większa siła grawitacji niż na takie same fragmenty z lewej strony ciała – ponieważ te z prawej przy tej samej objętości mają większą masę. Co z tego wynika?

Odpowiedź znajdziemy na Rys. 3. i 4. Czarne kółka oznaczają środek masy ciała, czyli punkt, który zachowuje się tak, jak gdyby była w nim skupiona cała masa ciała. Położenie tego punktu w jednym wymiarze dla punktów materialnych wyznacza się korzystając z poniższego wzoru:

gdzie $m_i$ to masy poszczególnych punktów materialnych, a $x_i$ to ich odległości od przyjętego środka układu współrzędnych. W przypadku rozciągłego ciała możemy również zastosować ten wzór, dzieląc obiekt na małe fragmenty o grubości $\Delta x_i$ i masie $\Delta m_i$ każdy, a następnie analogicznie je sumując. Ponieważ fragmenty zlokalizowane po prawej stronie mają większą masę, ich wkład w obliczaną sumę będzie większy. W efekcie, jak widzimy na Rys. 4., środek masy niejednorodnego obiektu jest przesunięty w bok. Dlaczego ma to znaczenie w opisie jego ruchu? Ponieważ w jednorodnym polu grawitacyjnym to właśnie do środka masy przyłożona jest wypadkowa siła grawitacji.

R1F31EaxaNTv6

Rys. 3. Rysunek przedstawia niebieski prostokąt, którego dłuższy bok jest poziomy, a w środku narysowano długi wektor o kierunku pionowym z grotem skierowanym w dół obrazującym siłę wypadkową grawitacji opisaną wielką literą F z indeksem dolnym mała litera w. Miejsce zaczepienia wektora oznaczono czarną dużą kropką. Jest to środek masy.

R1StoTbf6hXMi

Rys. 4. Rysunek przedstawia ciało o niejednorodnym rozkładzie masy, co pokazano kolorem przechodzącym od jasnoniebieskiego do ciemnoniebieskiego w sposób płynny. Wektor siły ciężkości nie jest zaczepiony w środku, a przesunięty w prawo od środka geometrycznego i narysowany w postaci pionowej strzałki z grotem skierowanym w dół, opisany wielką literą F z indeksem dolnym mała litera w. Punkt przyłożenia tej siły jest środkiem masy i oznaczony jest czarną dużą kropką.

Zanim omówimy konsekwencje tej obserwacji dla ruchu ciała, spójrzmy na jeszcze jeden przykład pokazujący, że środek masy obiektu nie musi znajdować się w jego środku geometrycznym. Na Rys. 5. połączono ze sobą dwa jednorodne ciała o różnych gęstościach. Środek masy układu znajduje się pomiędzy środkami mas każdego z tych obiektów. Możemy o tym pomarańczowym obiekcie myśleć jako o „obciążniku”, czyli małym, ciężkim elemencie – kawałku ołowiu doczepionym do wędkarskiego spławika, grubej nakrętce nakręconej na śrubę, gwoździu wbitym w drewno etc. Środek masy układu będzie przesunięty w stronę obciążnika. Jak wpłynie to na zachowanie się ciała pod wpływem przyłożonych do niego sił?

R1AELkOzXduSc

Rys. 5. Rysunek składa się z dwóch części: pierwsza przedstawia dwa złączone ze sobą prostokąty obrazujące dwa ciała o różnych masach. Ciało niebieskie jest większe, a do jego środka geometrycznego przyłożono siłę ciężkości w postaci wektora opisanego wielką literą F z indeksem dolnym jeden. Ciało o mniejszej masie jest pomarańczowe, a do jego środka przyłożono wektor o mniejszej długości, opisany wielką literą F z indeksem dolnym dwa, obrazujący mniejszą siłę ciężkości. Ciało pomarańczowe umieszczono z prawej strony ciała niebieskiego. Druga część przedstawia jeden zamiast dwóch wektorów siły, zaczepiony w punkcie leżącym z prawej strony środka geometrycznego większego ciała (niebieskiego). W tym przedstawieniu ciał nie traktujemy osobno, lecz jako jeden obiekt. Obiekt niejednorodny.

Odpowiedź na to pytanie znajdziemy w budowie popularnej zabawki zwanej „wańką‑wstańkąWańka‑wstańkawańką‑wstańką”. Przykład takiej zabawki widzimy na Rys. 6. Dół tej zabawki uformowany jest w obły kształt - półkuli lub podobny do jajka. Zabawka jest pusta w środku, ale w jej dolnej części znajduje się właśnie żelazny obciążnik. W efekcie środek masy całej zabawki przesunięty jest mocno w dół. Teraz przyjrzyjmy się prawej części rysunku – co się stanie, gdy wytrącimy zabawkę z położenia równowagi? Środek masy – ze względu na swoje położenie i kształt zabawki – uniesie się do góry! Oznacza to, że zwiększy się energia potencjalna grawitacji tego układ i będzie on starał się powrócić do pierwotnego położenia trwałej równowagi. Czyli zabawka „wstanie” z powrotem do pionu!

RD3sTeqkp50S8

Rys. 6. Rysunek pokazuje dwa położenia schematycznie narysowanej zabawki „wańki‑wstańki”. Jedno – gdy zabawka jest w położeniu równowagi, drugie, gdy wychylona jest w bok. Na obu rysunkach zaznaczono środek ciężkości w postaci kropki. Jego położenie nie pokrywa się ze środkiem geometrycznym i jest znacznie niżej. W pozycji wychylonej, gdy zabawka ułożona jest na boku, środek ciężkości jest wyżej niż w pierwszym położeniu. Na rysunku zaznaczono tę różnicę wysokości.

To samo zjawisko wykorzystują zabawki typu „piłka‑zmyłka”, czyli kule z przymocowanym wewnątrz obciążnikiem. Przekrój przez taką kulę widoczny jest na Rys. 7. Czarne, małe kółka oznaczają położenie środka masy. W przypadku zwykłej piłki środek masy znajduje się w jej geometrycznym środku. W przypadku piłki z obciążnikiem – przesunięty jest w dół, w stronę obciążnika. Co się stanie, jeśli takie piłki kopniemy, wytrącając je z położenia równowagi?

R1RPjjmA1ftbp

Rys. 7. Rysunek przedstawia dwa okręgi: jeden pusty wewnątrz z zaznaczonym środkiem, pokrywającym się ze środkiem masy. Okrąg obrazuje piłkę pustą w środku. Drugi okrąg przedstawiono z obciążnikiem narysowanym jako małe niebieskie kółko. To jest piłka z obciążnikiem w środku. Środek masy takiego układu jest obniżony. Na rysunku zaznaczono to w postaci kropki nad niebieskim kółkiem, a pod środkiem dużego okręgu. W tym drugim wypadku środek masy obniżył się o odległość opisaną grecką literą delta wielkie H, co zaznaczono na rysunku strzałką z dwoma grotami.

Odpowiedź na to pytanie znajdziemy na Rys. 8. W jego lewej części widać, że zwykła, nieobciążona, symetryczna piłka pozostaje w równowadze niezależnie od tego, jak ją obrócimy. Za każdym razem siła grawitacji i siła reakcji podłoża będą działały pionowo w tej samej osi, znosząc się wzajemnie ze względu na przeciwne zwroty. Jednakże w przypadku piłki z przesuniętym środkiem ciężkości widzimy inny rozkład sił. Owszem, obie siły działają pionowo, ale nie w jednej osi. W efekcie zaznaczona na zielono siła reakcji podłoża tworzy moment siły! Można go określić za pomocą wzoru:

Znaczy to, że siła reakcji podłoża będzie powodować obracanie się piłki w zaznaczonym wygiętą strzałką kierunku – czyli obrót piłki do takiego położenia, aby znów obciążnik był możliwie nisko. W efekcie piłka z lewej strony po kopnięciu toczy się płynnie, a piłka z prawej przekręca się, wracając po przechyleniu do położenia równowagi – czasem cofając się w kierunku przeciwnym do kierunku kopnięcia. To faktycznie „piłka‑zmyłka”!

R19bkWQg5zs9f

Rys. 8. Rysunek przedstawia schematycznie dwie piłki narysowane w postaci okręgów. Jedną pustą, drugą z obciążnikiem. W okręgu przedstawiającym pustą piłkę narysowano dwie siły: siłę ciężkości w postaci czerwonego wektora zaczepionego w środku masy, oznaczoną wielką literą F z indeksem dolnym małe g i siłę reakcji podłoża w postaci zielonego wektora, zaczepioną w punkcie styczności piłki z podłożem, skierowaną pionowo do góry, opisaną wielką literą F z indeksem dolnym małe r. Siły mają różne punkty przyłożenia, ale jeden kierunek. Drugą piłkę przedstawiono schematycznie z obciążnikiem, ale w sytuacji dynamicznej, pokazuje to strzałka w postaci łuku obok okręgu. Obciążnik w postaci niebieskiego kółka przymocowano do okręgu od wewnątrz z lewej strony od środka. Jest to położenie niesymetryczne. Na rysunku zaznaczono dwie siły: siłę reakcji opisaną wielką literą F z indeksem dolnym małe r skierowaną pionowo w górę (zielony wektor) i przyłożoną w punkcie styczności piłki z podłożem oraz siłę ciężkości układu opisaną wielką literą F z indeksem dolnym małe g przyłożoną do przesuniętego środka masy. Siłę ciężkości przedstawiono jako czerwony wektor skierowana pionowo w dół. Kierunki sił nie pokrywają się, ale są równoległe.

Słowniczek