Niech punktem wspólnym prostej $k$ przebijającej płaszczyznę $\pi$ będzie $A$. Mówimy, że prosta $k$ jest prostopadła do płaszczyzny $\pi$, jeśli jest prostopadła do każdej prostej zawartej w płaszczyźnie $\pi$ przechodzącej przez punkt $A$.

RmXzQa4DXjbUQ

Na ilustracji przedstawiono płaszczyznę oznaczoną pi, która zawiera dwie proste przecinające się w punkcie A. Narysowano prostą k, prostopadłą do obu prostych oraz przebijającą płaszczyznę pi w punkcie A.

Rzutem równoległym na płaszczyznę $\pi$ w kierunku prostej $k$ nazywamy takie przekształcenie przestrzeni trójwymiarowej, które każdemu punktowi $X$ tej przestrzeni przyporządkowuje punkt $X\text{'}$ płaszczyzny $\pi$, będący punktem przecięcia płaszczyzny $\pi$ oraz prostej równoległej do $k$ przechodzącej przez punkt $X$. Płaszczyznę $\pi$ w tym przekształceniu nazywamy rzutnią. Jeżeli punkt $X$ leży na rzutni, to obraz $X$ w rzutowaniu jest równy $X\text{'}$.

R79EHj7B4lntH

Na ilustracji przedstawiono dwa rysunki. Na rysunku pierwszym przedstawiono prostą k, stanowiącą kierunek rzutowania, która przebija płaszczyznę pi, czyli rzutnię. Na rysunku drugim dorysowano drugą prostą, na której zaznaczono punkt X oraz pod nim punkt X prim, stanowiący rzut punktu X w kierunku prostej k.

O rzucie prostokątnym mówimy wówczas, gdy prosta będąca kierunkiem rzutowania jest prostopadła do rzutni.

R6N13b6lociyT

Na ilustracji przedstawiono płaszczyznę pi, która stanowi rzutnię. Narysowano prostą k, która stanowi prostą prostopadłą do rzutni w punkcie A. Obok narysowano prostą, na której zaznaczono punkt X oraz poniżej punkt X prim, będący rzutem prostokątnym punktu X.

Jeżeli prosta $k$ jest równoległa do płaszczyzny $\pi$ (czyli nie ma z nią punktów wspólnych lub jest w niej zawarta w całości), to przyjmujemy, że kąt między $k$ a $\pi$ ma miarę $0°$.

Jeżeli prosta $k$ jest prostopadła do płaszczyzny $\pi$prosta prostopadła do płaszczyznyprosta $k$ jest prostopadła do płaszczyzny $\pi$, to przyjmujemy, że kąt między $k$ a $\pi$ ma miarę $90°$.

Jeżeli prosta $k$ nie jest ani równoległa, ani prostopadła do płaszczyzny $\pi$, to kąt między $k$ a $\pi$ definiujemy jako kąt między $\pi$ a rzutem prostokątnym prostej $k$ na płaszczyznę $\pi$.

R1MqInJxL4ajA

Na ilustracji przedstawiono prostą przecinającą płaszczyznę pi w punkcie A, pod kątem ostrym. Na prostej zaznaczono punkty B, C i D. Linią przerywaną narysowano linię zawierającą się w płaszczyźnie, przechodzącą przez punkt A, na którą zrzutowano punkty B, C i D i zaznaczono odpowiednio punkty B prim, C prim, D prim.

Odcinek $AB$ ma długość $5$ i jest nachylony do płaszczyzny $\pi$ pod kątemkąt między prostą, a płaszczyznąnachylony do płaszczyzny $\pi$ pod kątem $30°$. Obliczymy, jaką długość ma rzut prostokątny odcinka $AB$ na płaszczyznę $\pi$.

Rozwiązanie

Niech $A\text{'}$ i $B\text{'}$ oznaczają odpowiednio rzuty prostokątnerzut prostokątnyrzuty prostokątne punktów $A$ i $B$ na płaszczyznę $\pi$. Poprowadźmy proste $AB$ oraz $A\text{'}B\text{'}$. Zauważmy, że prosta $A\text{'}B\text{'}$ jest rzutem prostokątnym na $\pi$ prostej $AB$.

R10MGiDqHzKxj

Na ilustracji przedstawiono prostą przecinającą płaszczyznę pi w punkcie O, pod kątem 30 stopni. Na prostej zaznaczono punkty A i B. Punkt B znajduje się poniżej punktu A. Linią przerywaną narysowano linię zawierającą się w płaszczyźnie, przechodzącą przez punkt O, na którą zrzutowano punkty A oraz B i zaznaczono odpowiednio punkty A prim, B prim.

Możemy dorysować prostą $k$ równoległą do prostej $A\text{'}B\text{'}$ przechodzącą przez punkt $B$. Nazwijmy punkt wspólny prostych $AA\text{'}$ oraz $k$ przez $C$.

RztdE6JC0vWpr

Na ilustracji przedstawiono prostą przecinającą płaszczyznę pi w punkcie O, pod kątem 30 stopni. Na prostej zaznaczono punkty A i B. Punkt B znajduje się poniżej punktu A. Linią przerywaną narysowano linię zawierającą się w płaszczyźnie, przechodzącą przez punkt O, na którą zrzutowano punkty A oraz B i zaznaczono odpowiednio punkty A prim, B prim. Poprowadzono prostą równoległą do płaszczyzny pi, przechodzącą przez punkt B.

Wówczas utworzony trójkąt $ABC$ jest trójkątem prostokątnym o jednym z kątów o mierze $30°$ oraz przeciwprostokątnej długości $5$.

R1cESjL5aFoje

Na ilustracji przedstawiono prostą przecinającą płaszczyznę pi w punkcie O, pod kątem 30 stopni. Na prostej zaznaczono punkty A i B. Punkt B znajduje się poniżej punktu A. Linią przerywaną narysowano linię zawierającą się w płaszczyźnie, przechodzącą przez punkt O, na którą zrzutowano punkty A oraz B i zaznaczono odpowiednio punkty A prim, B prim. Poprowadzono prostą równoległą do płaszczyzny pi, przechodzącą przez punkt B. $\angle BCA$ wynosi 90 stopni.

Z własności trójkąta o kątach $90°$, $60°$, $30°$ (ekierkowego) wynika, że $\left|BC\right|=2,5\sqrt{3}$. Ponieważ $BC\parallel B\text{'}A\text{'}$, więc $\left|B\text{'}A\text{'}\right|=2,5\sqrt{3}$.

Na poniższym rysunku zaznaczono punkt $A$ o współrzędnych $\left(3,4,5\right)$, jego rzuty prostokątne na płaszczyzny $XY$, $XZ$ i $YZ$ oraz rzuty na osie $X$, $Y$ i $Z$.

RuR3HnYH3wh0N

Na ilustracji przedstawiono trzy osie X, Y oraz Z parami prostopadłe, przecinające się w jednym punkcie. Kolorem czerwonym oznaczono oś X od -7 do siedmiu, kolorem zielonym oś Y od -7 do siedmiu oraz kolorem niebieskim oś Z od -3 do sześciu. Na płaszczyźnie zaznaczono następujące punkty. Punkt A o współrzędnych $\left(3,4,5\right)$, $A\text{'}\left(3,0,0\right)$, $A\text{'}\text{'}\left(0,4,0\right)$, $A\text{'}\text{'}\text{'}\left(0,0,5\right)$, $B\left(3,4,0\right)$, $C\left(3,0,5\right)$, $D\left(0,4,5\right)$.

prosta, która ma z daną płaszczyzną dokładnie jeden punkt wspólny

prosta $k$ przebijająca płaszczyznę $\pi$ w punkcie $A$ jest prostopadła do płaszczyzny $\pi$, gdy jest prostopadła do każdej prostej zawartej w $\pi$ przechodzącej przez $A$

rzutem prostokątnym na płaszczyznę $\pi$ nazywamy takie przekształcenie przestrzeni trójwymiarowej, które dowolnemu punktowi $X$ przyporządkowuje taki punkt $X\text{'}$ należący do $\pi$, że prosta $XX\text{'}$ jest prostopadła do $\pi$

1) jeżeli prosta $k$ jest równoległa do płaszczyzny $\pi$, to kąt między nimi jest równy $0°$;

2) jeżeli prosta $k$ jest prostopadła do płaszczyzny $\pi$, to kąt między nimi jest równy $90°$;

3) jeżeli prosta $k$ jest przebija płaszczyznę $\pi$, ale nie jest do niej prostopadła, to kąt między nimi jest równy kątowi między $\pi$ a rzutem prostokątnym $k$ na $\pi$