Przeczytaj
W trakcie lekcji omówimy sposoby wyznaczania równania prostej symetrycznej do prostej o zadanym równaniu względem początku układu współrzędnych, czyli punktu o współrzędnych .
Do wyznaczania równań prostych w symetrii względem punktu wykorzystamy definicję punktów symetrycznych względem początku układu współrzędnychpunktów symetrycznych względem początku układu współrzędnych.
Punktem symetrycznym do punktu o współrzędnych względem początku układu współrzędnych jest punkt o współrzędnych .
Punktami symetrycznymi względem punktu są na przykład punkty o współrzędnych:
oraz ,
oraz ,
oraz .
Obrazem punktu w symetrii względem początku układu współrzędnych jest ten sam punkt.
W celu wyznaczenia równania prostej w symetrii względem początku układu współrzędnych posłużymy się równaniem ogólnym oraz równaniem kierunkowym prostej.
I. Wyznaczenie równania prostej symetrycznej względem początku układu współrzędnych, gdy mamy dane:
punkt przecięcia prostej z osią ,
punkt przecięcia prostej z osią ,
równanie w postaci ogólnej.postaci ogólnej.
Określimy prostą w postaci ogólnej za pomocą równania .
Załóżmy, że współczynniki , , są różne od .
Wtedy punkt przecięcia tej prostej z osią ma współrzędne , a punkt przecięcia z osią ma współrzędne .
Opiszmy prostą symetryczną względem początku układu współrzędnych za pomocą równania ogólnego .
Załóżmy, że współczynniki , , są różne od .
Zatem do tej prostej należą punkty o współrzędnych oraz .
Podstawimy współrzędne tych punktów do równania ogólnego tej prostej. Otrzymujemy układ równań:
.
Jeżeli pierwsze równanie pomnożymy przez , a drugie przez , to otrzymamy układ równań:
.
Zatem oraz .
Jeżeli podstawimy obliczone współczynniki do równania prostej symetrycznej, to otrzymujemy równanie:
.
Mnożąc obie strony równania przez ułamek , otrzymujemy równanie prostej symetrycznej do prostej względem początku układu współrzędnych:
.
Na rysunku przedstawiono wykresy prostych symetrycznych względem początku układu współrzędnych:
II. Wyznaczenie równania prostej symetrycznej względem początku układu współrzędnych, gdy mamy dane:
punkt przecięcia z osią ,
punkt przecięcia z osią ,
równanie w postaci kierunkowejpostaci kierunkowej.
Określimy prostą w postaci kierunkowej za pomocą równania .
Wtedy punkt przecięcia tej prostej z osią ma współrzędne , a punkt przecięcia z osią ma współrzędne .
Obrazem punktu w symetrii względem początku układu współrzędnych jest punkt o współrzędnych , a obrazem punktu jest punkt .
Zapiszmy równanie prostej symetrycznej względem punktu w postaci .
Podstawimy współrzędne punktów oraz do równania tej prostej. Otrzymujemy układ równań:
.
Z układu równań obliczamy, że oraz , zatem równanie prostej symetrycznej do prostej względem początku układu współrzędnych zapisujemy w postaci: .
Wnioski:
proste opisane równaniami oraz , gdzie są zawsze symetryczne względem początku układu współrzędnych;
proste opisane równaniami oraz , gdzie są zawsze symetryczne względem początku układu współrzędnych;
obrazem prostej opisanej za pomocą równania w symetrii względem początku układu współrzędnych jest ta sama prosta.
Na rysunkach przedstawiono wykresy prostych symetrycznych względem początku układu współrzędnych:
Do wyznaczenia równania prostej w postaci kierunkowej wystarczy znać współrzędne dwóch dowolnych punktów, które należą do tej prostej.
Do wyznaczenia równania prostej symetrycznej względem początku układu współrzędnych wystarczy znaleźć obrazy w symetrii względem punktu tych dwóch dowolnych punktów, a następnie wyznaczyć równanie prostej przechodzącej przez te punkty.
Wyznaczymy równanie prostej w symetrii względem punktu o współrzędnych do prostej o równaniu .
Rozwiązanie
Zauważmy, że do podanej prostej należą punkty o współrzędnych oraz .
Obrazem tych punktów w symetrii względem początku układu współrzędnych są punkty o współrzędnych oraz .
Oznaczmy równanie prostej w symetrii względem osi w postaci .
Podstawiamy do tego równania współrzędne punktów oraz i otrzymujemy układ równań:
.
Rozwiązaniem układu równań jest para liczb oraz .
Zatem prosta symetryczna względem początku układu współrzędnych jest opisana za pomocą równania .
Wyznaczymy równania prostych symetrycznych względem początku układu współrzędnych do prostych określonych równaniami:
a) ,
b) .
Rozwiązanie
a) Równanie ogólne prostej symetrycznej do danej prostej względem początku układu współrzędnych jest postaci .
b) Równanie kierunkowe prostej symetrycznej do danej prostej względem początku układu współrzędnych jest postaci .
Jeżeli wiemy, jakie warunki muszą spełniać współczynniki w równaniach prostych w symetrii względem początku układu współrzędnych, wówczas możemy znajdować wartości parametrów, dla których te proste są symetryczne względem punktu .
Wyznaczymy, dla jakich wartości parametrów i proste o równaniach oraz są symetryczne względem początku układu współrzędnych.
Rozwiązanie
Proste o podanych równaniach są symetryczne względem początku układu współrzędnych, gdy zachodzi układ równań:
.
Rozwiązaniem układu równań są liczby oraz .
Dla otrzymanych wartości parametrów i proste są symetryczne względem początku układu współrzędnych.
Wyznaczymy, dla jakich wartości parametru proste o równaniach oraz są symetryczne względem początku układu współrzędnych.
Rozwiązanie
Wiadomo, że proste o równaniach w postaci kierunkowej są symetryczne względem początku układu współrzędnych, gdy ich współczynniki są liczbami przeciwnymi.
Zatem rozwiązujemy równanie:
.
Równanie przekształcamy do postaci .
Rozwiązaniami tego równania są liczby lub , zatem proste są symetryczne względem początku układu współrzędnych, gdy wartość jest równa jednej z otrzymanych liczb.
Słownik
równanie postaci , gdzie i nie są jednocześnie równe
równanie postaci , gdzie oraz nazywamy współczynnikiem kierunkowym prostej
punkty o współrzędnych i