Przeczytaj
W tym materiale przedstawimy kilka typów tożsamości trygonometrycznych. W poniższych przykładach będziemy przekształcać jedną ze stron równości, zwykle tę bardziej skomplikowaną, tak długo, aż otrzymamy drugą stronę równania.
Udowodnimy, że równość:
jest tożsamością.
Rozwiązanie
Najpierw zapiszmy założenia: .
Zastosujemy wzór na sinus podwojonego argumentusinus podwojonego argumentu oraz jedynkę trygonometryczną do przekształcenia lewej strony nierówności:
Wykorzystujemy wzór skróconego mnożenia na sumę kwadratów i po skróceniu otrzymujemy prawą stronę równości:
.
Udowodnimy, że równość:
jest tożsamością.
Rozwiązanie
Zapisujemy założenia: , .
Zastosujemy wzór na cosinus podwojonego argumentucosinus podwojonego argumentu do przekształcenia lewej strony nierówności:
Wyłączamy przed nawias wspólny czynnik w liczniku i mianowniku i skracamy go:
Korzystamy ze wzorów redukcyjnych.
Następnie traktujemy jak cosinus podwojonego argumentu i korzystamy ze wzoru na cosinus podwojonego kątacosinus podwojonego kąta:
Na końcu korzystamy z tożsamości :
.
Wykazaliśmy, że równość jest tożsamością.
Wykażemy, że równość:
jest tożsamością.
Rozwiązanie
Zapiszmy założenie: .
Przekształcamy lewą stronę równości z wykorzystaniem wzorów na sinus oraz cosinus podwojonego kąta: oraz . Wówczas otrzymujemy:
Po wyłączeniu przed nawias odpowiednich wyrażeń w liczniku i mianowniku, dokonujemy skrócenia. Ponownie wykorzystujemy wzór na sinus podwojonego kątasinus podwojonego kąta i otrzymujemy:
.
Wykazaliśmy, że równość jest tożsamością.
Wykażemy, że równość:
jest tożsamością.
Rozwiązanie
Zapiszmy założenia: .
Korzystamy z tożsamości i przekształcamy lewą stronę równości:
Wyrażenie w ostatnim nawiasie sprowadzamy do wspólnego mianownika oraz korzystamy ze wzoru na cosinus podwojonego kąta i otrzymujemy:
Korzystamy ze wzoru na i po skróceniu otrzymujemy prawą stronę równości:
.
Wykazaliśmy, że równość jest tożsamością.
Słownik
tożsamość trygonometryczna: prawdziwa dla każdej liczby rzeczywistej
tożsamość trygonometryczna: prawdziwa dla każdej liczby rzeczywistej