Przeczytaj

Podamy teraz jedno z podstawowych twierdzeń dotyczących działań na logarytmach. W historii matematyki odegrało ono istotną rolę, gdyż pozwalało zastępować mnożenie dużych liczb dodawaniem tych liczb, co było znacznie łatwiejsze do wykonania (pamiętajmy, że maszyny do liczenia weszły do powszechnego użytkowania dopiero na przełomie XIX i XX wieku).

We wszystkich obliczeniach w tym materiale uwzględniać będziemy założenia wynikające z definicji logarytmu – podstawa logarytmu musi być liczbą dodatnią, różną od jedności, liczba logarytmowana musi być dodatnia.

Twierdzenie o logarytmie iloczynu

Twierdzenie: Twierdzenie o logarytmie iloczynu

Jeżeli $a$ jest liczbą dodatnią, różną od $1$ , liczby $x$ , $y$ są liczbami dodatnimi, to:

\log_{a} (x y) = \log_{a} x + \log_{a} y

Dowód:

Założenie:

$a > 0$ , $a \neq 0$ – podstawa logarytmu,

$x > 0$ , $y > 0$ – liczby logarytmowane.

Teza:

\log_{a} (x y) = \log_{a} x + \log_{a} y

Dowód

Oznaczmy: $\log_{a} x = p$ , $\log_{a} y = q$ .

Z definicji logarytmu wynika, że:

x = a^{p}

y = a^{q}

Mnożymy stronami otrzymane równości.

x \cdot y = a^{p} \cdot a^{q}

Z własności mnożenia potęg o tych samych podstawach wynika, że:

x \cdot y = a^{p + q}

Korzystamy ponownie z definicji logarytmu.

\log_{a} (x y) = p + q

Zastępujemy liczby $p$ , $q$ odpowiednimi logarytmami. Otrzymujemy tezę.

\log_{a} (x y) = \log_{a} x + \log_{a} y

Co kończy dowód.

Wzór zapisany w powyższym twierdzeniu można uogólnić na dowolną liczbę czynników:

\log_{a} (x_{1} \cdot x_{2} \cdot . . . \cdot x_{n}) = \log_{a} x_{1} + \log_{a} x_{2} + \dots + \log_{a} x_{n}

Możemy powiedzieć (pamiętając o odpowiednich założeniach):

logarytm przy danej podstawie iloczynu liczb dodatnich jest równy sumie logarytmów tych liczb przy tej samej podstawie.

Zauważmy, że prawdziwy jest też wzór odwrotny:

\log_{a} x_{1} + \log_{a} x_{2} + . . . + \log_{a} x_{n} = \log_{a} (x_{1} \cdot x_{2} \cdot . . . \cdot x_{n})

Podamy teraz przykłady zastosowania twierdzenia o logarytmie iloczynutwierdzenie o logarytmie iloczynutwierdzenia o logarytmie iloczynu.

Przykład 1

Zapiszemy każdy z podanych logarytmów w postaci sumy liczby wymiernej i niewymiernej.

$\log_{2} 24 = \log_{2} (8 \cdot 3) = \log_{2} 8 + \log_{2} 3 = 3 + \log_{2} 3$

$\log_{3} 45 = \log_{3} (9 \cdot 5) = \log_{3} 9 + \log_{3} 5 = 2 + \log_{3} 5$

$\log_{0,1} 200 = \log_{0,1} (100 \cdot 2) = \log_{0,1} 100 + \log_{0,1} 2 = - 2 + \log_{0,1} 2$

Przykład 2

Zapiszemy sumy logarytmów w postaci logarytmu iloczynu i zapiszemy otrzymaną liczbę bez użycia logarytmu.

$\log 5 + \log 2 = \log (5 \cdot 2) = \log 10 = 1$

$\log_{4} 32 + \log_{4} 2 = \log_{4} (32 \cdot 2) = \log_{4} 64 = 3$

$\log_{12} 2 + \log_{12} 3 + \log_{12} 4 + \log_{12} 6 = \log_{12} (2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 6) = \log_{12} 144 = 2$

Przykład 3

Znajdziemy liczbę $x$ taką, że $1 + \log 2 + \log x = 3 - \log 2$ .

Do obu stron równania dodajemy $\log 2$ .

$1 + \log 2 + \log x + \log 2 = 3$

Zapisujemy liczby $1$ i $3$ za pomocą logarytmów.

$\log 10 + \log 2 + \log x + \log 2 = \log 1000$

Korzystamy z twierdzenia o logarytmie iloczynu.

$\log (10 \cdot 2 \cdot 2 \cdot x) = \log 1000$

Porównujemy liczby logarytmowane – korzystając z różnowartościowości funkcji logarytmicznej.

$40 x = 1000$

$x = 25$

Liczba $25$ jest dodatnia (liczba logarytmowana musi być dodatnia), zatem spełnia warunki zadania.

Odpowiedź:

szukana liczba to $25$ .

Przykład 4

Wiedząc, że $\log_{3} 5 \approx 1,47$ i $\log_{3} 2 \approx 0,63$ , obliczymy przybliżone wartości liczb $\log_{3} 15$ , $\log_{3} \frac{1}{6}$ , $\log_{3} 2 \frac{1}{4}$ .

$\log_{3} 15 = \log_{3} 3 + \log_{3} 5 \approx 1 + 1,47 = 2,47$

$\log_{3} \frac{1}{6} = \log_{3} \frac{1}{3} + \log_{3} \frac{1}{2} = - \log_{3} 3 - \log_{3} 2 \approx - 1 - 0,63 = - 1,63$

$\log_{3} 2 \frac{1}{4} = \log_{3} \frac{9}{4} = \log_{3} 9 + \log_{3} \frac{1}{4} = 2 - 2 \cdot \log_{3} 2 \approx 2 - 2 \cdot 0,63 = 0,74$

Przykład 5

Wiedząc, że $\log_{2} 3 = m$ obliczymy $A = \log_{2} \sqrt{54}$ .

Zapisujemy liczbę podpierwiastkową w postaci iloczynu, którego jednym z czynników jest potęga liczby $2$ .

$A = \log_{2} \sqrt{54} = \log_{2} \sqrt{2 \cdot 27}$

Zapisujemy logarytm iloczynu w postaci sumy logarytmów.

$A = \log_{2} \sqrt{2} + \log_{2} \sqrt{27}$

Ponieważ $\sqrt{2} = 2^{\frac{1}{2}}$ i $\sqrt{27} = 27^{\frac{1}{2}}$ , stąd

$A = \frac{1}{2} \cdot \log_{2} 2 + \frac{1}{2} \cdot \log_{2} 27 = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot \log_{2} 3^{3}$

Podstawiając $\log_{2} 3 = m$ , otrzymujemy

$A = \frac{1}{2} + \frac{3}{2} m$

Słownik

twierdzenie o logarytmie iloczynu

Jeżeli $a$ jest liczbą dodatnią, różną od $1$ , liczby $x$ , $y$ są liczbami dodatnimi, to:

\log_{a} (x y) = \log_{a} x + \log_{a} y

Wprowadzenie

Animacja

Słownik