Warto przeczytać

Klasyczna mechanika Newtona oparta była na założeniu, że czas i przestrzeń są absolutne. W dziele „Philosophiae Naturalis Principia Mathematica” (1687 r.) Newton napisał:

„...przestrzeń absolutna jest w swojej istocie absolutna względem wszystkiego zewnętrznego, jest zawsze jednakowa i nieruchoma...”

„...absolutny, rzeczywisty czas matematyczny jest rzeczą samą w sobie; w istocie w żaden sposób nie odnosi się do czegoś zewnętrznego, upływa równomiernie i inaczej nazywa się trwaniem...”

Z założeń Newtona wynika zatem, że upływ czasu i kształt przestrzeni nie zależą od materii i zjawisk, stanowią jedynie arenę, na której się wszystko rozgrywa. Opracowane przez Newtona zasady dynamiki były spójne z wymyśloną pół wieku wcześniej przez Galileusza zasadą względności, którą można sformułować w następujący sposób:

Warto dodać, że klasyczna mechanika zakładała możliwość osiągnięcia przez sygnały i ciała dowolnie dużych prędkości.

By zjawisko zachodzące w jednym układzie odniesienia można było opisać w innym układzie odniesienia potrzebne są zależności pomiędzy współrzędnymi czasowymi i przestrzennymi tego zjawiska w obu układach. Takie relacje dotyczące dwóch układów odniesienia poruszających się względem siebie ruchem jednostajnym, prostoliniowym z prędkością v nazywane są transformacją Galileuszatransformacja Galileuszatransformacją Galileusza.

Transformacja Galileusza

Spróbujmy przedstawić transformację Galileusza dla najprostszego przypadku, gdy osie współrzędnych w dwóch układach będą do siebie równoległe, a osie 0X i 0X${}^{\prime }$ w tych układach wybierzemy tak, aby ruch względny układów odbywał się wzdłuż tych osi.

Rozważmy dwa układy inercjalne X0Y i X${}^{\prime }$0${}^{\prime }$Y${}^{\prime }$. Dla uproszczenia rozważań uwzględnimy tylko dwa wymiary przestrzenne (Rys. 1.).

RitHrPcIDdifo

Rys. 1. przedstawia z lewej strony niebieski dwuwymiarowy układ współrzędnych (oś pozioma duża litera Y, oś pionowa duża litera X) oraz czerwony dwuwymiarowy układ współrzędnych (oś pozioma duża litera Y wskaźnik górny prim, oś pionowa duża litera X wskaźnik górny prim) przesunięty względem niebieskiego o 2mm w prawo i 2 mm w dół. Układ czerwony porusza się z prędkością zaznaczona jako czerwona strzałka skierowana poziomo w prawo i podpisana u małe wektor. W środku układów niebieskiego i czerwonego zaznaczono czarną kropkę i podpisano dużą literą P i poprowadzono niebieski i czerwony odcinek jako linie przerywane pionowe i w miejscu przecięcia z osiami poziomymi układów mają podpisy: małe x wskaźnik dolny zer i wskaźnik górny prim (w kolorze niebieskim) oraz małe x wskaźnik dolny zero (w kolorze czerwonym). Po prawej stronie: czerwony dwuwymiarowy układ współrzędnych (oś pozioma duża litera Y wskaźnik górny prim, oś pionowa duża litera X wskaźnik górny prim). W polu wykresu zaznaczone dwa punkty czarne i podpisane: duża litera P i duża litera P wskaźnik górny prim. Punkty te leżą na jednej poziomej prostej (niewidocznej) w odległości ok 1cm od siebie. Pod tymi trzema ukłądami współrzędnych widać odcinek niebieski zakończony grotami łączący punkt P na lewym rysunku i punkt P na prawym rysunku. Odcinek ten podpisany jest: mała litera d, znak równości, mała litera u, mała litera t wskaźnik dolny 1, wskaźnik górny prim. Jeszcze niżej pod lewym rysunkiem widać napis: mała litera t wskaźnik dolny zero, znak równości, mała litera t wskaźnik dolny zero, wskaźnik górny prim, znak równości zero. Pod lewym: mała litera t wskaźnik dolny 1, znak równości, mała litera t wskaźnik dolny 1, wskaźnik górny prim.

Niech w chwili początkowej $t=t'=0$ osie układów się pokrywają, a układ X${}^{\prime }$0${}^{\prime }$Y${}^{\prime }$ porusza się względem układu X0Y ze stałą prędkością $\vec{u}$ zwróconą wzdłuż osi 0X. Niech w układzie X${}^{\prime }$0${}^{\prime }$Y${}^{\prime }$ spoczywa punkt P mający współrzędną $x_0$.

Zgodnie z założeniami mechaniki klasycznej czas jest absolutny i płynie tak samo w obu układach $t=t'$.

Po czasie $t_1$ układ X${}^{\prime }$0${}^{\prime }$Y${}^{\prime }$ przebędzie względem X0Y odległość $d=ut_1$.

Współrzędna $x'$ punktu nie zmienia się (wszak spoczywa on w układzie primowanym), zatem $x_1^{\prime }=x_0^{\prime }$, natomiast jego współrzędna $x_0$ wzrośnie o $d$. Jak widać zatem:

$${\displaystyle x_1^{\prime }=x_1-u{t}_1}$$.

Ponieważ współrzędne $y$ i $y'$ w obu układach są jednakowe, transformacja Galileusza pozwalająca na przejście z opisem zjawisk mechanicznych z układu X0Y do X${}^{\prime }$0${}^{\prime }$Y${}^{\prime }$ ma w tym przypadku postać:

$$\begin{array}{lll}{t}^{ʹ}& =& t\\ x_1^{ʹ}& =& x_1-u{t}_1\\ y^{ʹ}& =& y\end{array}$$

Jeżeli punkt P będzie poruszać się względem układu X0Y z prędkością $\vec{v}$ równoległą do osi 0X i przemieści się do położenia $P_2$, to wartość tej prędkości możemy zapisać:

$${\displaystyle v=\frac{\Delta x}{\Delta t}}$$,

gdzie ${\displaystyle \mathrm{\Delta }x=x_2-x_0}$, a ${\displaystyle \mathrm{\Delta }t=t_1-t_0}$.

Względem układu X${}^{\prime }$0${}^{\prime }$Y${}^{\prime }$ prędkość tego punktu wyniesie:

$${\displaystyle v^{\prime }=\frac{\mathrm{\Delta }{x}^{\prime }}{\mathrm{\Delta }t}=\frac{x_2^{\prime }-x_0^{\prime }}{\mathrm{\Delta }t}=\frac{(x_2-u{t}_1)-(x_0-u{t}_0)}{\mathrm{\Delta }t}=}$$

$${\displaystyle \frac{(x_2-x_0)-u(t_1-t_0)}{\mathrm{\Delta }t}=\frac{x_2-x_0}{\mathrm{\Delta }t}-\frac{u(t_1-t_0)}{\mathrm{\Delta }t}=v-u}$$.

Wzór ten jest zgodny z klasycznym wzorem opisującym składanie prędkości.

Jeżeli punkt P względem układu X0Y będzie mieć przyspieszenie o wartości:

$${\displaystyle a=\frac{(v_2-v_1)}{\Delta t}}$$

zwrócone zgodnie z osią 0X, to przyspieszenie względem X${}^{\prime }$0${}^{\prime }$Y${}^{\prime }$ wyniesie:

$${\displaystyle a^{\prime }=\frac{(v_2^{\prime }-v_1^{\prime })}{\Delta t}=\frac{(v_2-u)-(v_1-u)}{\Delta t}=\frac{(v_2-v_1)}{\Delta t}=a}$$.

Zatem według transformacji Galileusza przyspieszenie ciała nie zależy od wybranego inercjalnego układu odniesieniainercjalny układ odniesieniainercjalnego układu odniesienia. Czyli równanie opisujące II zasadę dynamiki:

$$\overrightarrow{a}=\frac{\overrightarrow{F}}{m}$$

ma dla danego ciała taką samą postać w każdym układzie inercjalnym.

Ponieważ klasyczna mechanika odnosiła duże sukcesy w wyjaśnianiu i przewidywaniu zjawisk fizycznych, rozmaite teorie fizyczne powstające licznie pod koniec XIX wieku próbowano opisać na sposób mechaniczny. Między innymi przyjmowano, że fale elektromagnetyczne, podobnie jak mechaniczne, powinny być rozprzestrzeniającymi się zaburzeniami hipotetycznego ośrodka nazywanego eterem.

Jednym z problemów, które napotykało takie ujęcie fizyki było to, że te same zjawiska elektromagnetyczne należało tłumaczyć w inny sposób w różnych układach inercjalnych. Na przykład poruszający się ładunek elektryczny wytwarza pole magnetyczne. Jeżeli jednak wybierzemy układ odniesieniaukład odniesieniaukład odniesienia, w którym ładunek spoczywa, to w tym układzie pola magnetycznego być nie powinno. Zatem samo istnienie pola magnetycznego miałoby zależeć od wyboru układu odniesienia. W konsekwencji opis zjawisk elektromagnetycznych w różnych układach inercjalnych wymagał innej postaci praw elektrodynamiki odkrytych przez Maxwella.

Przełomowym etapem w rozwoju fizyki była próba wyznaczenia prędkości Ziemi względem eteru. Próbę tę podjął w 1881 roku Albert Michelson i powtórzył, udoskonalając aparaturę z Abrahamem Morleyem. W doświadczeniu mierzono prędkość światła w kierunku równoległym i prostopadłym do kierunku ruchu Ziemi.

Wyniki doświadczenia pokazały, że prędkość światła w obu kierunkach była jednakowa, nie zależy ona zatem od prędkości Ziemi w przestrzeni. Można więc było wyciągnąć wniosek, że prędkość światła nie zależy od układu odniesienia, względem którego jest mierzona.

Próby wyjaśnienia wyników tego doświadczenia, a także stworzenia transformacji nie zmieniających postaci równań Maxwella przy zmianie układu inercjalnego, doprowadziły Hendrika Lorentza do układu równań nazywanych transformacją Lorentzatransformacja Lorentzatransformacją Lorentza.

Transformacja ta dla przypadku przedstawionego na Rys. 1. ma postać:

a przy przejściu z układu X${}^{\prime }$0${}^{\prime }$Y${}^{\prime }$ do X0Y (odwrotna transformacja Lorentza):

Jak widać równania te są bardziej skomplikowane niż transformacja Galileusza. Można jednak zauważyć, że dla prędkości $u\ll c$ transformacja ta przechodzi w transformację Galileusza. Wynika stąd, że gdy mamy do czynienia z niewielkimi prędkościami obiektów, zasady dynamiki Newtona pozostają słuszne.

Lorentz opisał matematycznie swoją transformację, by bronić słusznej wówczas teorii eteru (której był zresztą jednym z autorów). Dopiero Albert Einstein dostrzegł, że transformację Lorentza można wyprowadzić w zupełnie inny sposób, bez konieczności uwzględniania hipotetycznego eteru, przyjmując, że:

Założenie niezależności prędkości światła od układu inercjalnego pozwoliło rozszerzyć zasadę względności Galileusza również na zjawiska elektrodynamiczne i sformułować Einsteinowi ogólniejszą zasadę, zwaną dziś zasadą względności Einsteina. Zasada względności Einsteina mówi o tym, że:

Zasada względności Einsteina i stałość prędkości światła stały się podstawą sformułowanej przez Einsteina Szczególnej Teorii Względności (STW). Istotną różnicą między STW a mechaniką Newtona jest założenie, że to nie czas i przestrzeń są absolutne, a raczej prędkość światła w próżni. Teoria ta zakładała, że we wszystkich układach inercjalnych prędkość światła w próżni jest taka sama we wszystkich kierunkach i nie zależy od prędkości źródła. Z założeń tych wynikają wszelkie konsekwencji STW, często sprzeczne z naszą intuicją. Między innymi:

• prędkość światła w próżni jest maksymalną prędkością, jaką mogą osiągnąć wszelkiego typu sygnały w przyrodzie i nie jest ona możliwa do osiągnięcia przez obiekty materialne,

• czas trwania zjawiska i rozmiary obiektu zależą od układu odniesienia, względem którego są one mierzone,

• równoczesność zdarzeń zależy od układu odniesienia.

Słowniczek