Przeczytaj

Odległość punktuodległość punktu od prostejOdległość punktu $A$ od prostejodległość punktu od prostejod prostej $m$ będziemy oznaczać $d (A, m)$ .

R1A0s1WqdAlex

Ilustracja przedstawia ukośną prostą opisaną jako m, na której zaznaczono punkt a. Na dole umieszczono zapis: d w nawiasie a przecinek m po nawiasie równa się zero.

Jeżeli punkt $A$ należy do prostej $m$ , to jego odległość od tej prostej jest równa $0$ , czyli $A \in m \Leftrightarrow d (A, m) = 0$ .

RsApB4aiEYPcL

Ilustracja przedstawia ukośną prostą opisaną jako m, poniżej oznaczono punkt a.

Jeżeli punkt $A$ nie należy do prostej $m$ , to odległość $A$ od $m$ jest równa długości najkrótszego spośród odcinków łączących punkt $A$ z punktami prostej $m$ .

Zauważmy, że ten najkrótszy odcinek jest do prostej $m$ prostopadły.

RdDE75g4BmtQ0

Ilustracja przedstawia ukośną prostą opisaną jako m. Na prostej oznaczono punkty. Odpowiednio od góry X, A prim, Y, Z. Poniżej prostej oznaczono punkt A. Wszystkie punkty z prostej połączono z punktem a. Odcinek A A prim jest prostopadły do prostej. Obok rysunku zapisano równanie: d w nawiasie a przecinek m po nawiasie równa się d w nawiasie a przecinek a prim po nawiasie równa się wartość bezwzględna z a a prim.

Powyższa definicja obowiązuje również w przypadku płaszczyzny z układem współrzędnych.

Przykład 1

Określimy odległości punktów od prostych w kilku przypadkach:

Ilustracja punktu $A$ i prostej $m$	Odległość punktu $A$ od prostej $m$
R1ZG0t7RSp92p	$d (A, m) = 3$
RxbUEw8AYtxvK	$d (A, m) = 2$
RwddPtbbk3cWq	$d (A, m) = \sqrt{2}$

Przykład 2

Dana jest prosta $m$ . Wyznaczymy zbiór wszystkich punktów odległych od prostej $m$ o dwie jednostki.

R1cDhmJAdoQab

Prosta

m

R1FM696sIhvUI

Zbiór wszystkich punktów płaszczyzny odległych od prostej

m

o dwie jednostki

RvIvoLzayyTXe

Prosta

m

Rvc5sSjop3zdQ

Zbiór wszystkich punktów płaszczyzny odległych od prostej

m

o dwie jednostki

R1bE5HeDG8SAI

Prosta

m

RLpK6o9czwsYT

Zbiór wszystkich punktów płaszczyzny odległych od prostej

m

o dwie jednostki

Przykład 3

Wyznaczymy zbiór wszystkich punktów odległych od odcinka $A B$ o jedną jednostkę.

Wiemy już, że wszystkie punkty odległe od prostej $A B$ o jedną jednostkę tworzą dwie proste równoległe do prostej $A B$ leżące po obu stronach prostej $A B$ .

R1HroGAOrGnpf

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią X od minus 1 do dziewięciu i z pionową osią Y od minus 1 do czterech. W układzie narysowany jest poziomy odcinek A B, gdzie A ma współrzędne 3 2, B ma współrzędne 7 2. Jedną jednostkę w górę i jedną jednostki w dół od podcinka narysowane są dwa poziome odcinki równoległe do odcinka A B o takiej samej długości jak odcinek A B.

Z kolei zbiór wszystkich punktów odległych o jedną jednostkę od punktu $A$ to okrąg o środku w punkcie $A$ i promieniu $1$ . Analogicznie zbiór wszystkich punktów odległych o $1$ od punktu $B$ to okrąg o środku w punkcie $B$ i promieniu $1$ . Ponieważ nie rozważamy całej prostej, a jedynie odcinek $A B$ , proste równoległe do prostej $A B$ również ograniczymy do odcinków, zaś okręgi o środkach w punktach $A$ i $B$ do półokręgów otrzymując poniższy kształt.

RCi0sijmL1t2u

Przykład 4

Analogicznie możemy wyznaczyć zbiór punktów odległych od odcinka $A B$ o dwie jednostki: jest sumą odcinków równoległych do odcinka $A B$ odległych od niego o dwie jednostki oraz półokręgów o środkach w punktach $A$ i $B$ i promieniach równych $2$ .

RbVLZuhtLxI5G

Przykład 5

Znany jest wzór

P_{∆ A B C} = \frac{1}{2} \cdot |(x_{B} - x_{A}) (y_{C} - y_{A}) - (y_{B} - y_{A}) (x_{C} - x_{A})|

na pole trójkąta o wierzchołkach $A = (x_{A}, y_{A})$ , $B = (x_{B}, y_{B})$ , $C = (x_{C}, y_{C})$ .

Wyznaczymy odległość punktu $A = (3, 2)$ od prostej przechodzącej przez punkty $B = (- 2, 1)$ i $C = (1, - 4)$ .

Zauważmy, że szukana odległość jest równa wysokości $h_{A}$ trójkąta $A B C$ poprowadzonej z wierzchołka $A$ . Z przytoczonego powyżej wzoru możemy obliczyć pole trójkąta $A B C$ :

$P_{Δ A B C} = \frac{1}{2} \cdot |(- 2 - 3) (- 4 - 2) - (1 - 2) (1 - 3)| = 14$

Pole trójkąta można również wyznaczyć jako połowa iloczynu długości podstawy i wysokości. Poszukujemy wysokości, ale długość podstawy możemy obliczyć ze wzoru na odległość dwóch punktów:

$|B C| = \sqrt{{(- 2 - 1)}^{2} + {(1 - (- 4))}^{2}} = \sqrt{9 + 25} = \sqrt{34}$

Wynika stąd równanie:

$\frac{1}{2} \cdot |B C| \cdot h_{A} = 14$

czyli:

\frac{1}{2} \cdot \sqrt{34} \cdot h_{A} = 14

h_{A} = \frac{28}{\sqrt{34}} = \frac{28 \sqrt{34}}{34} = \frac{14 \sqrt{34}}{17}

Zatem odległość punktu $A$ od prostejodległość punktu od prostejodległość punktu $A$ od prostej $B C$ jest równa $\frac{14 \sqrt{34}}{17}$ .

Ważne!

Zbiór wszystkich punktów spełniających dany warunek jest nazywany miejscem geometrycznymmiejsce geometrycznemiejscem geometrycznym lub locus. Na przykład okrąg to zbiór punktów leżących w tej samej odległości od danego punktu; zbiór punktów równoodległych od punktów $A$ i $B$ to symetralna odcinka $A B$ .

Słownik

odległość punktu od prostej

długość najkrótszego spośród odcinków łączących punkt $A$ z punktami prostej $m$ ; odcinek ten jest prostopadły do danej prostej

miejsce geometryczne

zbiór wszystkich punktów spełniający dany warunek

Wprowadzenie

Aplet

Słownik