Wartością bezwzględną (modułem) liczby rzeczywistej $a$ nazywamy liczbę $a$, gdy $a\ge 0$ lub liczbę $\left(-a\right)$, gdy $a<0$.

Zapiszemy w najprostszej postaci podane wyrażenia.

• $\left|\sqrt{2}-1\right|=\sqrt{2}-1$, bo $\sqrt{2}>1$ i $\sqrt{2}-1>0$

• $\left|1-\sqrt{2}\right|=\sqrt{2}-1$, bo $\sqrt{2}>1$ i $1-\sqrt{2}<0$

• $\left|4-\sqrt{3}\right|+\left|\sqrt{3}-4\right|+\left|2\sqrt{3}\right|=4-\sqrt{3}-\sqrt{3}+4+2\sqrt{3}=8$

Rozwiążemy równanie $\left|x^2-3x\right|+2x=\left|3x-x^2\right|+2$.

Przenosimy wyrażenia ze zmienną na lewą stronę równania.

$\left|x^2-3x\right|+2x-\left|3x-x^2\right|=2$

Korzystamy z własności wartości bezwzględnej

$\left|a-b\right|=\left|b-a\right|$

$\left|x^2-3x\right|+2x-\left|x^2-3x\right|=2$

$2x=2$

$x=1$

Obliczmy odległość na osi liczbowej punktu $P=\left(-9\right)$ od zera.

Na osi liczbowej odległość punktu $P=\left(-9\right)$ od punktu $0$ jest równa $\left|-9\right|=9$.

Obliczymy odległość punktów $P=\left(2+\sqrt[3]{3}\right)$ i $R=\left(-2+\sqrt[3]{3}\right)$ na osi liczbowej.

$d\left(PR\right)=\left|-2+\sqrt[3]{3}-2-\sqrt[3]{3}\right|=\left|-4\right|=4$.

Zapiszemy wyrażenie $W\left(x\right)=\sqrt{4x^2-20x+25}$ bez użycia pierwiastka.

Wyrażenie pod pierwiastkiem zapisujemy w postaci kwadratu różnicy, a następnie z wykorzystaniem wartości bezwzględnej.

$W\left(x\right)=\sqrt{4x^2-20x+25}$

$W\left(x\right)=\sqrt{{\left(2x-5\right)}^2}$

$W\left(x\right)=\left|2x-5\right|$

$W\left(x\right)=\left\{\begin{array}{ll}-2x+5,& x<2,5\\ 2x+5,& x\ge 2,5\end{array}\right.$

Zapoznaj się z trudniejszymi przykładami obliczania wartości wyrażeń arytmetycznych zawierających wartość bezwzględnąwartość bezwzględnawartość bezwzględną.

• Dla dowolnej liczby rzeczywistej $x$, $x\le \left|x\right|$.

  Na przykład:

  $7\le \left|7\right|=7$

  $-7\le \left|-7\right|=7$

• Jeśli $x\ne 0$ to $\frac{\left|x\right|}{x}=1$ lub $\frac{\left|x\right|}{x}=-1$.

  Na przykład:

  $\frac{\left|9\right|}{9}=1$

  $\frac{\left|-9\right|}{-9}=-1$

• Dla dowolnej liczby rzeczywistej $x$, ${\left|x\right|}^2=x^2$.

  Na przykład:

  ${\left|-8\right|}^2=\left|-8\right|·\left|-8\right|=8·8=64=\left(-8\right)·\left(-8\right)={\left(-8\right)}^2$

Wykażemy prawdziwość nierówności $\left|x+y\right|\le \left|x\right|+\left|y\right|$.

Skorzystamy z podanych wyżej własności wartości bezwzględnej.

${\left|x+y\right|}^2={\left(x+y\right)}^2=x^2+2xy+y^2\le x^2+\left|2xy\right|+y^2$

$x^2+\left|2xy\right|+y^2={\left(\left|x\right|+\left|y\right|\right)}^2$

Stąd

${\left|x+y\right|}^2\le {\left(\left|x\right|+\left|y\right|\right)}^2$

$\left|x+y\right|\le \left|x\right|+\left|y\right|$

Wykażemy, że dla każdych liczb rzeczywistych $a$, $b$, jeżeli $a^2+b^2\le 2$ to $\left|a+b\right|\le 2$.

$a^2+b^2\le 2$

Mnożymy przez $2$ obie strony nierówności.

$2a^2+2b^2\le 4$

Zauważmy teraz, że $2a^2+2b^2={\left(a+b\right)}^2+{\left(a-b\right)}^2$, zatem

${\left(a+b\right)}^2+{\left(a-b\right)}^2\le 4$

Ponieważ

${\left(a+b\right)}^2\le {\left(a+b\right)}^2+{\left(a-b\right)}^2\le 4$

zatem

${\left(a+b\right)}^2\le 4$

Obie strony nierówności są nieujemne.

$\sqrt{{\left(a+b\right)}^2}\le \sqrt{4}$

$\left|a+b\right|\le 2$.

wartością bezwzględną (modułem) liczby rzeczywistej $a$ nazywamy liczbę $a$, gdy $a\ge 0$ lub liczbę $\left(-a\right)$, gdy $a<0$