Linia środkowa w trójkącie jest to odcinek łączący środki dwóch boków trójkąta.

Linia środkowa w trójkącie jest równoległa do podstawy i długość linii środkowej jest równa połowie długości podstawy.

Obliczymy długości linii środkowych w trójkącie o bokach długości $20$, $15$, $10$.

Rozwiązanie

Bezpośrednio z powyższego twierdzenia wynika, że środkowa odpowiadająca postawie $20$ ma długość $10$, środkowa linia  odpowiadająca podstawie $15$ ma długość $7,5$ a środkowa linia  odpowiadająca podstawie $10$ ma długość $5$.

Przy oznaczeniach z poniższego rysunku pokażemy, że:

1. czworokąt $ABEF$ jest trapezemtrapez trapezem

2. czworokąt  $DBEF$ jest równoległobokiemrównoległobokrównoległobokiem

ReWhLPRApRkjP

Ilustracja przedstawia trójkąt A, B, C. Zaznaczono punkty D, E, F w środkach boków trójkąta A, B, C. Punkty połączono ze sobą tworząc kolejny trójkąt. Oznaczono kolorem żółtym powierzchnie pomiędzy punktami A, D, F i kolorem czerwonym powierzchnie między punktami D, B, E, F.

Rozwiązanie

Wprost z twierdzenia o linii środkowej w trójkącie $FE\parallel AB$, więc czworokąt $ABEF$ jest trapezem a czworokąt $DBEF$ jest równoległobokiem. Również z tego twierdzenia wynika, że $DF\parallel BE$ i $FE\parallel DB$.

Jakie jeszcze trapezy i równoległoboki widać na rysunku?

Załóżmy, że pole trójkąta środkowego w trójkącie $ABC$ jest równe $P$. Wyznaczymy pole  trójkąta $ABC$ oraz pola trapezów i równoległoboków powstałych po narysowaniu linii środkowych w trójkącie $ABC$.

Rozwiązanie

Na rysunku przedstawiony jest trójkąt $ABC$, trójkąt środkowy i trzy trójkąty przystające do trójkąta środkowego. Obliczymy pola figur.

R1UBF76LSusZD

Ilustracja przedstawia trójkąt A, B, C. Zaznaczono punkty D, E, F w środkach boków trójkąta A, B, C. Punkty połączono ze sobą tworząc kolejny trójkąt. W ten sposób wydzielono cztery pola oznaczone jako P.

Ponieważ te trójkąty są przystające, to pole każdego z nich jest równe $P$.

Pole trójkąta $ABC$ jest równe $4P$.

Pola trapezów $AFEB$, $ADEC$ i $BDFC$ są równe i wynoszą $3P$.

Pola równoległoboków $BEFD$, $ADEF$ i $DFCE$ są równe i wynoszą $2P$.

Jeżeli odcinek łączący dwa boki trójkąta jest równoległy do trzeciego boku i ma długość równą połowie długości trzeciego boku, to odcinek ten jest linią środkową w trójkącie.

Środkowe w trójkącie przecinają się w jednym punkcie i punkt ten dzieli środkowe w stosunku $2:1$ licząc od wierzchołków trójkąta.

Pokażemy, że wysokości trójkąta równobocznego przecinają się w stosunku $2:1$.

Rozwiązanie

Zauważmy, że w trójkącie równobocznym wysokości są jednocześnie środkowymi trójkąta, więc na mocy twierdzenia o punkcie przecięcia środkowych w trójkącie wysokości trójkąta równobocznego przecinają się w stosunku $2:1$.

Wysokość trójkąta równoramiennego poprowadzona do podstawy i linia środkowa łącząca środek podstawy ze środkiem ramienia mają długość $1$.

R8IFzTAc0PcuO

Ilustracja przedstawia trójkąt równoramienny A, B, C. W środkach odcinków BC i AB zaznaczono punkty D i E. Odcinek DA, który jest wysokością trójkąta A, B, C jest równy 1 i równy odcinkowi ED.

Obliczymy długość podstawy tego trójkąta.

Rozwiązanie

Z twierdzenia o linii środkowej w trójkącie $\left|AC\right|=2\left|DE\right|=2$. Z twierdzenia Pitagorasa $1+{\left|CD\right|}^2=4$. Stąd $\left|CD\right|=\sqrt{3}$.

Zatem podstawa ma długość $2\left|CD\right|=2\sqrt{3}$.

odcinek łączący wierzchołek trójkąta ze środkiem przeciwległego boku

trójkąt, którego boki są liniami środkowymi w danym trójkącie

odcinek łączący środki dwóch boków trójkąta

czworokąt, który ma co najmniej jedną parę boków równoległych

czworokąt, który ma dwie pary boków równoległych