Podstawą ostrosłupa prostego jest trapez równoramienny o podstawach $a$ i $3a$ oraz kącie ostrym $\alpha$. Krawędzie boczne są nachylone do płaszczyzny podstawy pod tym samym kątem $\alpha$. Obliczymy objętość tego ostrosłupa.

Rozwiązanie:

Wykonajmy rysunek pomocniczy i wprowadźmy dodatkowe oznaczenia. Niech $b$ – długość ramion trapezu, $h$ – wysokość trapezu, $d$ – długość przekątnej trapezu, $H$ – wysokość ostrosłupa.

Rlaok2jDAdOrs

Ilustracja przedstawia ostrosłup, którego podstawą jest trapez równoramienny o wierzchołkach A B C D. W podstawie kąt BAD podpisano literą alfa. Dłuższa podstawa AB ma długość 3a, krótsza podstawa DC ma długość A. Ramiona mają długość b. W podstawie zaznaczono jej wysokość opuszczoną z wierzchołka D na podstawę AB, spodek te wysokości podpisano literą E, a samą wysokość podpisano literą małe h. W podstawie zaznaczono również jej przekątną BD, którą podpisano literą d. Wierzchołek górny ostrosłupa podpisano literą S, z tego wierzchołka na podstawę ostrosłupa opuszczono wysokość, którą podpisano literą wielkie H, a jej spodek podpisano literą O. W podstawie ostrosłupa zaznaczono odcinek OB., pomiędzy tym odcinkiem a krawędzią BS zaznaczono kąt i podpisano go literą alfa.

Trójkąt $AED$ jest prostokątny, więc wykorzystując funkcje trygonometryczne mamy:

$\frac{h}{a}=tg\alpha$, więc $h=a·\mathrm{tg}\alpha$.

Mamy już wszystkie informacje, by policzyć pole podstawy ostrosłupa. Aby obliczyć wysokość ostrosłupa, musimy mieć długość odcinka $OB$. Ostrosłup jest prostyostrosłup czworokątny prostyOstrosłup jest prosty, zatem jest to promień okręgu opisanego na jego podstawie. Obliczmy więc jego długość. Wystarczy obliczyć długość promienia okręgu opisanego na trójkącie $ABD$. W tym celu wyznaczymy pole trójkąta $ABD$ korzystając z dwóch różnych wzorów.

Wzór wykrzystujący promień okręgu opisanego na trójkącie wymaga znajomości długości wszystkich boków trójkąta. Musimy więc wyznaczyć wielkości $b$ i $d$.

Ponieważ $\frac{a}{b}=\cos \alpha$, więc $b=\frac{a}{\cos \alpha }$,

Trójkąt $DEB$ jest także prostokątny, co pozwoli nam na obliczenie przekątnej trapezu:

$d^2=h^2+{\left(2a\right)}^2$

$d^2={\left(a·\mathrm{tg}\alpha \right)}^2+{\left(2a\right)}^2$

$d^2=a^2·{tg}^2\alpha +4a^2$

$d^2=a^2\left({tg}^2\alpha +4\right)$

$d=a\sqrt{{tg}^2\alpha +4}$.

Policzmy pole trójkąta:

$P_{ABD}=\frac{1}{2}·3a·a·\mathrm{tg}\alpha =\frac{3}{2}{a}^2·\mathrm{tg}\alpha$.

Zatem obliczmy promień. Oznaczmy go jako $R$:

$\frac{3}{2}{a}^2·\mathrm{tg}\alpha =\frac{3a·\frac{a}{\cos \alpha }·a\sqrt{{tg}^2\alpha +4}}{4R}$

$R=\frac{3a·\frac{a}{\cos \alpha }·a\sqrt{{tg}^2\alpha +4}}{4·\frac{3}{2}{a}^2·tg\alpha }=\frac{a\sqrt{{tg}^2\alpha +4}}{2\sin \alpha }$.

Trójkąt $SOB$ jest prostokątny. Zatem:

$\frac{H}{\left|OB\right|}=tg\alpha$, $\left|OB\right|=R$, więc

$H=\frac{a\sqrt{{tg}^2\alpha +4}}{2\sin \alpha }·tg\alpha =\frac{a\sqrt{{tg}^2\alpha +4}}{2\cos \alpha }$.

Obliczmy pole podstawy ostrosłupa:

$P_p=\frac{\left(a+3a\right)·a·\mathrm{tg}\alpha }{2}=2a^2·\mathrm{tg}\alpha$.

Objętość ostrosłupa wynosi więc:

$V=\frac{1}{3}·2a^2·\mathrm{tg}\alpha ·\frac{a\sqrt{{tg}^2\alpha +4}}{2\cos \alpha }=\frac{a^3·tg\alpha \sqrt{{tg}^2\alpha +4}}{3\cos \alpha }$.

Rozważmy wszystkie ostrosłupy prawidłowe czworokątneostrosłup prawidłowy czworokątnyostrosłupy prawidłowe czworokątne, w których suma promienia okręgu opisanego na podstawie ostrosłupa i wysokości tego ostrosłupa jest równa $24$. Wyznaczymy promień okręgu opisanego na podstawie tego z ostrosłupów, który ma największą objętość. Obliczymy tę objętość.

Rozwiązanie:

Zauważmy, że jest to zadanie optymalizacyjne.

Oznaczmy bok kwadratu jako $a$, wysokość ostrosłupa – $H$.

Promień okręgu opisanego na podstawie ma wzór $R=\frac{a\sqrt{2}}{2}$.

Z treści zadania wiemy, że

$H+R=24$

$H=24-R$

$H=24-\frac{a\sqrt{2}}{2}=\frac{48-a\sqrt{2}}{2}$

$48-a\sqrt{2}>0$, $a<24\sqrt{2}$. Zatem $a\in \left(0, 24\sqrt{2}\right)$.

Wyznaczmy wzór na objętość ostrosłupa.

$V=\frac{1}{3}{P}_p·H$

$V\left(a\right)=\frac{1}{3}{a}^2·\frac{48-a\sqrt{2}}{2}=\frac{48a^2-a^3\sqrt{2}}{6}=8a^2-\frac{\sqrt{2}}{6}{a}^3$.

Obliczmy pochodną naszej funkcji $V$.

$V\text{'}\left(a\right)=16a-\frac{\sqrt{2}}{2}{a}^2$

Znajdźmy ekstrema funkcji $V$.

$V\text{'}\left(a\right)=0$

$16a-\frac{\sqrt{2}}{2}{a}^2=0$

$a\left(16-\frac{\sqrt{2}}{2}a\right)=0$

Zatem

$a=0$ – nie spełnia warunków zadania

lub

$a=16\sqrt{2}$.

$V\text{'}\left(a\right)>0$ dla $a\in (0,16\sqrt{2})$ oraz $V\text{'}\left(a\right)<0$ dla $a>16\sqrt{2}$, więc $a=16\sqrt{2}$ jest maksimum lokalnym

Największa objętość ostrosłupa będzie więc dla $a=16\sqrt{2}$. Promień okręgu opisanego na podstawie tego ostrosłupa to $R=16$

Największa objętość ostrosłupa to:

$V\left(16\sqrt{2}\right)=8·{\left(16\sqrt{2}\right)}^2-\frac{\sqrt{2}}{6}·{\left(16\sqrt{2}\right)}^3=$
$=4096-\frac{16384}{6}=\frac{8192}{6}=1365\frac{1}{3}$.

Podstawą ostrosłupa jest romb o boku $8$ i kącie ostrym $60°$. Każda ściana boczna tego ostrosłupa jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem $30°$. Obliczymy objętość ostrosłupa.

Rozwiązanie:

Wykonajmy rysunek pomocniczy:

RQAi3jLYCSe1M

Ilustracja przedstawia ostrosłup, którego podstawą jest romb A B C D, w rombie tym kąt BAD ma wartość 60 stopni. Krawędzie podstawy mają długość osiem. W podstawie zaznaczono wysokość opuszczoną z wierzchołka D na krawędź AB i podpisano ją literą h. W podstawie linią przerywaną zaznaczono również jej przekątną AC. W ostrosłupie zaznaczono jego wysokość, SE, gdzie S jest wierzchołkiem ostrosłupa, a E spodkiem podstawy, który leży na przekątnej podstawy. Na krawędzi podstawy AB zaznaczono punkt F. W ostrosłupie zaznaczono trójkąt prostokątny EFS, którego przekątną jest odcinek SF leżący w płaszczyźnie ściany bocznej ABS. Kąt SFE ma wartość 30 stopni.

Skoro kąt ostry naszego rombu ma miarę $60°$to znaczy, że wysokość rombu ma długość $4\sqrt{3}$.

Zatem $P_p=8·4\sqrt{3}=32\sqrt{3} \left[{\mathrm{j}}^2\right]$.

R1JSDrFcaRtJ5

Ilustracja przedstawia romb o wierzchołkach A B C D, w podstawie liniami przerywanymi zaznaczono jej osie przekątne. W romb wpisano okrąg, wewnątrz którego linią przerywaną zaznaczono pionową linię, która przechodzi przez miejsce przecięcia się przekątnych, która dzieli tą linię na dwa odcinki, każdy z nich podpisano literą r

Promień okręgu wpisanego w romb jest równy połowie jego wysokości, zatem $r=2\sqrt{3}$.

Ściany boczne są nachylone do płaszczyzny podstawy pod kątem $30°$.

Trójkąt $SEF$ jest prostokątny, co w łatwy sposób pozwoli nam policzyć wysokość ostrosłupa.

$\frac{H}{2\sqrt{3}}=\mathrm{tg}30°$

$H=2$.

Możemy już liczyć objętość ostrosłupa:

$V=\frac{1}{3}·32\sqrt{3}·2=\frac{64\sqrt{3}}{3} \left[{\mathrm{j}}^3\right]$.

Na rysunku przedstawiono siatkę ostrosłupa, w którego podstawie jest kwadrat. Wysokością ostrosłupa jest jedna z jego krawędzi bocznych. Objętość ostrosłupa wynosi $\frac{a^3}{3}$.

RC8SryI3vzH1P

Ilustracja przedstawia siatkę ostrosłupa, którego podstawą jest kwadrat. Siatka składa się z kwadratu o długości boku a, oraz 4 trójkątów prostokątnych. Każdy trójkąt przylega jedną ze swoich przyprostokątnych do boku kwadratu.

Obliczymy miarę kąta nachylenia najdłuższej krawędzi bocznej do krawędzi podstawy.

Rozwiązanie:

Oznaczmy wysokość ostrosłupa jako $H$. Wówczas mamy równanie:

$\frac{a^3}{3}=\frac{1}{3}{a}^2·H$

$H=a$.

Narysujmy bryłę naszego ostrosłupa. Oznaczmy kąt nachylenia najdłuższej krawędzi bocznej do krawędzi podstawy jako $\alpha$.

R2mIXvkiYuHss

Ilustracja przedstawia ostrosłup, którego podstawą jest kwadrat A B C D. Bok kwadratu podpisano literą a. W podstawie linią przerywaną zaznaczono jej przekątną BD. Wierzchołek ostrosłupa oznaczono literą S. Krawędź boczna SD została podpisana literą a, krawędź ta jest pod kątem prostym do krawędzi podstawy. Kąt pomiędzy krawędzią podstawy AB i krawędzią boczną BS podpisano literą alfa.

Trójkąt $SDA$ jest prostokątnym trójkątem równoramiennym. Zatem $\left|AS\right|=a\sqrt{2}$.

Trójkąt $SDB$ także jest prostokątny. $\left|DB\right|=a\sqrt{2}$, zatem

$a^2+{\left(a\sqrt{2}\right)}^2={\left|SB\right|}^2$

$\left|SB\right|=a\sqrt{3}$.

Rozważmy trójkąt $SAB$. Zauważmy, że

${\left|AS\right|}^2+{\left|AB\right|}^2={\left|SB\right|}^2$.

Trójkąt jest więc prostokątny, więc:

$\sin \alpha =\frac{\left|AS\right|}{\left|BS\right|}=\frac{a\sqrt{2}}{a\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{6}}{3}$.

Z tablic wartości trygonometrycznych odczytujemy wartość kąta:

$\alpha \approx 56°$.

Podstawą ostrosłupa $ABCDS$ jest prostokąt $ABCD$, którego boki mają długość $\left|AB\right|=32$ i $\left|BC\right|=18$. Ściany boczne $ABS$ i $CDS$ są trójkątami przystającymi i każda z nich jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem $\alpha$. Ściany boczne $BCS$ i $ADS$ są trójkątami przystającymi i każda z nich jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem $\beta$. Miary kątów $\alpha$ i $\beta$ spełniają warunek $\alpha +\beta =90°$. Obliczymy objętość ostrosłupa.

Rozwiązanie:

Wykonajmy rysunek pomocniczy:

RYisMZ972lWEv

Ilustracja przedstawia ostrosłup, którego podstawą jest prostokąt A B C D. Bok AB ma długość 32, a bok AD ma długość osiemnaście. Wierzchołek ostrosłupa oznaczono literą S. Z tego wierzchołka na podstawę opuszczono wysokość, której spodek podpisano literą O. Na krawędzi BC zaznaczono punkt F, który jest spodkiem wysokości trójkąta BCS opuszczoną z wierzchołka S na krawędź BC. Na krawędzi DC zaznaczono punkt E, który jest spodkiem wysokości trójkąta CDS opuszczoną z wierzchołka S na krawędź DC. W ostrosłupie liniami przerywanymi zaznaczono dwa trójkąty prostokątne. W trójkącie FOS, odcinek FS jest przeciwprostokątną, a kąt OFS podpisano literą beta. W trójkącie EOS odcinek ES jest przeciwprostokątną, a kąt OES podpisano literą alfa.

Trójkąty $SOE$ i $SOF$ są prostokątne.

$\left|OE\right|=9$, $\left|OF\right|=16$.

Korzystając z funkcji trygonometrycznych mamy więc:

$tg\alpha =\frac{\left|SO\right|}{9}$ i $tg\beta =\frac{\left|SO\right|}{16}$.

Z treści zadania wiemy, że $\alpha +\beta =90°$, więc $tg\beta =tg\left(90°-\alpha \right)=\frac{1}{tg\alpha }$.

Zatem mamy, że

$tg\alpha ·tg\beta =1$

$\frac{\left|SO\right|}{9}·\frac{\left|SO\right|}{16}=1$

${\left|SO\right|}^2=144$

$\left|SO\right|=12$.

Możemy więc obliczyć objętość naszego ostrosłupa.

$P_p=32·18=576$

$V=\frac{1}{3}·576·12=2304$.

w podstawie ma czworokąt, spodek wysokości ostrosłupa jest środkiem okręgu opisanego na podstawie

ostrosłup, w którego podstawie jest kwadrat, a wszystkie ściany boczne są przystającymi trójkątami równoramiennymi