Ostrosłup to wielościan, którego jedna ściana (zwana podstawą) jest dowolnym wielokątem, a wszystkie pozostałe ściany (zwane ścianami bocznymi) są trójkątami o wspólnym wierzchołku.
Ostrosłup czworokątny to ostrosłup, w którym podstawa jest czworokątem.
Pokażemy klasyfikację ostrosłupów czworokątnych:
Ru81TKKqut3GC
Ostrosłup czworokątny prosty – ostrosłup, którego podstawą jest czworokąt, a wszystkie krawędzie boczne są tej samej długości. Na podstawie ostrosłupa prostegoostrosłup prostyostrosłupa prostego da się opisać okrąg, a spodek wysokości jest jednocześnie środkiem tego okręgu. W ostrosłupie prostym krawędzie boczne tworzą z płaszczyzną podstawy kąty o równych miarach.
Ostrosłup czworokątny pochyły – ostrosłup, którego podstawą jest czworokąt a prosta prostopadła do płaszczyzny podstawy, przechodząca przez wierzchołek ostrosłupa, nie przecina podstawy w środku jej ciężkości. Krawędzie boczne nie są tej samej długości.
Ostrosłup prawidłowy czworokątnyostrosłup prawidłowyOstrosłup prawidłowy czworokątny – ostrosłup, którego podstawą jest kwadrat, a wszystkie krawędzie boczne są tej samej długości. Spodek jego wysokości pokrywa się z punktem przecięcia przekątnych kwadratu.
Oto przykłady niektórych ostrosłupów czworokątnych:
Ostrosłup pochyłyostrosłup pochyłyOstrosłup pochyły o podstawie równoległoboku.
R1ONqGwIQBI4G
Ostrosłup o podstawie rombu.
R1OTcgYzeUqM4
Zauważmy, że ostrosłup ten nie jest prosty, gdyż na rombie, który nie jest kwadratem, nie da się opisać okręgu.
Ostrosłup pochyły o podstawie trapezu równoramiennego.
RrlCFzEStwEqT
Ostrosłup prostyostrosłup prostyOstrosłup prosty o podstawie prostokąta.
RJXjOshsDAZRs
Przykład 1
RI9yBqhNconP3
Na rysunku przedstawiono ostrosłup o podstawie rombu. Obliczymy sumę długości krawędzi tego ostrosłupa.
Rozwiązanie
Skoro w podstawie mamy romb, to wszystkie krawędzie podstawy są tej samej długości. Obliczymy długości krawędzi bocznych; oznaczymy je jako . Są one równe, bo wierzchołek ostrosłupa leży nad punktem przecięcia przekątnych rombu. Wiemy, że kąt płaski przy wierzchołku ostrosłupakąt płaski przy wierzchołku ostrosłupakąt płaski przy wierzchołku ostrosłupa ma miarę . Wykorzystamy twierdzenie cosinusów:
Zatem suma długości krawędzi ostrosłupa wynosi .
Przykład 2
Podstawą ostrosłupa pochyłego jest prostokąt . Krawędź jest wysokością tego ostrosłupa o długości . Najdłuższa krawędź boczna ma długość , a stosunek długości boków podstawy wynosi . Obliczymy sumę długości jego krawędzi.
Rozwiązanie
Wykonamy rysunek pomocniczy. Wprowadzimy dodatkowe oznaczenia na rysunku, które pomogą nam w późniejszych obliczeniach:
R1TkHpveYUa8j
Przekątna podstawy ma długość:
Trójkąt jest prostokątny. Korzystając z twierdzenia Pitagorasa obliczymy :
.
Zatem:
.
Trójkąt jest prostokątny. Obliczymy krawędź :
Trójkąt jest prostokątny. Obliczymy długość krawędzi :
.
Obliczymy sumę długości krawędzi ostrosłupa:
.
Przykład 3
Podstawą ostrosłupa jest trapez równoramienny, którego dłuższa podstawa ma długość . Przekątna tego trapezu jest prostopadła do ramienia i ma , a krawędzie boczne ostrosłupa mają po długości. Obliczymy pole podstawy i wysokość ostrosłupa.
Rozwiązanie
Wykonamy rysunek pomocniczy ostrosłupa. Wprowadźmy dodatkowe oznaczenie. Niech – długości ramion trapezu.
R1S7dCOsnyISZ
Ponieważ podstawa jest trapezem równoramiennym, to da się na niej opisać okrąg. Promień okręgu opisanego na tej podstawie jest równy promieniowi okręgu opisanego na trójkącie prostokątnym . Jego środek jest zatem środkiem boku i jednocześnie jest spodkiem wysokości ostrosłupa.
Wykonamy też rysunek podstawy:
R1ARyDpc6AkYB
Skoro przekątna trapezu jest prostopadła do ramienia, to, z twierdzenia Pitagorasa, obliczymy jego długość:
.
Obliczymy długość wysokości trapezu:
Zatem
co oznacza, że górna podstawa trapezu ma długość:
Obliczymy pole trapezu:
.
Obliczymy teraz długość promienia okręgu opisanego na podstawie. Wykonamy rysunek pomocniczy.
RB3FPchwSUlLv
Skoro jest to trójkąt prostokątny, to promień jest równy połowie przeciwprostokątnej.
Możemy obliczyć więc długość wysokości ostrosłupa, wykorzystując twierdzenie Pitagorasa w trójkącie prostokątnym :
.
Przykład 4
W ostrosłupie prawidłowym czworokątnym kąt płaski przy wierzchołku ostrosłupa ma miarę oraz . Obliczymy miarę kąta pomiędzy przeciwległymi krawędziami bocznymi ostrosłupa wiedząc, że krawędź podstawy ma długość .
Rozwiązanie
Wykonamy rysunek pomocniczy. Oznaczymy krawędzie boczne przez .
Rf166LCwbFfT1
Z twierdzenia cosinusów mamy:
Krawędzie boczne mają więc długość .
Obliczymy miarę kąta pomiędzy przeciwległymi krawędziami bocznymi ostrosłupa. Oznaczmy go przez . Jest to kąt przy wierzchołku trójkąta . Narysujemy go.
ReaC6ZRK6cVh9
Po raz kolejny wykorzystamy twierdzenie cosinusów:
.
Odczytujemy wartość kąta z tablic matematycznych.
Przykład 5
Pole ściany bocznej ostrosłupa prawidłowegoostrosłup prawidłowyostrosłupa prawidłowego czworokątnego jest równe . Kąt płaski przy wierzchołku ostrosłupakąt płaski przy wierzchołku ostrosłupaKąt płaski przy wierzchołku ostrosłupa ma miarę . Obliczymy sumę długości krawędzi bocznych oraz stosunek długości wysokości ostrosłupa do długości jego krawędzi podstawy.
Rozwiązanie
Wprowadzimy oznaczenia pomocnicze. Niech oznacza długość krawędzi bocznej, – długość krawędzi podstawy. Wykonamy rysunek:
RUxl1lpYqcrKD
Pole ściany bocznej jest równe .
Wykorzystamy wzór na pole trójkąta:
Wówczas mamy:
Wyznaczymy z tego równania długości krawędzi bocznych:
Suma krawędzi bocznych wynosi więc: .
Zajmiemy się teraz obliczeniem długości krawędzi podstawy i wysokości ostrosłupa. Narysujemy jedną ścianę boczną.
R1GxV4XWSdrmD
Przez oznaczymy wysokość trójkąta, więc trójkąt jest prostokątny.
Wiemy, że pole tego trójkąta wynosi , więc mamy równanie:
.
Ponadto z funkcji trygonometrycznych mamy, że:
,
co daje:
.
Podstawiamy zależność do pierwszego równania. Wówczas mamy:
.
Obliczamy długość krawędzi podstawy:
.
Aby policzyć długość wysokości ostrosłupa, oznaczmy ją przez . Wykonajmy kolejny rysunek pomocniczy:
RNMXwRDH0XWi7
Trójkąt jest prostokątny. Wykorzystamy więc twierdzenie Pitagorasa:
.
Obliczymy zatem stosunek wysokości ostrosłupa do długości jego krawędzi podstawy:
.
Przykład 6
Krawędź ostrosłupa, którego podstawą jest prostokąt , ma długość i jest prostopadła do płaszczyzny podstawy. Najdłuższa krawędź boczna tworzy z podstawą kąt o mierze , a jedną z sąsiednich krawędzi bocznych kąt o mierze . Pokażemy, że trójkąt jest prostokątny.
Rozwiązanie
Wykonamy rysunek pomocniczy. Wprowadzimy dodatkowe oznaczenia:
i – długości boków prostokąta.
R1aYBGmLtLEP7
Zauważmy, że trójkąty , , są prostokątne. Powstają więc równania:
, , .
Ponadto wiemy, że:
oraz co daje, że
.
Natomiast , więc
.
Z trójkątów i mamy zatem:
.
Zatem , co daje, że .
Zauważmy, że krawędzie i są bokami trójkąta . Z twierdzenia cosinusów dla tego trójkąta mamy równanie:
.
Oznacza to, ze trójkąt jest prostokątny.
Słownik
ostrosłup prosty
ostrosłup prosty
to taki ostrosłup, którego wszystkie krawędzie boczne są równe. Warunek ten jest równoważny warunkom:
w podstawie ostrosłupa prostego znajduje się wielokąt, na którym można opisać okrąg,
spodek wysokości ostrosłupa jest środkiem okręgu opisanego na podstawie
ostrosłup prawidłowy
ostrosłup prawidłowy
ostrosłup prosty, którego podstawą jest wielokąt foremny
ostrosłup pochyły
ostrosłup pochyły
ostrosłup, w którym spodek wysokości nie jest środkiem ciężkości podstawy
kąt płaski przy wierzchołku ostrosłupa
kąt płaski przy wierzchołku ostrosłupa
kąt, którego wierzchołkiem jest wierzchołek ostrosłupa a ramiona są krawędziami ściany bocznej