Przeczytaj
Pojęcie ciągu zbieżnego jest ściśle związane z granicą ciągu. Przypomnijmy zatem definicję granicy ciągu.
Niech dany będzie ciąg nieskończony . Powiemy, że liczba jest granicą tego ciągu, jeśli dla dowolnej liczby dodatniej istnieje liczba naturalna taka, że dla dowolnej liczby naturalnej zachodzi nierówność
Intuicyjnie powyższa definicja oznacza, że liczbę rzeczywistą nazywamy granicą ciągu nieskończonego, jeśli w dowolnym jej otoczeniuotoczeniu (w szczególności w dowolnie małym, tzn. o dowolnie małym promieniu) znajdują się prawie wszystkie wyrazy ciągu nieskończonegoprawie wszystkie wyrazy ciągu nieskończonego.
Okazuje się, że nie każdy ciąg nieskończony posiada granicę. Spójrzmy na poniższy przykład.
Rozważmy ciąg dany wzorem
Ponieważ wyrażenie jest równe dla będących liczbami naturalnymi parzystymi oraz jest równe dla będących liczbami naturalnymi nieparzystymi, więc kolejne wyrazy ciągu można zapisać następująco
Zatem ciąg przyjmuje tylko dwie różne wartości oraz i każda z nich powtarza się nieskończoną ilość razy. Ta obserwacja pozwala nam stwierdzić, że ciąg ten nie posiada granicy, gdyż nie istnieje liczba rzeczywista taka, że w dowolnym jej otoczeniu znajdą się prawie wszystkie wyrazy tego ciągu. Istotnie, jeśli jest dowolnie wybraną liczbą rzeczywistą, to dobierając dostatecznie małą liczbę dodatnią , otocznie liczby o promieniu , tzn. przedział , nie będzie zawierać co najmniej jednej z liczb lub
Powyższa obserwacja pozwala nam dokonać klasyfikacji ciągów nieskończonych w zależności od tego czy posiadają one granice czy też nie.
Ciąg nieskończony nazywamy zbieżnym, jeśli posiada on granicę (tzn. posiada on granicę będącą liczbą rzeczywistą).
Spójrzmy na kolejne przykłady ilustrujące powyższą definicję.
Ciąg jest ciągiem zbieżnym, gdyż posiada on granicę równą . Rozważmy teraz ciąg dany wzorem
Wiemy, że . Oznacza to, że w dowolnie małym otoczeniuotoczeniu liczby znajdują się prawie wszystkie wyrazyprawie wszystkie wyrazy tego ciągu. Jeśli do każdego wyrazu ciągu dodamy liczbę , to wówczas w dowolnie małym otoczeniuotoczeniu liczby znajdą się prawie wszystkie wyrazyprawie wszystkie wyrazy ciągu . Oznacza to, że granica tego ciągu jest równa , zatem jest to również ciąg zbieżny.
Rozważmy ciąg dany wzorem
Policzmy kilka początkowych wyrazów tego ciągu
Z powyższego oraz faktu, że funkcja cosinus jest funkcją okresową o okresie równym wynika, że dla (tzn. gdy jest liczbą nieparzystą) oraz dla (tzn. gdy jest liczbą parzystą). Rozumując teraz analogicznie jak w przykładzie 1., możemy stwierdzić, że ciąg dany wzorem nie posiada granicy, a zatem nie jest zbieżny.
Rozważmy ciąg dany wzorem
Policzmy kilka początkowych wyrazów tego ciągu
Ponieważ funkcja sinus jest funkcją okresową o okresie równym , więc dla każdego . Oznacza to, że nasz ciąg jest ciągiem stałym takim, że dla każdego . Ciągi stałe są ciągami zbieżnymi, gdyż ich granica jest równa tej stałej wartości (w naszym przypadku ).
Okazuje się, że suma dwóch ciągów nie będących ciągami zbieżnymi może być ciągiem zbieżnym. Aby wykazać ten fakt, rozważmy dwa ciągi.
Wypiszmy po kilka początkowych wyrazów każdego z ciągów.
Oba ciągi przyjmują zatem na zmianę wartości oraz . Rozumując więc analogicznie jak w przykładzie 1., możemy stwierdzić, że oba ciągi nie są zbieżne. Z drugiej strony widzimy, że dla (tzn. gdy jest liczbą nieparzystą) , natomiast . Gdy (tzn. gdy jest liczbą parzystą) , natomiast . Wynika stąd, że dla każdego
Ciąg jest więc ciągiem stałym równym . Jest on więc zbieżny.
Słownik
wszystkie wyrazy ciągu poza co najwyżej ich skończoną ilością
otoczeniem punktu o promieniu nazywamy zbiór