Przeczytaj

Pojęcie ciągu zbieżnego jest ściśle związane z granicą ciągu. Przypomnijmy zatem definicję granicy ciągu.

Granica ciągu

Definicja: Granica ciągu

Niech dany będzie ciąg nieskończony $(a_{n})$ . Powiemy, że liczba $g \in ℝ$ jest granicą tego ciągu, jeśli dla dowolnej liczby dodatniej $ε > 0$ istnieje liczba naturalna $N$ taka, że dla dowolnej liczby naturalnej $n > N$ zachodzi nierówność

|a_{n} - g| < ε .

Intuicyjnie powyższa definicja oznacza, że liczbę rzeczywistą $g$ nazywamy granicą ciągu nieskończonego, jeśli w dowolnym jej otoczeniuotoczenie punktuotoczeniu (w szczególności w dowolnie małym, tzn. o dowolnie małym promieniu) znajdują się prawie wszystkie wyrazy ciągu nieskończonegoprawie wszystkie wyrazy ciągu nieskończonego.

Okazuje się, że nie każdy ciąg nieskończony posiada granicę. Spójrzmy na poniższy przykład.

Przykład 1

Rozważmy ciąg dany wzorem

a_{n} = {(- 1)}^{n}

Ponieważ wyrażenie ${(- 1)}^{n}$ jest równe $1$ dla $n$ będących liczbami naturalnymi parzystymi oraz jest równe $-1$ dla $n$ będących liczbami naturalnymi nieparzystymi, więc kolejne wyrazy ciągu $(a_{n})$ można zapisać następująco

- 1,1, - 1,1, - 1,1, . . .

Zatem ciąg $(a_{n})$ przyjmuje tylko dwie różne wartości $- 1$ oraz $1$ i każda z nich powtarza się nieskończoną ilość razy. Ta obserwacja pozwala nam stwierdzić, że ciąg ten nie posiada granicy, gdyż nie istnieje liczba rzeczywista taka, że w dowolnym jej otoczeniu znajdą się prawie wszystkie wyrazy tego ciągu. Istotnie, jeśli $g$ jest dowolnie wybraną liczbą rzeczywistą, to dobierając dostatecznie małą liczbę dodatnią $ε$ , otocznie liczby $g$ o promieniu $ε$ , tzn. przedział $(g - ε, g + ε)$ , nie będzie zawierać co najmniej jednej z liczb $- 1$ lub $1$

R1KBZl0dixabA

Rysunek przedstawia poziomą oś X z oznaczonymi liczbami: minus jeden, zerem, jeden. Po prawej stronie liczby jeden zaznaczono większą od niej liczbę g, a także przedział opisany jako g-ε;g+ε.

Powyższa obserwacja pozwala nam dokonać klasyfikacji ciągów nieskończonych w zależności od tego czy posiadają one granice czy też nie.

Ciąg zbieżny

Definicja: Ciąg zbieżny

Ciąg nieskończony $(a_{n})$ nazywamy zbieżnym, jeśli posiada on granicę $g\in\mathbb{R}$ (tzn. posiada on granicę będącą liczbą rzeczywistą).

Spójrzmy na kolejne przykłady ilustrujące powyższą definicję.

Przykład 2

Ciąg $a_n=\frac{1}{n}$ jest ciągiem zbieżnym, gdyż posiada on granicę równą $0$ . Rozważmy teraz ciąg dany wzorem

a_{n} = 3 + \frac{1}{n}

Wiemy, że $lim_{n \to + \infty} \frac{1}{n} = 0$ . Oznacza to, że w dowolnie małym otoczeniuotoczenie punktuotoczeniu liczby $0$ znajdują się prawie wszystkie wyrazyprawie wszystkie wyrazy tego ciągu. Jeśli do każdego wyrazu ciągu $a_n=\frac{1}{n}$ dodamy liczbę $3$ , to wówczas w dowolnie małym otoczeniuotoczenie punktuotoczeniu liczby $3$ znajdą się prawie wszystkie wyrazyprawie wszystkie wyrazy ciągu $a_n=3+\frac{1}{n}$ . Oznacza to, że granica tego ciągu jest równa $3$ , zatem jest to również ciąg zbieżny.

Przykład 3

Rozważmy ciąg dany wzorem

$a_n=2\cos (\pi n) , \quad n\in\mathbb{N}.$

Policzmy kilka początkowych wyrazów tego ciągu

$a_1 = 2\cos(\pi)=2\cdot(-1)=-2$

$a_2 = 2\cos(2\pi)=2\cdot 1=2$

$a_3 = 2\cos(3\pi)=2\cdot(-1)=-2$

$a_4 = 2\cos(4\pi)=2\cdot 1=2$

Z powyższego oraz faktu, że funkcja cosinus jest funkcją okresową o okresie równym $2\pi$ wynika, że $a_n=-2$ dla $n=2k+1, \ k\in\mathbb{N}$ (tzn. gdy $n$ jest liczbą nieparzystą) oraz $a_n=2$ dla $n=2k, \ k\in\mathbb{N}$ (tzn. gdy $n$ jest liczbą parzystą). Rozumując teraz analogicznie jak w przykładzie 1., możemy stwierdzić, że ciąg dany wzorem $a_n=2\cos (\pi n)$ nie posiada granicy, a zatem nie jest zbieżny.

Przykład 4

Rozważmy ciąg dany wzorem

$a_n=\sin (\pi n) -1 , \quad n\in\mathbb{N}.$

Policzmy kilka początkowych wyrazów tego ciągu

$a_1 = \sin(\pi)-1=0-1=-1$

$a_2 = \sin(2\pi)-1=0-1=-1$

$a_3 = \sin(3\pi)-1=0-1=-1$

Ponieważ funkcja sinus jest funkcją okresową o okresie równym $2\pi$ , więc $\sin (\pi n)=0$ dla każdego $n\in\mathbb{N}$ . Oznacza to, że nasz ciąg jest ciągiem stałym takim, że $a_n=-1$ dla każdego $n\in\mathbb{N}$ . Ciągi stałe są ciągami zbieżnymi, gdyż ich granica jest równa tej stałej wartości (w naszym przypadku $\lim\limits_{n\to +\infty}a_n=-1$ ).

Ciekawostka

Okazuje się, że suma dwóch ciągów nie będących ciągami zbieżnymi może być ciągiem zbieżnym. Aby wykazać ten fakt, rozważmy dwa ciągi.

$a_n=(-1)^n\quad,\quad b_n=(-1)^{n+1} \quad , \quad n\in\mathbb{N}.$

Wypiszmy po kilka początkowych wyrazów każdego z ciągów.

$a_1=(-1)^1=-1,a_2=(-1)^2=1,a_3=(-1)^3=-1,a_4=(-1)^4=1$

$b_1=(-1)^2=1,b_2=(-1)^3=-1,b_3=(-1)^4=1,b_4=(-1)^5=-1$

Oba ciągi przyjmują zatem na zmianę wartości $1$ oraz $-1$ . Rozumując więc analogicznie jak w przykładzie 1., możemy stwierdzić, że oba ciągi nie są zbieżne. Z drugiej strony widzimy, że dla $n=2k+1, \ k\in\mathbb{N}$ (tzn. gdy $n$ jest liczbą nieparzystą) $a_n=-1$ , natomiast $b_n=1$ . Gdy $n=2k, \ k\in\mathbb{N}$ (tzn. gdy $n$ jest liczbą parzystą) $a_n=1$ , natomiast $b_n=-1$ . Wynika stąd, że dla każdego $n\in\mathbb{N}$

$a_n+b_n=-1+1=0.$

Ciąg $(a_n+b_n)$ jest więc ciągiem stałym równym $0$ . Jest on więc zbieżny.

Słownik

prawie wszystkie wyrazy ciągu nieskończonego

wszystkie wyrazy ciągu poza co najwyżej ich skończoną ilością

otoczenie punktu

otoczeniem punktu $x_{0}$ o promieniu $ε > 0$ nazywamy zbiór

U (x_{0}, ε) = \{x \in ℝ : |x - x_{0}| < ε\}

Wprowadzenie

Animacja

Słownik