Przeczytaj
Kątem wpisanym w koło nazywamy kąt wypukły, którego ramionami są proste zawierające cięciwy tego koła, a wierzchołek należy do brzegu koła.
Na powyższym rysunku, dwie półproste: i , zaznaczone liniami przerywanymi, są ramionami dwóch kątów o wierzchołku w punkcie : kąta wypukłego oraz kąta wklęsłego . Tylko kąt jest kątem wpisanym w kołokoło, bo zgodnie z definicją musi to być kąt wypukły.
Ilustrując zagadnienie kątów wpisanych, będziemy zwykle zaznaczać jedynie promienie danego koła, zawarte w odpowiednich półprostych tak, jak na poniższym rysunku.
W praktyce szkolnej spotykamy się z zamiennym stosowaniem pojęć: kąt wpisany w koło i kąt wpisany w okrąg, dlatego przyjmujemy również kolejną definicję.
Rozważmy okrąg o środku i punkty , leżące na tym okręgu. Kątem wpisanym opartym na łuku nazywamy kąt wypukły , którego ramiona zawierają cięciwy okręgucięciwy okręgu i .
Zauważmy, że każdy kąt wpisany danego okręgu w sposób jednoznaczny wyznacza łuk, na którym jest on oparty.
Z kolei istnieje nieskończenie wiele kątów wpisanych opartych na danym łuku.
Dany jest okrąg o środku w punkcie .
Rozważmy dowolny kąt wpisany oparty na półokręgu i poprowadźmy promień tego okręgu.
Wówczas trójkąty i są równoramienne.
Oznaczmy: oraz .
Wtedy: oraz .
Ale kąty i są kątami przyległymi, zatem .
Stąd , czyli .
Ale to oznacza, że każdy kąt wpisany w okrągokrąg i oparty na jego średnicy jest kątem prostym, a w konsekwencji, że przeciwprostokątna dowolnego trójkąta prostokątnego jest średnicą okręgu opisanego na tym trójkącie.
Niekiedy zamiast mówić, że kąt jest oparty na łuku, będziemy mówić, że jest na tym łuku rozpięty. W przypadku kąta opartego na półokręgu, często będziemy spotykać się ze stwierdzeniem, że kąt jest rozpięty na średnicy okręgu. Rzadziej pojawia się określenie, że kąt wpisany jest rozpięty na cięciwie, której końcami są końce odpowiedniego łuku okręgułuku okręgu.
Podana w Przykładzie 1 zależność jest szczególnym przypadkiem związku, jaki wiąże kąty wpisane i kąty środkowe oparte na tym samym łuku, co będzie tematem materiału: „Zależność między kątami w kole”.
Rozważmy teraz dowolny okrągokrąg i dwie przecinające się sieczne. Zbadamy związek między tymi siecznymi i utworzonymi przez nie kątami wpisanymi. Rozważmy najpierw przypadek, gdy sieczne przecinają się „wewnątrz” okręgu, tak, jak na poniższym rysunku.
Kąt , jaki tworzą sieczne, przecinające się w punkcie , leżącym „wewnątrz” okręgu, jest równy sumie dwóch kątów wpisanych opartych na łukach, z których jeden (łuk ) zawarty jest między ramionami kąta, a drugi (łuk ) jest zawarty między przedłużeniami ramion tego kąta.
Dowód tego twierdzenia jest natychmiastową konsekwencją twierdzenia o kącie zewnętrznym trójkąta.
Kąt , jaki tworzą sieczne, przecinające się w punkcie , leżącym na zewnątrz okręgu, jest równy odpowiedniej różnicy dwóch kątów wpisanych opartych na łukach zawartych między ramionami kąta.
Popatrzmy na rysunek.
Ponieważ oraz , więc .
Słownik
okręgiem o środku i promieniu nazywamy zbiór wszystkich punktów płaszczyzny odległych od punktu o dany odcinek
kołem o środku i promieniu nazywamy zbiór wszystkich punktów płaszczyzny, których odległość od punktu jest nie większa niż
łukiem okręgu nazywamy każdą z dwóch części, na które dzielą okrąg dwa różne punkty leżące na tym okręgu, wraz z tymi punktami
cięciwą okręgu nazywamy odcinek, którego końce są różnymi punktami leżącymi na tym okręgu