Rozważmy równanie kwadratowe $a{x}^2+bx+c=0$, $a\ne 0$.

1. Jeżeli $∆>0$, to równanie można przedstawić w postaci iloczynowej

gdzie:
$x_1$ i $x_2$ – są pierwiastkami tego równania.

2. Jeżeli $∆=0$, to równanie można przedstawić w postaci iloczynowej

gdzie:
$x_0$ – jest podwójnym pierwiastkiem tego równania.

3. Jeżeli $∆<0$, to równania nie można zapisać w postaci iloczynowej.

Zapiszemy równanie kwadratowe $2x^2-7x-4=0$ w postaci iloczynowej.

Obliczymy $∆$.

$∆=b^2-4ac$

$∆={\left(-7\right)}^2-4·2·\left(-4\right)=49+32=81\Rightarrow \sqrt{∆}=\sqrt{81}=9$

Ponieważ $∆>0$ zatem równanie ma dwa rozwiązania.

$x_1=\frac{-b-\sqrt{∆}}{2a}$

$x_1=\frac{-\left(-7\right)-9}{2·2}$

$x_1=-\frac{1}{2}$

$x_2=\frac{-b+\sqrt{∆}}{2a}$

$x_2=\frac{-\left(-7\right)+9}{2·2}$

$x_2=4$

Zatem równanie kwadratowe można zapisać w postaci iloczynowej $2·\left(x+\frac{1}{2}\right)\left(x-4\right)=0$.

Zapiszemy równanie $-2x^2+4\sqrt{2}x-4=0$ w postaci iloczynowej.

Obliczymy $∆$.

$∆=b^2-4ac$

$∆={\left(4\sqrt{2}\right)}^2-4·\left(-2\right)·\left(-4\right)=32-32=0$

Ponieważ $∆=0$ zatem równanie posiada jeden pierwiastek podwójny.

$x_0=\frac{-b}{2a}$

$x_0=\frac{-4\sqrt{2}}{2·\left(-2\right)}$

$x_0=\sqrt{2}$

Zatem równanie kwadratowe można zapisać w postaci iloczynowej $-2·{\left(x-\sqrt{2}\right)}^2=0$.

Znajdziemy, jeżeli istnieje, postać iloczynową równania $2\sqrt{2}{x}^2+2x+\sqrt{3}=0$.

Obliczymy $∆$.

$∆=b^2-4ac$

$∆=2^2-4·2\sqrt{2}·\sqrt{3}=4-8\sqrt{6}$

Ponieważ $∆<0$ równania nie można rozłożyć na czynniki liniowe.

Zatem równania nie można zapisać w postaci iloczynowej.

Pierwiastkami równania kwadratowego $a{x}^2+bx+c=0$ są liczby $\frac{1}{2}$ i $2$.

Wykażemy, że $a=c$.

Zapiszemy równanie w postaci iloczynowejpostać iloczynowa równania kwadratowegopostaci iloczynowej.

$a\left(x-\frac{1}{2}\right)\left(x-2\right)=0$

Przekształcimy równoważnie równanie.

$a\left(x^2-2x-\frac{1}{2}x+1\right)=0$

$a\left(x^2-2\frac{1}{2}x+1\right)=0$

$a{x}^2-2\frac{1}{2}ax+a=0$

Zatem $a=c$.

Wyznaczymy wartości parametru $a$ tak, aby liczba $x_0=2$ była jedynym pierwiastkiem rzeczywistym równania $x^2-4x+6=a^2+a$.

Zauważmy, że współczynnik przy $x^2$ jest równy $1$.

Zgodnie z poznanym twierdzeniem, aby liczba $2$ była jedynym pierwiastkiem równania, możemy równanie zapisać w postaci ${\left(x-2\right)}^2=0$.

$x^2-4x+4=0$

Zapiszemy równanie $x^2-4x+6=a^2+a$ w postaci równoważnej.

$x^2-4x+4=a^2+a-2$

${\left(x-2\right)}^2=a^2+a-2$

Czyli

$a^2+a-2=0$

Obliczymy deltę i miejsca zerowe równania z niewiadomą $a$.

$∆=1^2-4·1·\left(-2\right)=1+8=9$

$a_1=\frac{-b-\sqrt{∆}}{2a}$

$a_1=\frac{-1-3}{2·1}$

$a_1=-2$

$a_2=\frac{-b+\sqrt{∆}}{2a}$

$a_2=\frac{-1+3}{2·1}$

$a_2=1$

Aby liczba $x_0=2$ była jedynym pierwiastkiem rzeczywistym równania $a=-2$ lub $a=1$.

postać iloczynowa równania kwadratowego $a{x}^2+bx+c=0$, $a\ne 0$$a\left(x-x_1\right)\left(x-x_2\right)=0$ dla $∆>0$ oraz $a{\left(x-x_0\right)}^2=0$ dla $∆=0$