Warto przeczytać

Wszystkie ciała Układu Słonecznego związane są siłą grawitacji. Jest to siła przyciągająca, która oddziałuje między każdą parą ciał obdarzonych masą (Rys. 1.).

RjCVdh06Me3eI

Rys. 1. Ilustracja przedstawia rysunek, na którym przedstawiono schematycznie siły grawitacyjne działające pomiędzy dwoma ciałami o różnych masach. Na rysunku widoczne są dwa ciała w postaci niebieskiej i większej kuli po lewej stronie i ciemnoniebieskiej, nieco mniejszej kuli po prawej stronie. Ciała znajdują się na tej samej wysokości. Masę większego ciała po lewej stronie podpisano wielką literą M pod nim. Masę mniejszego ciała po prawej stronie podpisano małą literą m, również pod nim. Nad ciałami widoczny jest poziomy czarny odcinek o długości równej odległości pomiędzy środkami ciał. Odcinek podpisany został małą literą r i obrazuje on odległość pomiędzy środkami mas obu ciał. Ze środków ciał poprowadzono poziome, czarne strzałki. Symbolizują one wektory sił grawitacji działające pomiędzy ciałami. Wektor siły przyłożony do ciała po lewej stronie skierowany jest w prawo i podpisany wielką literą F ze strzałka oznaczającą wektor. Wektor siły przyłożony do ciała po prawej stronie skierowany jest w lewo i podpisany, jako minus wielka litera F ze strzałką oznaczającą wektor. Wektory sił grawitacji działające na oba ciała są równej długości, działają w tym samym kierunku ale ich zwroty są przeciwne.

Zgodnie z prawem powszechnego ciążenia Newtona wartość siły grawitacji jest wprost proporcjonalna do mas obu ciał $M$ i $m$, a odwrotnie proporcjonalna do kwadratu odległości między ich środkami $r$:

gdzie $G$ = 6,67 · 10Indeks górny -11^-11 mIndeks górny 3³/(kg·sIndeks górny 2²) jest stałą grawitacji.

Gdy ciała mają odpowiednio dużą prędkość początkową w kierunku prostopadłym do siły grawitacji, zaczynają krążyć wokół wspólnego środka masyŚrodek masyśrodka masy. Masa Słońca jest dużo większa od masy każdej z planet, dlatego możemy przyjąć, że planety krążą wokół nieruchomego Słońca, ponieważ środek masy układu Słońce – planeta leży zwykle blisko środka Słońca. Orbita planety jest elipsą, w ognisku której znajduje się Słońce (Rys. 2.).

Ruh2duD5SQ5Am

Rys. 2. Ilustracja przedstawia rysunek, na którym przedstawiono schematycznie ruch planety po orbicie eliptycznej wokół Słońca. W połowie wysokości ilustracji i nieco z lewej strony widoczna jest żółta kulka podpisana jako Słońce. Wokół Słońca, czarną, ciągłą linią narysowano eliptyczną orbitę planety, w taki sposób, że Słońce znajduje się w lewym ognisku elipsy. Na orbicie, w lewej i dolnej części widoczna jest planeta w postaci mniejszej niebieskiej kulki. Ze środka Słońca wychodzi czarna strzałka skierowana w prawo i w dół, która wskazuje na planetę. Jest to promień wodzący planety, podpisany małą literą r ze strzałką oznaczającą wektor. Do kulki symbolizującej planetę przyłożono dwie strzałki. Jedna z nich jest czerwona i wskazuje na Słońce. Strzałka ta jest znacznie krótsza od promienia wodzącego. Czerwona strzałka symbolizuje wektor siły grawitacyjnej wielka litera F ze strzałką oznaczającą wektor. Druga strzałka jest czarna i skierowana w prawo i w górę, równolegle do orbity eliptycznej. Symbolizuje ona wektor prędkości liniowej planety mała litera v ze strzałką oznaczającą wektor.

Czy zastanawiałeś się, dlaczego pory roku są różnej długości? Jesień i  zima na półkuli północnej trwają ok. 89 dni, wiosna i lato ok.  92‑93 dni. Wyjaśnienie kryje się w II prawie Keplera i jednej z podstawowych zasad zachowania.

W ruchu planety wokół Słońca spełniona jest zasada zachowania momentu pędu, która mówi, że moment pędu układu jest stały, jeśli nie działają na niego zewnętrzne momenty sił.

Zauważmy, że siła grawitacji jest jedyną siłą działającą na planetę. Moment tej siły względem osi obrotu planety w ruchu orbitalnym to iloczyn wektorowy promienia wodzącego planety $\overrightarrow{r}$ i wektora siły grawitacji $\overrightarrow{F}$:

Wartość iloczynu wektorowego równa jest iloczynowi długości wektorów i sinusa kąta między nimi, $\alpha$:

Kąt między wektorami $\overrightarrow{r}$ i $\overrightarrow{F}$ równy jest 180°, sin(180°) = 0, więc iloczyn wektorowy $\overrightarrow{M}$ wynosi zero.

Wynika z tego, że moment pędu planety krążącej wokół Słońca jest stały, a jego wartość wynosi:

gdzie $m$ to masa planety, $r$ to jej odległość od Słońca, a $v$ - prędkość w danym momencie, natomiast $\varphi$ to kąt pomiędzy wektorem wodzącym planety a wektorem prędkości. Jeśli podzielimy obie strony równania przez $m$ otrzymamy:

Prawa strona równania $\frac{L}{m}$ jest stała, więc wartość prędkości planety w każdym momencie jest odwrotnie proporcjonalna do wyrażenia $r\cdot\sin\varphi$.

Gdy planeta porusza się po elipsie, jej odległość od Słońca stale się zmienia. Musi więc zmieniać się też jej prędkość.

Prędkość jest największa, gdy planeta znajduje się najbliżej Słońca, czyli w peryheliumPeryheliumperyhelium, a najmniejsza w położeniu najbardziej oddalonym, zwanym apheliumApheliumaphelium (Rys. 3.).

W tych położeniach kąt między wektorem prędkości i promieniem wodzącym planety wynosi 90°, a ponieważ sin(90°) = 1, związek między prędkością, a odległością od Słońca przyjmuje prostą postać:

Gdy planeta przechodzi przez peryheliumPeryheliumperyhelium i apheliumApheliumaphelium, jej chwilowa prędkość jest odwrotnie proporcjonalna do odległości od Słońca.

RAB3gpAgWvDIl

Rys. 3. Ilustracja przedstawia rysunek, na którym przedstawiono schematycznie ruch planety po orbicie eliptycznej wokół Słońca oraz jej prędkości liniowe w peryhelium i aphelium. W połowie wysokości ilustracji i nieco z lewej strony widoczna jest żółta kulka podpisana jako Słońce. Wokół Słońca, czarną, ciągłą linią narysowano eliptyczną orbitę planety, w taki sposób, że Słońce znajduje się w lewym ognisku elipsy. Na orbicie zaznaczono dwa położenia planety widocznej w postaci mniejszej, niebieskiej kulki. Jedno z nich to położenie w puncie skrajnie lewym elipsy. W tym położeniu planeta znajduje się najbliżej Słońca. Jej promień wodzący mała litera r z indeksem dolnym małe litery min i strzałką oznaczającą wektor przedstawiono w postaci czarnej, poziomej strzałki skierowanej od Słońca do planety. Położenie w tym miejscu opisano, jako planeta w peryhelium. Ze środka planety poprowadzono czarną, pionową strzałkę w dół. Strzałka ta symbolizuje wektor prędkości liniowej planety mała litera v z indeksem dolnym małe litery max i strzałką oznaczającą wektor. Prędkość liniowa jest styczna do eliptycznej orbity planety. W położeniu najbliższym gwieździe wartość prędkości liniowej planety jest największa. Drugie położenie planety znajduje się na orbicie eliptycznej i na drugim skraju jej długiej osi. Jest to punkt najbardziej wysunięty w prawo. Promień wodzący planety w tym położenie mała litera r z indeksem dolnym małe litery ma i strzałką oznaczającą wektor, narysowano w postaci również czarnej, poziomej strzałki ale tym razem skierowanej w prawo od Słońca do planety. W tym położeniu planeta znajduje się najdalej od gwiazdy. Do planety także przyłożono wektor jej prędkości liniowej mała litera v z indeksem dolnym małe litery min i strzałką oznaczającą wektor, który narysowano w postaci czarnej, pionowej strzałki skierowanej w górę. Położenie planety w tym miejscu opisano jako planeta w aphelium. Wektor prędkości planety w aphelium jest krótszy niż w peryhelium.

Ziemia przechodzi przez peryhelium na początku stycznia i jej odległość od Słońca wynosi wtedy 147,1 mln km. Porusza się z maksymalną prędkością równą 30,27 km/s, czyli prawie 109 000 km/h. Po pół roku, w pierwszych dniach lipca, Ziemia znajduje w aphelium w odległości 152,1 mln km, a jej prędkość jest najmniejsza i wynosi 29,3 km/s. Teraz przyczyna różnej długości pór roku jest już jasna.

Zmianę wartości prędkości planety na orbicie eliptycznej można też wyjaśnić, analizując skutek działania siły grawitacji. Siłę grawitacji w każdym punkcie orbity można rozłożyć na dwie składowe: prostopadłą, ${\overrightarrow{F}}_r$, do wektora prędkości i równoległą, ${\overrightarrow{F}}_s$, do wektora prędkości (Rys. 4.). Składowa prostopadła do wektora prędkości spełnia rolę siły dośrodkowej i zmienia kierunek wektora prędkości, natomiast składowa równoległa do wektora prędkości i styczna do toru zmienia wartość prędkości.

W punkcie A, gdzie kąt między wektorem prędkości a wektorem siły grawitacji jest większy od 90°, składowa styczna do toru ma przeciwny zwrot do wektora prędkości i nadaje planecie przyspieszenie ujemne (opóźnienie), czyli powoduje zmniejszanie wartości prędkości. Taka sytuacja jest w każdym punkcie toru, gdy planeta oddala się od peryhelium, a zbliża do aphelium. Natomiast w punkcie B kąt między wektorem prędkości a wektorem siły grawitacji jest mniejszy od 90°, składowa styczna do toru ma zwrot zgodny ze zwrotem wektora prędkości i nadaje planecie przyspieszenie dodatnie, czyli powoduje zwiększanie wartości prędkości. W peryhelium wartość prędkości osiąga największą wartość, a w aphelium najmniejszą.

R13DvipvS4Wzx

Rys. 4. Ilustracja przedstawia rysunek, na którym przedstawiono schematycznie ruch planety po orbicie eliptycznej wokół Słońca oraz wektory sił jakie na nią działają. W połowie wysokości ilustracji i nieco z lewej strony widoczna jest żółta kulka podpisana jako Słońce. Wokół Słońca, czarną, ciągłą linią narysowano eliptyczną orbitę planety, w taki sposób, że Słońce znajduje się w lewym ognisku elipsy. Na orbicie zaznaczono dwa położenia planety widocznej w postaci mniejszej, niebieskiej kulki. Planeta porusza się po orbicie eliptycznej w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara. Od środka Słońca poprowadzono dwie czarne przerywane linie do środków planet w poszczególnych położeniach. Jedno z położeń planety opisane wielką literą A znajduje się na orbicie, w jej prawej i dolnej części i zbliża się do aphelium, czyli do punktu, w którym jest ona najbardziej oddalona od gwiazdy. Do planety przyłożone zostały cztery wektory narysowane w postaci strzałek. Jedna z nich podpisana wielką literą F ze strzałką oznaczającą wektor skierowana jest w stronę gwiazdy i jest to wektor siły grawitacji. Jego składowa wielka litera F z indeksem dolnym mała litera r i strzałką oznaczającą wektor jest narysowana zielonym kolorem i kierowana jest do wewnątrz elipsy, prostopadle do niej. Siła ta odpowiada za zakrzywienie ruchu planety, powoduje ruch po orbicie eliptycznej. Druga składowa wielka litera F z indeksem dolnym mała litera s jest styczna do toru ruchu planety i skierowana przeciwnie do kierunku ruchu. Narysowano ją czarnym kolorem. Jest to siła, która zmienia wartość prędkości liniowej z jaką porusza się planeta. W sytuacji, gdy planeta zbliża się do aphelium składowa styczna do toru powoduje zmniejszenie prędkości liniowej. Czwartą strzałkę narysowano kolorem niebieskim i jest ona styczna do toru ruchu. Skierowana jest ona w górę i w prawo. Symbolizuje ona wektor prędkości liniowej mała litera v ze strzałką oznaczającą wektor. Drugie położenie planety opisano wielką literą B. Znajduje się ono w górnej i lewej części ilustracji na obwodzie elipsy. Jest to punkt w którym planeta porusza się od aphelium do peryhelium, czyli do punktu, w którym będzie znajdować się najbliżej gwiazdy. Do planety w tym położeniu również przyłożono cztery wektory, narysowane w postaci strzałek. Czerwona strzałka, symbolizująca wektor siły grawitacji wielka litera F ze strzałką oznaczającą wektor, skierowana jest w stronę gwiazdy. Jej składowa, która odpowiada za zakrzywienie toru ruchu wielka litera F z  indeksem dolnym mała litera r i strzałką oznaczającą wektor, narysowana jest zielonym kolorem i skierowana jest do wewnątrz elipsy, prostopadle do toru ruchu planety. Składowa styczna wielka litera F z indeksem dolnym mała litera s i strzałką oznaczającą wektor, narysowana jest czarnym kolorem i jest styczna do toru ruchu. Skierowana jest ona w lewo i nieco w górę, równolegle do wektora prędkości liniowej planety mała litera v ze strzałką oznaczającą wektor narysowanego w postaci niebieskiej strzałki skierowanej również w lewo i nieco w górę. Zwroty wektorów prędkości liniowej i składowej stycznej są takie same a zatem siła styczna powoduje zwiększenie prędkości liniowej.

Słowniczek