Wysokość trójkąta

Definicja: Wysokość trójkąta

Niech $A$ będzie wierzchołkiem trójkąta $ABC$. Najkrótszy z odcinków łączących wierzchołek $A$ trójkąta z prostą $BC$ zawierającą przeciwległy bok nazywamy wysokością trójkąta poprowadzoną z tego wierzchołka.

RNMTVRNytfKSD

Na ilustracji przedstawiono trójkąt ostrokątny $ABC$. Z wierzchołka $A$ opuszczono wysokość trójkąta do podstawy $BC$.

Spodek wysokości

Definicja: Spodek wysokości

Niech $D$ będzie punktem wspólnym wysokości poprowadzonej z wierzchołka $A$ i prostej $BC$. Wówczas punkt $D$ będziemy nazywać spodkiem wysokości poprowadzonej z wierzchołka $A$.

RVH8xZEmNUPVZ

Na ilustracji przedstawiono trójkąt ostrokątny $ABC$. Z wierzchołka $A$ opuszczono wysokość trójkąta do podstawy $BC$, której spodek leży w punkcie D.

Bezpośrednio z definicji i własności prostej prostopadłej wynika poniższe twierdzenie.

Dla danego trójkąta możemy wyznaczyć trzy jego wysokości, poprowadzone z każdego z jego wierzchołków, jak na rysunku.

R115nVLx8xNTu

Na ilustracji przedstawiono trójkąt ostrokątny $ABC$. Z wierzchołka $A$ opuszczono wysokość trójkąta do boku $BC$, której spodek leży w punkcie D. Z wierzchołka C opuszczono wysokość do boku $AB$, której spodek leży w punkcie F. Z wierzchołka B opuszczono wysokość do boku $AC$, której spodek leży w punkcie E.

Każdy ze spodów wysokości poprowadzonych w trójkącie ostrokątnym, jak na powyższym rysunku, leży na przeciwległym boku trójkąta. Inaczej jest w przypadku trójkąta rozwartokątnego.

RGGn5mI9Sj2Ew

Na ilustracji przedstawiono trójkąt rozwartokątny $ABC$. Z wierzchołka A, opuszczono wysokość do spodka w punkcie D, leżącego na przedłużeniu boku $BC$ trójkąta. Z wierzchołka B, opuszczono wysokość do boku $AC$ trójkąta, której spodek leży w punkcie E. Z wierzchołka C opuszczono wysokość trójkąta do spodka w punkcie F, który leży na przedłużeniu boku $AB$.

Zauważmy, że dwa spośród spodków wysokości – te, które poprowadzono z wierzchołków kątów ostrych w trójkącie $ABC$, leżą poza bokami trójkąta, a tylko spodek wysokości poprowadzonej z wierzchołka kąta rozwartego leży na przeciwległym boku trójkąta.

Pozostaje nadmienić, że w przypadku trójkąta prostokątnego wysokości poprowadzone z wierzchołków kątów ostrych pokrywają się z przyprostokątnymi tego trójkąta, a ich spodki wysokości pokrywają się z wierzchołkiem kąta prostego w tym trójkącie.

Zamiast mówić o wysokości poprowadzonej z wierzchołka $A$ niekiedy mówi się o wysokości poprowadzonej na bok $BC$ lub na podstawę $BC$ trójkąta (w konsekwencji na podstawę $AC$ lub $AB$).

Wzór Herona dla wysokości trójkąta

Pole trójkąta o bokach długości $a$, $b$, $c$ możemy wyrazić poprzez wzór Herona:wzór Heronawzór Herona:

Jeśli teraz przez $h_a$, $h_b$, $h_c$ oznaczymy odpowiednio wysokości tego trójkąta, to wówczas możemy zapisać:

$a=\frac{2P}{h_a}$, $b=\frac{2P}{h_b}$, $c=\frac{2P}{h_c}$.

Podstawiając te wielkości do wzoru zapisanego wcześniej dostajemy:

Stąd

co oznacza, że pole trójkąta o danych wysokościach jest wyznaczone jednoznacznie.

Istnienie trójkąta o danych wysokościach

W Przykładzie 1. wyznaczyliśmy boki trójkąta o danych wysokościach. Nietrudno sprawdzić, że istotnie trójkąt, którego boki mają długości $a=15$, $b=20$, $c=25$, ma wysokości odpowiednio równe $h_a=20$, $h_b=15$, $h_c=12$.

Rozważmy teraz trzy odcinki o długości $5$, $10$, $12$. Rozstrzygniemy, czy istnieje trójkąt, którego wysokości byłyby równe odpowiednim długościom danych odcinków?

Przypuśćmy, że pole danego trójkąta jest równe $P$, a jego boki mają długości $a$, $b$, $c$, gdzie $a\le b\le c$.

Oczywiście warunek trójkąta można zapisać sumując długości dwóch dowolnych boków i porównując z długością trzeciego boku, ale pamiętamy, że wystarczy porównać sumę dwóch z długością boku najdłuższego – przy założeniu $a\le b\le c$ będziemy badać zależność $a+b>c$. Ale warunek trójkąta $a+b>c$ można zapisać w postaci $\frac{2P}{h_a}+\frac{2P}{h_b}>\frac{2P}{h_c}$, czyli $\frac{1}{h_a}+\frac{1}{h_b}>\frac{1}{h_c}$.

Łatwo zauważyć, że wysokość poprowadzona na najdłuższy z boków jest najkrótsza. Dlatego otrzymaną nierówność trójkąta dla wysokości równych odpowiednio $5$, $10$, $12$ zapiszemy w postaci $\frac{1}{12}+\frac{1}{10}>\frac{1}{5}$.

Po doprowadzeniu do wspólnego mianownika otrzymujemy, że $\frac{5}{60}+\frac{6}{60}>\frac{12}{60}$, ale ta nierówność jest sprzeczna. Oznacza to, że taki trójkąt nie istnieje.

Pozostaje zauważyć, że swoistym kryterium istnienia trójkąta, w którym wysokości miałyby określone długości jest zbadanie wyrażenia, które jest pod pierwiastkiem we wzorze

gdyby nierówność trójkąta miała nie być spełniona, to dany iloczyn będzie miał wartość ujemną. Ale ze względu na złożoność obliczeniową, kryterium to wydaje się być mało efektywne.

Konstrukcja trójkąta o danych wysokościach

Przypuśćmy, że mamy dane trzy odcinki o długościach $h_a$, $h_b$, $h_c$ takie, że $h_a\le h_b\le h_c$.

Naszym zadaniem jest opis konstrukcji trójkąta, którego wysokości są równe danym odcinkom. Z wcześniejszych rozważań wynika, że warunkiem istnienia takiego trójkąta jest spełnienie warunku $\frac{1}{h_b}+\frac{1}{h_c}>\frac{1}{h_a}$.

Niech $a$, $b$, $c$ oznaczają długości odpowiednich boków trójkąta. Wtedy mamy w szczególności, że $\frac{1}{2}a·h_a=\frac{1}{2}b·h_b$.

Stąd $\frac{a}{b}=\frac{h_b}{h_a}$. Analogicznie $\frac{a}{c}=\frac{h_c}{h_a}$ oraz $\frac{c}{b}=\frac{h_b}{h_c}$.

Opis konstrukcji:

1. Weźmy dowolny niezerowy odcinek o długości $x$.

2. Konstruujemy odcinek $a\text{'}$ taki, że $\frac{a\text{'}}{x}=\frac{x}{h_a}$, jak na rysunku.

   R1cBqnN95sxDG

   Na ilustracji przedstawiono trójkąt , którego podstawę zaznaczono niebieskim kolorem o długości $h_a$, lewe ramię zaznaczono kolorem różowym o długości x, a prawe ramię zawiera się na prostej k. Narysowano prostą równoległą l do prostej k oddaloną od niej o długość a prim . Podstawę trójkąta przedłużono przerywaną liną tak, że odległość między przecięciami prostych k i l z tym przedłużeniem jest równe x.

   

3. Analogicznie konstruujemy odcinki $b\text{'}$, $c\text{'}$ takie, że $\frac{b\text{'}}{x}=\frac{x}{h_b}$ oraz $\frac{c\text{'}}{x}=\frac{x}{h_c}$.

4. Konstruujemy trójkąt o bokach długości $a\text{'}$, $b\text{'}$, $c\text{'}$. Ponieważ $a\text{'}=\frac{x^2}{h_a}$, $b\text{'}=\frac{x^2}{h_b}$ oraz $c\text{'}=\frac{x^2}{h_c}$, więc $\frac{a\text{'}}{b\text{'}}=\frac{\frac{x^2}{h_a}}{\frac{x^2}{h_b}}=\frac{h_b}{h_a}$, $\frac{a\text{'}}{c\text{'}}=\frac{\frac{x^2}{h_a}}{\frac{x^2}{h_c}}=\frac{h_c}{h_a}$ oraz $\frac{c\text{'}}{b\text{'}}=\frac{\frac{x^2}{h_c}}{\frac{x^2}{h_b}}=\frac{h_b}{h_c}$. Oznacza to, że trójkąt o bokach długości $a\text{'}$, $b\text{'}$, $c\text{'}$ jest podobny do szukanego trójkąta.

5. Pozostaje na półprostej zawierającej jedną z wysokości trójkąta $a\text{'}$, $b\text{'}$, $c\text{'}$ odłożyć odpowiednią wysokość szukanego trójkąta. Bez zmniejszenia ogólności możne to być wysokość poprowadzona na bok $a\text{'}$ – wówczas na półprostej odkładamy odcinek $h_a$ w taki sposób, że jeden z jej końców pokrywa się z wierzchołkiem trójkąta $a\text{'}$, $b\text{'}$, $c\text{'}$ – będzie to wierzchołek $A$ szukanego trójkąta. Przez drugi koniec tej wysokości prowadzimy prostą równoległą do $a\text{'}$, aż do przecięcia z przedłużeniami boków $b\text{'}$ i $c\text{'}$, a otrzymane punkty przecięcia są wierzchołkami $B$, $C$ szukanego trójkąta.

   REJuAyeBvCODm

   Na ilustracji przedstawiony jest trójkąt $ABC$. Z wierzchołka A poprowadzono wysokość $h_a$ . Na boku $AB$ odłożono odległość c prim od wierzchołka A oraz na boku $AC$ odłożono odległość b prim od wierzchołka A. Końce tych odcinków połączono odcinkiem o długości a prim równoległym do boku $BC$.

   

Słownik