Funkcję określoną wzorem , gdzie , , nazywamy funkcją wykładniczą. Wykresem funkcji wykładniczej jest krzywa, którą nazywamy krzywą wykładniczą.
R1SQw1sULlOGw
R1e82rMXEd1Zg
Dziedziną funkcjidziedzina funkcji fDziedziną funkcji wykładniczej jest zbiór liczb rzeczywistych , a zbiorem wartościzbiór wartości funkcji fzbiorem wartości - zbiór , dla .
Przyjmując, że możemy stwierdzić, że funkcja wykładnicza jest różnowartościowa. Istnieje do niej funkcja odwrotnafunkcja odwrotnafunkcja odwrotna. Funkcją odwrotną do funkcji wykładniczejfunkcja wykładniczafunkcji wykładniczej jest funkcja logarytmiczna.
Funkcję , gdzie oraz , nazywamy funkcją logarytmiczną o podstawie . Wykres funkcji nazywamy krzywą logarytmiczną.
Z uwagi na równoważność
każde z tych odwzorowań jest odwrotne względem drugiego.
Funkcji logarytmicznafunkcja logarytmicznaFunkcji logarytmiczna jest odwrotna do funkcji , więc krzywa logarytmiczna o równaniu jest symetryczna względem prostej do krzywej wykładniczej o równaniu . Oznacza to, że jeżeli punkt należy do wykresu funkcji , to punkt należy do wykresu funkcji .
R1RefBOKDWmWj
Zbierzemy własności obu funkcji w tabeli.
Dziedzina
Zbiór wartości funkcji
Monotoniczność
Rosnąca
Rosnąca
Punkt przecięcia z osią
Punkt przecięcia z osią
Asymptota
(pozioma)
(pionowa)
R1XCF9VdFgtOP
Dziedzina
Zbiór wartości funkcji
Monotoniczność
Malejąca
Malejąca
Punkt przecięcia z osią
Punkt przecięcia z osią
Asymptota
(pozioma)
(pionowa)
Przykład 1
Na podstawie wykresu funkcji narysuj wykres funkcji .
Rozwiązanie
Wykres funkcji jest obrazem wykresu funkcji wykładniczej w symetrii względem prostej zawierającej dwusieczną kąta , czyli prostej .
Rysujemy wykres funkcji .
RnbYHunxNDief
Po narysowaniu wykresu funkcji odbijamy go symetrycznie względem prostej i otrzymujemy wykres funkcji .
Zauważ, że ponieważ funkcja logarytmiczna jest odwrotna do funkcji wykładniczej to jeżeli punkt należy do wykresu funkcji , to punkt należy do wykresu funkcji .
Przykładowe punkty zaznaczono na powyższym wykresie:
Przykład 2
Narysuj wykres funkcji odwrotnej do funkcji .
Rozwiązanie
I metoda
Rysujemy wykres funkcji .
Przesuwamy wykres funkcji względem osi o jedną jednostkę w dół, otrzymując wykres funkcji .
R1ek6yLvmpBmD
Zauważ, że wraz z wykresem funkcji, przesunęła się również asymptota pozioma.
W symetrii względem prostej otrzymujemy wykres funkcji odwrotnej.
R1NYRnfwTL1aR
II metoda
Wyznaczamy wzór funkcji odwrotnej.
Z definicji logarytmulogarytmlogarytmu otrzymujemy poniższą równość.
Wyrażenie logarytmowane jest większe od zera: , zatem .
Zwyczajowo oznaczamy zmienną jako , więc warto zamienić oznaczenia i
Otrzymujemy funkcję: , przy czym .
Rysujemy wykres funkcji , a następnie przesuwamy ten wykres względem osi o jedną jednostkę w lewo, otrzymując .
RnpXtx59VeF0l
Przykład 3
Narysuj wykres funkcji odwrotnej do funkcji .
Rozwiązanie
I metoda
Rysujemy wykres funkcji .
Przesuwamy wykres funkcji względem osi o dwie jednostki w górę.
R1ZJHORHh2SJw
W symetrii względem prostej otrzymujemy poniższy wykres funkcji.
ReIhnD0Jpq20o
II metoda
Wyznaczamy wzór funkcji odwrotnej.
Z definicji mamy, że
.
Zmienne zamieniają się miejscami, zatem otrzymujemy: .
Rysujemy wykres funkcji , następnie przesuwamy go względem osi o dwie jednostki w prawo.
R14hUIMSiTmi9
Słownik
logarytm
logarytm
logarytm liczby dodatniej przy podstawie – wykładnik potęgi, do której należy podnieść , żeby otrzymać liczbę :
funkcja wykładnicza
funkcja wykładnicza
funkcja określona wzorem , gdzie ,
funkcja logarytmiczna
funkcja logarytmiczna
funkcja określona wzorem , gdzie oraz
dziedzina funkcji f
dziedzina funkcji f
zbiór wszystkich wartości zmiennej niezależnej , dla których funkcja jest określona
zbiór wartości funkcji f
zbiór wartości funkcji f
zbiór tych elementów , dla których istnieje taki argument należący do dziedziny, że
funkcja odwrotna
funkcja odwrotna
Funkcję nazywamy odwrotną do jeśli spełnione są warunki: