Przeczytaj

Funkcję określoną wzorem $y = a^{x}$ , gdzie $a > 0$ , $x \in ℝ$ , nazywamy funkcją wykładniczą. Wykresem funkcji wykładniczej jest krzywa, którą nazywamy krzywą wykładniczą.

R1SQw1sULlOGw

Na ilustracji przedstawiono układ współrzędnych z poziomą osią X od minus czterech do czterech oraz z pionową osią Y od minus jeden do czterech. Na płaszczyźnie narysowano wykres funkcji wykładniczej y=ax, znajdujący się w pierwszej i drugiej ćwiartce układu współrzędnych. Wykres funkcji rosnącej przybiera kształt łuku, biegnącego od minus nieskończoności, przez punkt 0;1 oraz 2;4 do plus nieskończoności. Obok wykresu znajduje się napis a>1.

R1e82rMXEd1Zg

Dziedziną funkcjidziedzina funkcji fDziedziną funkcji wykładniczej jest zbiór liczb rzeczywistych $ℝ$ , a zbiorem wartościzbiór wartości funkcji fzbiorem wartości - zbiór $ℝ_{+}$ , dla $a \neq 1$ .

Przyjmując, że $a \neq 1$ możemy stwierdzić, że funkcja wykładnicza jest różnowartościowa. Istnieje do niej funkcja odwrotnafunkcja odwrotnafunkcja odwrotna. Funkcją odwrotną do funkcji wykładniczejfunkcja wykładniczafunkcji wykładniczej jest funkcja logarytmiczna.

Funkcję $f (x) = \log_{a} x$ , gdzie $a \in ℝ_{+} ∖ \{1\}$ oraz $x \in ℝ_{+}$ , nazywamy funkcją logarytmiczną o podstawie $a$ . Wykres funkcji $f (x) = \log_{a} x$ nazywamy krzywą logarytmiczną.

Z uwagi na równoważność

\log_{a} x = y \Leftrightarrow a^{y} = x,

każde z tych odwzorowań jest odwrotne względem drugiego.

Funkcji logarytmicznafunkcja logarytmicznaFunkcji logarytmiczna $\log_{a} x$ jest odwrotna do funkcji $a^{x}$ , więc krzywa logarytmiczna o równaniu $y = \log_{a} x$ jest symetryczna względem prostej $y = x$ do krzywej wykładniczej o równaniu $y = a^{x}$ . Oznacza to, że jeżeli punkt $M = (m, n)$ należy do wykresu funkcji $y = a^{x}$ , to punkt $N = (n, m)$ należy do wykresu funkcji $y = \log_{a} x$ .

R1RefBOKDWmWj

Na ilustracji przedstawiono układ współrzędnych z poziomą osią X od minus czterech do czterech oraz z pionową osią Y od minus czterech do czterech. Na płaszczyźnie narysowano niebieski wykres funkcji wykładniczej y=axnatomiast kolorem różowym narysowano wykres funkcji logarytmicznej y=logax. Linią przerywaną zaznaczono ukośną prostą y, równa się, x. Niebieski wykres funkcji rosnącej biegnie od minus nieskończoności, przez punkty 0;1, 2;4 do plus nieskończoności. Różowy wykres funkcji malejącej biegnie od minus nieskończoności, niemal pionowo w górę przy osi Y, następnie przechodzi przez punkt 1;0 i biegnie do plus nieskończoności blisko osi X. Obok wykresu znajduje się napis a>1

Zbierzemy własności obu funkcji w tabeli.

$a > 1$	$y = a^{x}$	$y = \log_{a} x$
Dziedzina	$ℝ$	$ℝ_{+}$
Zbiór wartości funkcji	$ℝ_{+}$	$ℝ$
Monotoniczność	Rosnąca	Rosnąca
Punkt przecięcia z osią $X$	$-$	$(1, 0)$
Punkt przecięcia z osią $Y$	$(0, 1)$	$-$
Asymptota	$y = 0$ (pozioma)	$x = 0$ (pionowa)

R1XCF9VdFgtOP

$0 < a < 1$	$y = a^{x}$	$y = \log_{a} x$
Dziedzina	$ℝ$	$ℝ_{+}$
Zbiór wartości funkcji	$ℝ_{+}$	$ℝ$
Monotoniczność	Malejąca	Malejąca
Punkt przecięcia z osią $X$	$-$	$(1, 0)$
Punkt przecięcia z osią $Y$	$(0, 1)$	$-$
Asymptota	$y = 0$ (pozioma)	$x = 0$ (pionowa)

Przykład 1

Na podstawie wykresu funkcji $y = 2^{x}$ narysuj wykres funkcji $y = \log_{2} x, x \in ℝ_{+}$ .

Rozwiązanie

Wykres funkcji $y = \log_{2} x$ jest obrazem wykresu funkcji wykładniczej $y = 2^{x}$ w symetrii względem prostej zawierającej dwusieczną kąta $X O Y$ , czyli prostej $y = x$ .

Rysujemy wykres funkcji $y = 2^{x}$ .

$x$	$- 2$	$- 1$	$0$	$1$	$2$
$y = 2^{x}$	$\frac{1}{4}$	$\frac{1}{2}$	$1$	$2$	$4$

RnbYHunxNDief

Na ilustracji przedstawiono układ współrzędnych z poziomą osią X od minus trzech do pięciu oraz z pionową osią Y od minus trzech do czterech. Na płaszczyźnie narysowano niebieski wykres funkcji wykładniczej 2x natomiast kolorem różowym narysowano wykres funkcji logarytmicznej y=log2x. Linią przerywaną zaznaczono ukośną prostą y, równa się, x. Niebieski wykres funkcji rosnącej biegnie od minus nieskończoności do plus nieskończoności, przez następujące punkty, A o współrzędnych -2;14, B o współrzędnych 0;1 i C 2;4. Różowy wykres funkcji rosnącej biegnie od minus nieskończoności do plus nieskończoności przez punkty A prim 14;-2, B prim 1;0 i C prim 4;2.

Po narysowaniu wykresu funkcji $y = 2^{x}$ odbijamy go symetrycznie względem prostej $y = x$ i otrzymujemy wykres funkcji $y = \log_{2} x$ .

Zauważ, że ponieważ funkcja logarytmiczna jest odwrotna do funkcji wykładniczej to jeżeli punkt $M = (m, n)$ należy do wykresu funkcji $y = 2^{x}$ , to punkt $N = (n, m)$ należy do wykresu funkcji $y = \log_{2} x$ .

Przykładowe punkty zaznaczono na powyższym wykresie:

$A = (- 2, \frac{1}{4}) \to A^{'} = (\frac{1}{4}, - 2)$

$B = (0, 1) \to B^{'} = (1, 0)$

$C = (2, 4) \to C^{'} = (4, 2)$

Przykład 2

Narysuj wykres funkcji odwrotnej do funkcji $y = {(\frac{1}{3})}^{x} - 1$ .

Rozwiązanie

I metoda

Rysujemy wykres funkcji $f (x) = {(\frac{1}{3})}^{x}$ .
Przesuwamy wykres funkcji $f (x) = {(\frac{1}{3})}^{x}$ względem osi $Y$ o jedną jednostkę w dół, otrzymując wykres funkcji $y = {(\frac{1}{3})}^{x} - 1$ .

R1ek6yLvmpBmD

Na ilustracji przedstawiono układ współrzędnych z poziomą osią X od minus trzech do sześciu oraz z pionową osią Y od minus dwóch do czterech. Na płaszczyźnie narysowano niebieski wykres funkcji y=13x. Wykres funkcji malejącej biegnie od minus nieskończoności przez punkty -1;3 oraz 0;1 do plus nieskończoności, wypłaszczając się do osi X. Następnie wykres przesunięto o jedną jednostkę w dół i zaznaczono go kolorem różowym. Różowy wykres biegnie od minus nieskończoności, przez punkty -1;2 oraz 0;0 do plus nieskończoności, wypłaszczając się do przerywanej linii opisanej wzorem y, równa się, minus jeden.

Zauważ, że wraz z wykresem funkcji, przesunęła się również asymptota pozioma.

W symetrii względem prostej $y = x$ otrzymujemy wykres funkcji odwrotnej.

R1NYRnfwTL1aR

Na ilustracji przedstawiono układ współrzędnych z poziomą osią X od minus trzech do pięciu oraz z pionową osią Y od minus dwóch do czterech. Na płaszczyźnie narysowano niebieski wykres funkcji y=13x-1. Niebieski wykres funkcji malejącej biegnie od minus nieskończoności przez punkty -1;2 oraz 0;0 do plus nieskończoności, a od punktu 3;-1 biegnie niemal poziomo. Różowym kolorem narysowano wykres funkcji y=log13x+1. Różowy wykres funkcji malejącej biegnie od minus nieskończoności niemal poziomo w dół, przez punkt -1;3. Następnie w punkcie 0;0 przebija pod oś X i biegnie do plus nieskończoności przez punkt 2;-1. Linią przerywaną zaznaczono ukośną prostą, opisaną wzorem y, równa się, x.

II metoda

Wyznaczamy wzór funkcji odwrotnej.

$y = {(\frac{1}{3})}^{x} - 1$

$y + 1 = {(\frac{1}{3})}^{x}$

Z definicji logarytmulogarytmlogarytmu otrzymujemy poniższą równość.

$x = \log_{\frac{1}{3}} (y + 1)$

Wyrażenie logarytmowane jest większe od zera: $y + 1 > 0$ , zatem $y \in (- 1, + \infty)$ .

Zwyczajowo oznaczamy zmienną jako $x$ , więc warto zamienić oznaczenia $x$ i $y$

Otrzymujemy funkcję: $y = \log_{\frac{1}{3}} (x + 1)$ , przy czym $D_{f} = (- 1, + \infty)$ .

Rysujemy wykres funkcji $f (x) = \log_{\frac{1}{3}} x$ , a następnie przesuwamy ten wykres względem osi $X$ o jedną jednostkę w lewo, otrzymując $f (x) = \log_{\frac{1}{3}} (x + 1)$ .

RnpXtx59VeF0l

Na ilustracji przedstawiono układ współrzędnych z poziomą osią X od minus trzech do pięciu oraz z pionową osią Y od minus dwóch do pięciu. Na płaszczyźnie narysowano niebieski wykres funkcji y=log13x. Niebieski wykres funkcji malejącej biegnie od minus nieskończoności, niemal pionowo w dół wzdłuż osi Y, następnie w punkcie 0;1 przebija pod oś X i biegnie do plus nieskończoności przez punkt 3;-1. Następnie wykres przesunięto o jedną jednostkę w lewo i zaznaczono go kolorem różowym. Różowy wykres biegnie od minus nieskończoności, niemal pionowo w dół wzdłuż przerywanej linii opisanej wzorem x, równa się, minus jeden. W punkcie 0;0 przebija pod oś X i biegnie do plus nieskończoności przez punkt 2;-1.

Przykład 3

Narysuj wykres funkcji odwrotnej do funkcji $y = \log_{4} x + 2$ .

Rozwiązanie

I metoda

Rysujemy wykres funkcji $f (x) = \log_{4} x, x > 0$ .
Przesuwamy wykres funkcji $f (x) = \log_{4} x$ względem osi $Y$ o dwie jednostki w górę.

R1ZJHORHh2SJw

Na ilustracji przedstawiono układ współrzędnych z poziomą osią X od minus jeden do siedmiu oraz z pionową osią Y od minus dwóch do czterech. Na płaszczyźnie narysowano niebieski wykres funkcji y=log4x. Niebieski wykres funkcji rosnącej biegnie od minus nieskończoności, w górę wzdłuż osi Y, następnie w punkcie 1;0 przebija nad oś X i biegnie do plus nieskończoności przez punkt 4;1. Następnie wykres przesunięto o dwie jednostki w górę i zaznaczono go kolorem różowym. Różowy wykres biegnie od minus nieskończoności, niemal pionowo w górę wzdłuż osi Y. Przebija nad oś X i biegnie do plus nieskończoności przez punkty 1;2 oraz 4;3.

W symetrii względem prostej $y = x$ otrzymujemy poniższy wykres funkcji.

ReIhnD0Jpq20o

Na ilustracji przedstawiono układ współrzędnych z poziomą osią X od minus dwóch do siedmiu oraz z pionową osią Y od minus dwóch do czterech. Na płaszczyźnie narysowano niebieski wykres funkcji wykładniczej y=4x-2 natomiast kolorem różowym narysowano wykres funkcji logarytmicznej y=log4x+2. Linią przerywaną zaznaczono ukośną prostą opisaną wzorem y, równa się, x. Niebieski wykres funkcji rosnącej biegnie od minus nieskończoności, wzdłuż osi X, następnie przez punkt 2;1 oraz 3;4 do plus nieskończoności. Różowy wykres funkcji rosnącej biegnie od minus nieskończoności, niemal pionowo w górę wzdłuż osi Y, do plus nieskończoności przez punkty 1;2 oraz 4;2.

II metoda

Wyznaczamy wzór funkcji odwrotnej.

$y = \log_{4} x + 2$

$y - 2 = \log_{4} x$

Z definicji mamy, że

$x = 4^{y - 2}$ .

Zmienne zamieniają się miejscami, zatem otrzymujemy: $y = 4^{x - 2}, x \in ℝ$ .

Rysujemy wykres funkcji $f (x) = 4^{x}$ , następnie przesuwamy go względem osi $X$ o dwie jednostki w prawo.

R14hUIMSiTmi9

Na ilustracji przedstawiono układ współrzędnych z poziomą osią X od minus trzech do pięciu oraz z pionową osią Y od minus jeden do czterech. Na płaszczyźnie narysowano niebieski wykres funkcji y=4x. Niebieski wykres funkcji rosnącej biegnie od minus nieskończoności, niemal poziomo w dół wzdłuż osi X, do plus nieskończoności przez punkty 0;1 oraz 1;4. Następnie wykres przesunięto o dwie jednostki w prawo i zaznaczono go kolorem różowym. Różowy wykres funkcji biegnie od minus nieskończoności, niemal poziomo wzdłuż osi X, do plus nieskończoności przez punkty o współrzędnych 2;1 oraz 3;4.

Słownik

logarytm

logarytm liczby dodatniej $b$ przy podstawie $a \in ℝ_{+} ∖ \{1\}$ – wykładnik potęgi, do której należy podnieść $a$ , żeby otrzymać liczbę $b$ : $\log_{a} b = c \Leftrightarrow a^{c} = b$

funkcja wykładnicza

funkcja określona wzorem $y = a^{x}$ , gdzie $a > 0$ , $x \in ℝ$

funkcja logarytmiczna

funkcja określona wzorem $f (x) = \log_{a} x$ , gdzie $a \in ℝ_{+} ∖ \{1\}$ oraz $x \in ℝ_{+}$

dziedzina funkcji f

zbiór wszystkich wartości zmiennej niezależnej $x$ , dla których funkcja $f (x)$ jest określona

zbiór wartości funkcji f

zbiór tych elementów $y$ , dla których istnieje taki argument $x$ należący do dziedziny, że $y = f (x)$

funkcja odwrotna

Funkcję $g : Y \to X$ nazywamy odwrotną do $f : X \to Y$ jeśli spełnione są warunki:

dla każdego $x \in X$ spełnona jest równość $g (f (x)) = x$
dla każdego $y \in Y$ spełnona jest równość $f (g (y)) = y$

Wprowadzenie

Animacja

Słownik