Niech dane będą funkcje $f:X\to Y$ i $g:Y\to Z$. Dla każdego elementu $x\in X$ istnieje wówczas dokładnie jeden element $z\in Z$, taki że $z=g\left(f\left(x\right)\right)$. Funkcje $f$ i $g$ wyznaczają więc nową funkcję $h:X\to Z$ określoną w następujący sposób: $h\left(x\right)=g\left(f\left(x\right)\right)$ dla każdego $x\in X$. Funkcję $h$ nazywamy superpozycją lub złożeniem funkcji $f$ i $g$ i oznaczamy symbolem $g\circ f$.

1. złożenie funkcji jest działaniem łącznym,

2. złożenie funkcji nie jest działaniem przemiennym,

3. złożenie dwóch funkcji różnowartościowych jest funkcją różnowartościową,

4. złożenie dwóch funkcji, które są „na”funkcja „na”„na” nie musi być „na”,

5. złożenie dwóch funkcji rosnących jest funkcją rosnącą,

6. złożenie dwóch funkcji malejących jest funkcją rosnącą,

7. złożenie funkcji rosnącej (malejącej) z funkcją malejącą(rosnącą) jest funkcją malejącą,

8. złożenie dwóch funkcji parzystych jest funkcją parzystą.

Pokażemy, że złożenie funkcji jest działaniem łącznym tzn. że dla dowolnych funkcji $f$, $g$ i $h$ zachodzi: $f\circ \left(g\circ h\right)=\left(f\circ g\right)\circ h$.

Rozwiązanie:

Niech $h:S\to T$, $g:W\to X$, $f:Y\to Z$, $T\subset W$, $X\subset Y$.

Weźmy dowolny $x\in S$. Wówczas

$\left(f\circ \left(g\circ h\right)\right)\left(x\right)=f\left(\left(g\circ h\right)\left(x\right)\right)=f\left(g\left(h\left(x\right)\right)\right)=\left(f\circ g\right)\left(h\left(x\right)\right)=\left(\left(f\circ g\right)\circ h\right)\left(x\right)$.

Pokażemy, że złożenie funkcji nie jest działaniem przemiennym.

Niech funkcje $f$, $g$ będą określone przy pomocy tabelek:

$f:\left\{1, 2, 3, 4\right\}\to \left\{1, 2, 3, 4\right\}$.

oraz

$g:\left\{1, 2, 3, 4\right\}\to \left\{1, 2, 3, 4\right\}$

Znajdźmy złożenia $g\circ f$ oraz $f\circ g$.

Rozwiązanie:

Budujemy funkcję $g\circ f$.

Przepisujemy wiersz argumentów funkcji $f$ z pierwszej tabelki. Dla argumentu $4$ funkcja $f$ przyporządkowuje wartość $2$, która staje się argumentem funkcji $g$. Z drugiej tabelki dla argumentu $2$ otrzymujemy wartość równą $3$.

Analogicznie wypełniamy dalej tabelkę. Otrzymujemy złożenie $g\circ f$:

oraz $f\circ g$:

Widzimy, że otrzymaliśmy dwa różne przyporządkowania, czyli składanie funkcji nie jest przemienne.

Jak myślisz, jak wygląda tabelka funkcji $e:\left\{1, 2, 3, 4\right\}\to \left\{1, 2, 3, 4\right\}$, która dla każdej funkcji $f:\left\{1, 2, 3, 4\right\}\to \left\{1, 2, 3, 4\right\}$ spełnia następujący warunek:

$f\circ e=e\circ f=f$?

Rozwiązanie:

Jest to funkcja tożsamościowa albo inaczej identyczność „$id$”:

Znajdziemy funkcję $h$, która spełnia warunek: $f\circ h=e=id$, gdzie $f$ i $e$ są określone odpowiednimi tabelkami:

R1JoF6JELKWhl

Ilustracja przedstawia trzy tabele przedstawiające mnożenie dwóch funkcji f i h. W rezultacie otrzymujemy funkcje e. W pierwszej tabeli znajdują się wartości funkcji f w czterech punktach. Funkcja f w punkcie x=4 przyjmuje wartość 1, w punkcie x=2 wartość 3, w punkcie x=3 wartość 4, w punkcie x=1 wartość 2. Pomiędzy tą tabelą, a następna znajduje się znak mnożenia. W drugiej tabeli znajdują się wartości funkcji h w czterech punktach. Pozostawione są puste pola. Pomiędzy tą tabelą a następną znajduje się znak równości. W ostatniej tabeli znajdują się wartości funkcji e w czterech punktach. Funkcja e w punkcie x=1 przyjmuje wartość 1, w punkcie x=2 wartość 2, w punkcie x=3 wartość 3, w punkcie x=4 wartość 4.

Rozwiązanie:

Jak pokazaliśmy, składanie funkcji nie jest przemienne.

Należy pamiętać, że zapis $f\circ h$ czytamy od strony prawej do lewej, czyli funkcja $h$ (wewnętrzna) jest złożona z funkcją $f$ (zewnętrzną).

W wyniku tego złożenia otrzymujemy funkcję tożsamościową $e$.

Dziedziną funkcji $e$ jest zbiór $\left\{1, 2, 3, 4\right\}$.

Wpisujemy te argumenty w wiersz pierwszy tabelki funkcji $h$.

Z tabelki funkcji $e$ wynika, że $e\left(1\right)=1$.

Szukamy teraz takiego argumentu funkcji zewnętrznej $f$, że $f\left(x\right)=1$.

Z tabelki funkcji $f$ odczytujemy $f\left(4\right)=1$.

Stąd ponieważ argumenty funkcji zewnętrznej są wartościami funkcji wewnętrznej wynika, że $h\left(1\right)=4$.

Zatem w wierszu drugim w kolumnie pierwszej tabelki funkcji $h$ wpisujemy $4$.

Analogicznie szukamy pozostałych wartości funkcji wewnętrznej $h$.

RY6Vx8Xl7YTxZ

Ilustracja przedstawia trzy tabele przedstawiające mnożenie dwóch funkcji f i h. W rezultacie otrzymujemy funkcje e. W pierwszej tabeli znajdują się wartości funkcji f w czterech punktach. Funkcja f w punkcie x=4 przyjmuje wartość 1, w punkcie x=2 wartość 3, w punkcie x=3 wartość 4, w punkcie x=1 wartość 2. Pomiędzy tą tabelą, a następna znajduje się znak mnożenia. W drugiej tabeli znajdują się wartości funkcji h w czterech punktach. Funkcja h w punkcie x=1 przyjmuje wartość 4, w punkcie x=2 wartość 1, w punkcie x=3 wartość 2, w punkcie x=4 wartość 3. Pomiędzy tą tabelą a następną znajduje się znak równości. W ostatniej tabeli znajdują się wartości funkcji e w czterech punktach. Funkcja e w punkcie x=1 przyjmuje wartość 1, w punkcie x=2 wartość 2, w punkcie x=3 wartość 3, w punkcie x=4 wartość 4.

Pokażemy, że złożenie dwóch funkcji różnowartościowych jest funkcją różnowartościowąfunkcja różnowartościowafunkcją różnowartościową.

Niech dane będą dwie dowolne funkcje różnowartościowe $f:X\to Y$ i $g:Z\to W$, $Y\subset Z$.

Weźmy dowolne $x_1$, $x_2\in X$, $x_1\ne x_2$.

Rozwiązanie:

Funkcja $f$ jest różnowartościowa, a więc $f\left(x_1\right)\ne f\left(x_2\right)$.

Ponieważ $Y\subset Z$, to $f\left(x_1\right)$, $f\left(x_2\right)\in Z$.

Funkcja $g$ jest różnowartościowa, stąd $g\left(f\left(x_1\right)\right)\ne g\left(f\left(x_2\right)\right)$.

Pokazaliśmy, że dla każdego $x_1$, $x_2\in X$, warunek $x_1\ne x_2$ pociąga za sobą $g\left(f\left(x_1\right)\right)\ne g\left(f\left(x_2\right)\right)$, czyli złożenie jest różnowartościowe.

Pokażemy, że złożenie dwóch funkcji, które są „na”funkcja „na”„na” nie musi być „na”.

Weźmy funkcje: $f:\mathrm{ℝ}\to \left.⟨-1, \infty \right)$, $f\left(x\right)=x^2-1$, która jest „na” oraz funkcję $g:\mathrm{ℝ}\to \mathrm{ℝ}$, $g\left(x\right)=2x+2$, również „na”.

Rozwiązanie:

Istnieje złożenie $g\circ f:\mathrm{ℝ}\to \mathrm{ℝ}$, $g\left(f\left(x\right)\right)=2\left(x^2-1\right)+2=2x^2$.

Istnieje taki element $y=-1\in \mathrm{ℝ}$, że dla każdego $x\in \mathrm{ℝ}$, $g\left(f\left(x\right)\right)=2x^2\ne -1$.

Pokażemy, że złożenie dwóch funkcji rosnących jest funkcją rosnącą.

Niech dane będą dwie dowolne funkcje rosnące $f:X\to Y$ i $g:Z\to W$, $Y\subset Z$.

Weźmy dowolne $x_1$, $x_2\in X$, $x_1<x_2$.

Rozwiązanie:

Funkcja $f$ jest funkcją rosnącą, a więc $f\left(x_1\right)<f\left(x_2\right)$.

Ponieważ $Y\subset Z$, to $f\left(x_1\right)$, $f\left(x_2\right)\in Z$.

Funkcja $g$ jest rosnąca, zatem $g\left(f\left(x_1\right)\right)<g\left(f\left(x_2\right)\right)$.

Pokazaliśmy, że dla każdego $x_1$, $x_2\in X$, warunek $x_1<x_2$ pociąga za sobą $g\left(f\left(x_1\right)\right)<g\left(f\left(x_2\right)\right)$, czyli złożenie jest funkcją rosnącąfunkcja rosnącafunkcją rosnącą.

Pokażemy, że złożenie dwóch funkcji malejących jest funkcją rosnącą.

Niech dane będą dwie dowolne funkcje malejące $f:X\to Y$ i $g:Z\to W$, $Y\subset Z$.

Weźmy dowolne $x_1$, $x_2\in X$, $x_1<x_2$.

Rozwiązanie:

Funkcja $f$ jest funkcją malejącąfunkcja malejącafunkcją malejącą, a więc $f\left(x_1\right)>f\left(x_2\right)$.

Ponieważ $Y\subset Z$, to $f\left(x_1\right)$, $f\left(x_2\right)\in Z$.

Funkcja $g$ jest również malejąca, zatem $g\left(f\left(x_1\right)\right)<g\left(f\left(x_2\right)\right)$.

Pokazaliśmy, że dla każdego $x_1$, $x_2\in X$, warunek $x_1<x_2$ pociąga za sobą $g\left(f\left(x_1\right)\right)<g\left(f\left(x_2\right)\right)$, czyli złożenie jest funkcją rosnącą.

Pokażemy, że złożenie funkcji rosnącej (malejącej) z funkcją malejącą (rosnącą) jest funkcją malejącą.

Niech dana będzie funkcja rosnąca $f:X\to Y$ i funkcja malejąca $g:Z\to W$, $Y\subset Z$.

Weźmy dowolne $x_1$, $x_2\in X$, $x_1<x_2$.

Rozwiązanie:

Funkcja $f$ jest funkcją rosnącą, a więc $f\left(x_1\right)<f\left(x_2\right)$.

Ponieważ $Y\subset Z$, to $f\left(x_1\right)$, $f\left(x_2\right)\in Z$.

Funkcja $g$ jest malejąca, zatem z warunku $f\left(x_1\right)<f\left(x_2\right)$ wynika $g\left(f\left(x_1\right)\right)>g\left(f\left(x_2\right)\right)$.

Pokazaliśmy, że dla każdego $x_1$, $x_2\in X$, warunek $x_1<x_2$ pociąga za sobą $g\left(f\left(x_1\right)\right)>g\left(f\left(x_2\right)\right)$, czyli złożenie jest funkcją malejącą.

Przypadek złożenia funkcji malejącej z funkcją rosnącą pokazuje się analogicznie.

Pokażemy, że złożenie dwóch funkcji parzystych jest funkcją parzystąfunkcja parzystafunkcją parzystą.

Niech dane będą dwie dowolne funkcje parzyste $f:X\to Y$ i $g:Z\to W$ oraz $Y\subset Z$.

Weźmy dowolne $x$, $-x\in X$. Wówczas

Rozwiązanie:

$\left(g\circ f\right)\left(-x\right)=g\left(f\left(-x\right)\right)=g\left(f\left(x\right)\right)=\left(g\circ f\right)\left(x\right)$.

Stąd wynika, że złożenie $g\circ f:X\to W$ jest funkcją parzystą.

funkcja jest różnowartościowa, jeśli dla każdego $x_1$, $x_2\in X$ warunek $x_1\ne x_2$ pociąga za sobą

funkcja jest „na”, jeśli dla każdego $y\in Y$ istnieje $x\in X$ taki, że

funkcja jest rosnąca, jeśli dla każdego $x_1$, $x_2\in X$ warunek $x_1<x_2$ pociąga za sobą

funkcja jest malejąca, jeśli dla każdego $x_1$, $x_2\in X$ warunek $x_1<x_2$ pociąga za sobą

funkcja jest parzysta, jeśli dla każdego $x\in X$ zachodzi $-x\in X$ i