Przeczytaj

linii środkowej w trapezie

Definicja: linii środkowej w trapezie

Linia środkowa w trapezie jest to odcinek łączący środki ramion trapezu.

Zanim przejdziemy do głównego twierdzenia w tym materiale przypomnimy:

o linii środkowej w trójkącie

Twierdzenie: o linii środkowej w trójkącie

Odcinek łączący środki dwóch boków w trójkącie (linia środkowa w trójkącie) jest równoległy do trzeciego boku i długość tego odcinka jest równa połowie długości trzeciego boku.

o linii środkowej w trapezie

Twierdzenie: o linii środkowej w trapezie

Linia środkowa w trapezie jest równoległa do podstaw a jej długość jest średnią arytmetyczną długości podstaw.

Dowód

Na rysunku prowadzimy przekątną $A C$ trapezutrapeztrapezu $A B C D$ . Niech $E$ będzie jej środkiem, a punkt $F$ środkiem boku $A D$ . Wtedy odcinek $F E$ jest linią środkową w trójkącie $A C D$ , więc jest równoległy do podstawy $D C$ i równy połowie jej długości.

RWWZAzZPqdfSg

Ilustracja przedstawia trapez o wierzchołkach A B C D, w trapezie zaznaczono poziomy odcinek równoległy do podstaw którego końce znajdują się na ramionach trapezu. Na ramieniu AD znajduje się punkt F, a na ramieniu BC znajduje się punkt G. W trapezie zaznaczono jego przekątną AC, punkt przecięcia się przekątnej z odcinkiem FG zaznaczono literą E.

Podobnie, niech punkt $G$ będzie środkiem boku $B C$ . Wtedy $E G$ jest linią środkową w trójkącielinia środkowa w trójkącielinią środkową w trójkącie $A B C$ , więc jest równoległy do podstawy $A B$ i równy połowie jej długości.

Teraz zauważmy, że odcinki $F E$ i $E G$ są równoległe i mają wspólny koniec $E$ . To oznacza, że leżą na jednej prostej i stąd odcinek $F G$ jest równoległy do podstaw trapezu i jego długość jest równa sumie długości odcinków $F E$ i $E G$ , czyli

\frac{|D C|}{2} + \frac{|A B|}{2} = \frac{|D C| + |A B|}{2}

Przykład 1

Obliczymy długość linii środkowej w trapezie o podstawach długości $20$ , $16$ .

Rozwiązanie

Bezpośrednio z powyższego twierdzenia długość tej linii jest równa $\frac{20 + 16}{2} = 18$ .

Przykład 2

Pokażemy, że linia środkowa w trapezie dzieli wysokość trapezu na połowy.

Rozwiązanie

Wystarczy zastosować twierdzenie Talesa do trójkąta $A B C$ .

R59R1iG8nEhwr

Ponieważ linia środkowa w tym trójkącie dzieli boki na połowy, to też dzieli na połowy każdy odcinek łączący wierzchołek $C$ z podstawą $A B$ , w szczególności wysokość trójkąta $A B C$ , która jest jednocześnie wysokością trapezu.

Przykład 3

W trapezie długość linii środkowej jest równa $c$ , a długość wysokości jest równa $h$ . Wyznaczymy pole trapezu.

Rozwiązanie

Ponieważ $c = \frac{a + b}{2}$ i $P = \frac{a + b}{2} h$ , to $P = c h$ .

Przykład 4

Przeanalizujemy sytuację, w której ramiona trapezu zostały podzielone na cztery równe odcinki, a następnie końce odpowiednich odcinków na ramionach trapezu zostały połączone odcinkami jak na rysunku. Pokażemy, że powstałe w ten sposób odcinki są równoległe oraz wyznaczymy ich długości w zależności od długości podstaw trapezu $a$ i $b$ .

RiFMYDcpvcvHi

Ilustracja przedstawia trapez o wierzchołkach A B C D, w trapezie zaznaczono trzy poziome odcinki równoległe do podstaw trapezu, końce odcinków znajdują się na ramionach trapezu. Na ramieniu AD znajdują się punkty G, E, H, na ramieniu BC znajdują się punkty I, F, J. Dolna podstawa jest podpisana literą a, z kolei górna podstawa jest podpisana literą b.

Rozwiązanie

Ponieważ punkty $E$ i $F$ są środkami ramion trapezu, to $E F$ jest linią środkową w trapezie, więc $E F$ jest równoległy do podstaw i ma długość $\frac{a + b}{2}$ .

Punkty $G$ i $I$ są środkami ramion $D E$ i $C F$ trapezu $C D E F$ , więc $G I$ jest linią środkową w trapezie, i stąd $G I$ jest równoległy do podstaw i ma długość $\frac{b + \frac{a + b}{2}}{2} = \frac{3 b + a}{4}$ .

Podobnie, $H J$ jest równoległy do podstaw i ma długość $\frac{\frac{a + b}{2} + a}{2} = \frac{3 a + b}{4}$ .

Zanim przejdziemy do kolejnego przykładu przypomnimy pojęcie ciągu arytmetycznegociąg arytmetycznyciągu arytmetycznego.

Ciąg arytmetyczny to taki ciąg liczb, w którym każda kolejna liczba różni się od poprzedniej o ustaloną wartość $r$ . Liczbę $r$ nazywamy różnicą ciągu arytmetycznego. Zachodzi własność, że każdy (oprócz pierwszego) wyraz ciągu arytmetycznego jest średnią arytmetyczną wyrazów sąsiednich.

Przykład 5

Pokażemy, że długości odcinków równoległych z poprzedniego przykładu tworzą ciąg arytmetyczny o różnicy $r = \frac{a - b}{4}$ .

Rozwiązanie

Po pierwsze z własności linii środkowej w trapezie wynika, że długość każdego odcinka poniżej podstawy $b$ jest średnią arytmetycznąśrednia arytmetyczna liczb a, bśrednią arytmetyczną odcinków sąsiednich. Stąd długości tych odcinków, począwszy od $b$ tworzą ciąg arytmetyczny.

Różnica tego ciągu jest równa $r = |G I| - |D C| = \frac{3 a + b}{4} - b = \frac{a - b}{4}$ .

o stosunku pól trapezów wyznaczonych przez linię środkową w trapezie

Twierdzenie: o stosunku pól trapezów wyznaczonych przez linię środkową w trapezie

Niech $A B$ i $C D$ będą podstawami trapezu i $|A B| = a$ , $|C D| = b$ i niech punkty $F$ , $G$ będą środkami ramion trapezu.

Wtedy stosunek pola trapezu $F G B A$ do pola trapezu $C D F G$ wynosi $\frac{b + 3 a}{a + 3 b}$ .

Dowód

Zastosujemy oznaczenia z rysunku przedstawionego w dowodzie twierdzenia o linii środkowej w trapezie. Niech $h$ oznacza wysokość w trapezie $A B C D$ .

Znów skorzystamy z własności linii środkowej w trójkącie.

Z twierdzenia Talesa w trójkącie $A D C$ wynika, że trójkąt $A F E$ jest podobny do trójkąta $A D C$ w skali $1 : 2$ . Stąd pole trójkąta $A F E$ jest równe $P_{A F E} = \frac{1}{4} P_{A C D} = \frac{h b}{8}$ . Pole trapezu $C D F E$ jest równe $P_{C D F E} = \frac{3 h b}{8}$ .

Podobne rozumowanie przeprowadzone dla trójkąta $A B C$ daje $P_{C E G} = \frac{h a}{8}$ i $P_{A B G E} = \frac{3 h a}{8}$ .

Stąd $P_{F G B A} = P_{A F E} + P_{A B G E} = \frac{h b}{8} + \frac{3 h a}{8} = \frac{h}{8} (b + 3 a)$ .

Analogicznie $P_{C D F G} = P_{C E G} + P_{C D F E} = \frac{h a}{8} + \frac{3 h b}{8} = \frac{h}{8} (a + 3 b)$ .

Ostatecznie $\frac{P_{F G B A}}{P_{C D F G}} = \frac{b + 3 a}{a + 3 b}$ .

Przykład 6

Przy oznaczeniach z powyższego twierdzenia wyznaczymy stosunki pól trapezów wyznaczonych przez linię środkową w trapezie do pola tego trapezu.

Rozwiązanie

Ponieważ $\frac{P_{F G B A}}{P_{C D F G}} = \frac{b + 3 a}{a + 3 b}$ i $P_{A B C D} = P_{F G B A} + P_{C D F G}$ , to

$P_{F G B A} = \frac{\frac{h}{8} (b + 3 a)}{\frac{h}{8} (a + 3 b) + \frac{h}{8} (b + 3 a)} = \frac{b + 3 a}{a + 3 b + b + 3 a} P_{A B C D} = \frac{b + 3 a}{4 a + 4 b} P_{A B C D}$ .

Stąd $\frac{P_{F G B A}}{P_{A B C D}} = \frac{b + 3 a}{4 a + 4 b}$ i analogicznie $\frac{P_{C D F G}}{P_{A B C D}} = \frac{a + 3 b}{4 a + 4 b}$ .

Przykład 7

Trapez $A B C D$ ma podstawy długości $8$ i $10$ oraz wysokość równą $4$ . Obliczymy pola trapezów wyznaczonych przez linię środkową w tym trapezie.

Rozwiązanie

Stosunek pól tych trapezów jest równy $\frac{8 + 30}{24 + 10} = \frac{38}{34} = \frac{19}{17}$ . Niech $P$ oznacza pole trapezu $A B C D$ . Wtedy $P = \frac{4 (8 + 10)}{2} = 36$ .

Wtedy większy z trapezów ma pole równe $\frac{19}{19 + 17} P = \frac{19}{36} \cdot 36 = 19$ a mniejszy ma pole $36 - 19 = 17$ .

Zaraz sformułujemy własność linii środkowej w trapezie związaną z podobieństwem trapezów, ale wpierw zobaczmy jak powiązane są ze sobą podobne trapezy wyznaczone przez odcinek łączący ramiona trapezu i równoległy do jego podstaw.

trapezów podobnych

Własność: trapezów podobnych

Jeżeli trapez $A B C D$ podzielimy odcinkiem równoległym do podstaw na trapezy podobne, to długość tego odcinka jest równa średniej geometrycznejśredniej geometrycznej $\sqrt{a b}$ , gdzie $a$ i $b$ są długościami podstaw $A B$ i $C D$ .

Rujatz2ztunFK

Dowód

Jeżeli trapezy $F G C D$ i $A B G F$ są podobne, to $|D C| : |F G| = |F G| : |A B|$ .

Stąd ${|F G|}^{2} = a b$ i stąd $|F G| = \sqrt{a b}$ .

o związku linii środkowej w trapezie z podobieństwem trapezów wyznaczonych przez linię środkową

Twierdzenie: o związku linii środkowej w trapezie z podobieństwem trapezów wyznaczonych przez linię środkową

Niech $F G$ będzie linią środkową w trapezie $A B C D$ , w którym dłuższa podstawa $A B$ ma długość $a$ i krótsza podstawa $C D$ ma długość $b$ . Trapezy $A B G F$ i $F G C D$ są podobne wtedy i tylko wtedy, gdy trapez $A B C D$ jest równoległobokiem.

Dowód

Załóżmy, że trapez $A B C D$ jest równoległobokiemrównoległobokrównoległobokiem. Wtedy $a = b$ i $|F G| = a$ .

Wtedy $A B G F$ i $F G C D$ są przystającymi równoległobokami, więc też są podobne.

Aby pokazać twierdzenie w drugą stronę, załóżmy, że trapezy $A B G F$ i $F G C D$ są podobne. Wtedy $|F G| = \sqrt{a b}$ . Z własności linii środkowej w trapezie wynika, że $|F G| = \frac{a + b}{2}$ .

Stąd $\sqrt{a b} = \frac{a + b}{2}$ i po przekształceniu $a b = {(\frac{a + b}{2})}^{2} = \frac{1}{4} (a^{2} + 2 a b + b^{2})$ i dalej

$4 a b = a^{2} + 2 a b + b^{2}$

$a^{2} - 2 a b + b^{2} = 0$

${(a - b)}^{2} = 0$

$a = b$ .

Stąd wynika, że postawy trapezu są równe, więc trapez jest równoległobokiem.

Przykład 8

W trapezie $A B C D$ , który nie jest równoległobokiem, poprowadzono odcinek $F G$ równoległy do podstaw trapezu tak, że trapezy $A B G F$ i $F G C D$ są podobne. Pokażemy, że $F G$ nie jest linią środkową w trapezie $A B C D$ .

Rozwiązanie

Wynika to wprost z powyższego twierdzenia, bo gdyby $F G$ był linią środkową w trapezie $A B C D$ , to ten trapez byłby równoległobokiem, a to jest sprzeczne z założeniem.

Słownik

linia środkowa w trójkącie

odcinek łączący środki dwóch boków trójkąta

trapez

czworokąt, który ma co najmniej jedną parę boków równoległych

równoległobok

czworokąt, który ma dwie pary boków równoległych

ciąg arytmetyczny

ciąg liczbowy, w którym każda kolejna liczba różni się od poprzedniej o ustaloną wartość $r$

średnia arytmetyczna liczb a, b

wartość wyznaczona ze wzoru $\frac{a + b}{2}$

średnia geometryczna liczb dodatnich a, b

wartość wyznaczona ze wzoru $\sqrt{a b}$

Wprowadzenie

Symulacja interaktywna

Słownik