Mówimy, że funkcja $f$ ma w $+\infty$ granicę skończoną równą $L$, gdy dla dowolnego ciągu argumentów $x_n$ dążących do $+\infty$, wartości funkcji $f\left(x_n\right)$ dążą do $L$.

Mówimy, że funkcja $f$ ma w $+\infty$ granicę skończoną równą $L$, gdy dla dowolnie małej dodatniej liczby $\epsilon$ istnieje taka liczba dodatnia $M$, że dla wszystkich argumentów $x$ większych od $M$ wartości funkcji $f\left(x\right)$ są pomiędzy $L-\epsilon$ i $L+\epsilon$.

Sprawdzimy, używając definicji Heinego, czy funkcja $f\left(x\right)=\frac{1}{x^2}$, $x\ne 0$, ma w $+\infty$ granicę skończonągranica skończona w nieskończonościgranicę skończoną równą $0$.

Rozwiązanie

Weźmy dowolny ciąg argumentów $x_n$ dążący $+\infty$.

Wówczas wiemy, że ciąg kwadratów tych argumentów, $x_n^2$, również dąży do $+\infty$. Zatem ciąg odwrotności kwadratów, $\frac{1}{x_n^2}$, dąży do $0$, czyli granicą funkcji $f$ w $+\infty$ jest $0$,

$\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}\frac{1}{x^2}=0$.

Sprawdzimy, używając definicji Cauchy’ego, czy funkcja $f\left(x\right)=\frac{1}{x^2}$, $x\ne 0$, ma w $+\infty$ granicę skończonągranica skończona w nieskończonościgranicę skończoną równą $0$.

Rozwiązanie

Weźmy dowolnie małą liczbę dodatnią $\epsilon$. Jeżeli zdefiniujemy liczbę dodatnią $M$ jako odwrotność pierwiastka z $\epsilon$, czyli $M=\frac{1}{\sqrt{\epsilon }}$, to wówczas dla wszystkich argumentów $x$ większych od $M$ wartości funkcji $f$ są nie mniejsze od $0-\epsilon =-\frac{1}{M^2}$ i nie większe od $0+\epsilon =\frac{1}{M^2}$ , i tym samym granicą funkcji $f$ w $+\infty$ jest $0$.

Możemy sprawdzić empirycznie, jak wygląda znajdowanie wartości $M$ w zależności od wartości $\epsilon$ na przykładzie funkcji $f\left(x\right)=\frac{1}{x^2}$, $x\ne 0$.

RG7Mbsch8fDqH

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z pionową osią od minus 4 do sześciu oraz pionową od minus 5 do ośmiu. Na układzie przedstawiono dwie hiperbole symetryczne do siebie, znajdujące się w pierwszej oraz drugiej ćwiartce układu współrzędnych. Asymptotami są proste przerywane o wzorach $y=1$, $y=-1$ oraz $x=1$. Suwakiem możemy zmieniać wartość $\epsilon$ , która jest równa wartości M. Przy zmianie wartości M w taki sam sposób zmieniają się wartości asymptot. Informacja. Załóżmy, że dziedzina funkcji f zawiera przedział $\left(x_0,+\infty \right)$. Mówimy, że liczba L jest granicą funkcji f w $+\infty$, jeżeli dla każdej liczby $\epsilon >0$ istnieje liczba $M>x_0$, że dla wszystkich argumentów $x>M$ zachodzi podwójna nierówność $L-\epsilon <f\left(x\right)<L+\epsilon$

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z pionową osią od minus 4 do sześciu oraz pionową od minus 5 do ośmiu. Na układzie przedstawiono dwie hiperbole symetryczne do siebie, znajdujące się w pierwszej oraz drugiej ćwiartce układu współrzędnych. Asymptotami są proste przerywane o wzorach $y=1$, $y=-1$ oraz $x=1$. Suwakiem możemy zmieniać wartość $\epsilon$ , która jest równa wartości M. Przy zmianie wartości M w taki sam sposób zmieniają się wartości asymptot. Informacja. Załóżmy, że dziedzina funkcji f zawiera przedział $\left(x_0,+\infty \right)$. Mówimy, że liczba L jest granicą funkcji f w $+\infty$, jeżeli dla każdej liczby $\epsilon >0$ istnieje liczba $M>x_0$, że dla wszystkich argumentów $x>M$ zachodzi podwójna nierówność $L-\epsilon <f\left(x\right)<L+\epsilon$

Zasób interaktywny dostępny pod adresem https://zpe.gov.pl/a/DrhcVbhWs

Jak widać, im mniejsza wartość $\epsilon$, tym większa jest wartość $M$ – w dalszym miejscu leżą argumenty, dla których wartości funkcji są pomiędzy zadanymi liniami – ale za każdym razem można taką wartość znaleźć.

Mówimy, że funkcja $f$ ma w $+\infty$ granicę nieskończoną równą $+\infty$, gdy dla dowolnego ciągu argumentów $x_n$, dążących do $+\infty$, wartości $f\left(x_n\right)$ dążą do $+\infty$.

Mówimy, że funkcja $f$ ma w $+\infty$ granicę nieskończoną równą $+\infty$, gdy dla dowolnie dużej dodatniej liczby $M$ istnieje taka liczba dodatnia $D$, że dla wszystkich argumentów $x$ większych od $D$ wartości funkcji $f\left(x\right)$ są większe od $M$.

Sprawdzimy, używając definicji Heinego, czy funkcja $f\left(x\right)=x^2-1$ ma w $+\infty$ granicę nieskończonągranica nieskończona w nieskończonościgranicę nieskończoną równą $+\infty$.

Rozwiązanie

Weźmy dowolny ciąg argumentów $x_n$ dążący do $+\infty$. Wówczas wiemy, że ciąg kwadratów tych argumentów, $x_n^2$, również dąży do $+\infty$. Zatem ciąg kwadratów pomniejszonych o jeden, $x_n^2-1$, również dąży do $+\infty$, czyli granicą funkcji $f$ w $+\infty$ jest $+\infty$,

$\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}\left(x^2-1\right)=+\infty$.

Sprawdzimy, używając definicji Cauchy’ego, czy funkcja $f\left(x\right)=x^2-1$ ma w $+\infty$ granicę nieskończonągranica nieskończona w nieskończonościgranicę nieskończoną równą $+\infty$.

Rozwiązanie

Weźmy dowolnie dużą liczbę dodatnią $M$. Jeżeli zdefiniujemy liczbę dodatnią $D$ jako pierwiastek z liczby $M$ powiększonej o jeden, czyli $D=\sqrt{M+1}$, to wówczas dla wszystkich argumentów $x$ większych od $D$ wartości funkcji $f$ są nie mniejsze od $D^2-1=M$, i tym samym granicą funkcji $f$ w $+\infty$ jest $+\infty$.

granica funkcji w nieskończoności ($-\infty$ lub $+\infty$), która jest liczbą rzeczywistą

granica funkcji w nieskończoności ($-\infty$ lub $+\infty$), która jest nieskończona ($-\infty$ lub $+\infty$)