Zapoznaj się z prezentacją multimedialną, a następnie wykonaj Polecenie 2.
Rn7DzgNiygh6y
Zadanie 1. Korzystając z definicji Heinego sprawdzimy, czy funkcja f nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, początek ułamka, trzy, mianownik, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, jeden, koniec ułamka ma granicę w nieskończoności. Rozwiązanie. Na początku sprawdzimy granicę funkcji f w plus nieskończoność. Weźmy dowolny ciąg argumentów x indeks dolny n koniec indeksu gdzie x indeks dolny n koniec indeksu dąży do plus nieskończoność. Stąd wiemy, że x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, jeden dąży do plus nieskończoność. Zauważmy, że odwrotność tego wyrażenia, czyli początek ułamka, jeden, mianownik, x, indeks dolny, n, koniec indeksu dolnego, indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, jeden, koniec ułamka dąży do zera. Zatem granica rozważanej funkcji f w plus nieskończoność. Jest skończona i równa zero . limes, x, strzałka w prawo, plus, nieskończoność, początek ułamka, trzy, mianownik, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, jeden, koniec ułamka, równa się, zero Teraz sprawdzimy granicę funkcji w minus nieskończoność. Analogicznie jak w poprzednim przypadku weźmiemy dowolny ciąg argumentów x indeks dolny n koniec indeksu gdzie x indeks dolny n koniec indeksu dąży do minus nieskończoność. Natomiast ciąg kwadratów tych argumentów powiększony o jeden, x, indeks dolny, n, koniec indeksu dolnego, indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, jeden, dąży do plus nieskończoność. Zauważmy, że odwrotność tego wyrażenia czyli początek ułamka, jeden, mianownik, x, indeks dolny, n, koniec indeksu dolnego, indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, jeden, koniec ułamka dąży do zera. Zatem granica rozważanej funkcji f w minus nieskończoność jest skończona i równa zero. limes, x, strzałka w prawo, minus, nieskończoność, początek ułamka, trzy, mianownik, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, jeden, koniec ułamka, równa się, zero. Ostatecznie z definicji Heinego dostaliśmy, że funkcja f nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, początek ułamka, trzy, mianownik, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, jeden, koniec ułamka ma granicę skończoną w nieskończoności równą zero. Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z osią poziomą od minus 5 do czterech oraz z osią pionową od minus 1 do czterech. Zaznaczono na nim wykres granicy wcześniej wymienionej funkcji. Wykres ma granicę w punkcie zero oraz rośnie do trzech na osi Y. Korzystając z definicji Cauchy’ego sprawdzimy, czy funkcja f nawias x zamknięcie nawiasu, równa się, dwa x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, dwa ma granicę niewłaściwą w plus nieskończoność. Rozwiązanie. Na początku weźmy dowolną liczbę M, większy niż, dwa oraz niech D, równa się, pierwiastek kwadratowy z początek ułamka, M, mianownik, dwa, koniec ułamka, minus, jeden koniec pierwiastka. Wówczas dla wszystkich wartości x, większy niż, D wartości funkcji f są nie mniejsze od dwa D indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, dwa, równa się, M. Zatem granicą funkcji f nawias x zamknięcie nawiasu, równa się, dwa x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, dwa w plus nieskończoność. Jest plus nieskończoność. limes, x, strzałka w prawo, plus, nieskończoność, nawias, dwa x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, dwa, zamknięcie nawiasu, równa się, plus, nieskończoność. Ostatecznie korzystając z definicji Cauchy’ego dostaliśmy, że funkcja f nawias x zamknięcie nawiasu, równa się, dwa x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, dwa ma granicę w nieskończoności równą plus nieskończoność. Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z osią pionową od minus 10 do 70 oraz z osią poziomą od minus 8 do osiem. Zaznaczono na niej parabolę znajdującą się w pierwszej oraz drugiej ćwiartce układu, posiada ona ramiona skierowane w górę.
Zadanie 1. Korzystając z definicji Heinego sprawdzimy, czy funkcja f nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, początek ułamka, trzy, mianownik, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, jeden, koniec ułamka ma granicę w nieskończoności. Rozwiązanie. Na początku sprawdzimy granicę funkcji f w plus nieskończoność. Weźmy dowolny ciąg argumentów x indeks dolny n koniec indeksu gdzie x indeks dolny n koniec indeksu dąży do plus nieskończoność. Stąd wiemy, że x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, jeden dąży do plus nieskończoność. Zauważmy, że odwrotność tego wyrażenia, czyli początek ułamka, jeden, mianownik, x, indeks dolny, n, koniec indeksu dolnego, indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, jeden, koniec ułamka dąży do zera. Zatem granica rozważanej funkcji f w plus nieskończoność. Jest skończona i równa zero . limes, x, strzałka w prawo, plus, nieskończoność, początek ułamka, trzy, mianownik, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, jeden, koniec ułamka, równa się, zero Teraz sprawdzimy granicę funkcji w minus nieskończoność. Analogicznie jak w poprzednim przypadku weźmiemy dowolny ciąg argumentów x indeks dolny n koniec indeksu gdzie x indeks dolny n koniec indeksu dąży do minus nieskończoność. Natomiast ciąg kwadratów tych argumentów powiększony o jeden, x, indeks dolny, n, koniec indeksu dolnego, indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, jeden, dąży do plus nieskończoność. Zauważmy, że odwrotność tego wyrażenia czyli początek ułamka, jeden, mianownik, x, indeks dolny, n, koniec indeksu dolnego, indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, jeden, koniec ułamka dąży do zera. Zatem granica rozważanej funkcji f w minus nieskończoność jest skończona i równa zero. limes, x, strzałka w prawo, minus, nieskończoność, początek ułamka, trzy, mianownik, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, jeden, koniec ułamka, równa się, zero. Ostatecznie z definicji Heinego dostaliśmy, że funkcja f nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, początek ułamka, trzy, mianownik, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, jeden, koniec ułamka ma granicę skończoną w nieskończoności równą zero. Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z osią poziomą od minus 5 do czterech oraz z osią pionową od minus 1 do czterech. Zaznaczono na nim wykres granicy wcześniej wymienionej funkcji. Wykres ma granicę w punkcie zero oraz rośnie do trzech na osi Y. Korzystając z definicji Cauchy’ego sprawdzimy, czy funkcja f nawias x zamknięcie nawiasu, równa się, dwa x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, dwa ma granicę niewłaściwą w plus nieskończoność. Rozwiązanie. Na początku weźmy dowolną liczbę M, większy niż, dwa oraz niech D, równa się, pierwiastek kwadratowy z początek ułamka, M, mianownik, dwa, koniec ułamka, minus, jeden koniec pierwiastka. Wówczas dla wszystkich wartości x, większy niż, D wartości funkcji f są nie mniejsze od dwa D indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, dwa, równa się, M. Zatem granicą funkcji f nawias x zamknięcie nawiasu, równa się, dwa x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, dwa w plus nieskończoność. Jest plus nieskończoność. limes, x, strzałka w prawo, plus, nieskończoność, nawias, dwa x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, dwa, zamknięcie nawiasu, równa się, plus, nieskończoność. Ostatecznie korzystając z definicji Cauchy’ego dostaliśmy, że funkcja f nawias x zamknięcie nawiasu, równa się, dwa x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, dwa ma granicę w nieskończoności równą plus nieskończoność. Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z osią pionową od minus 10 do 70 oraz z osią poziomą od minus 8 do osiem. Zaznaczono na niej parabolę znajdującą się w pierwszej oraz drugiej ćwiartce układu, posiada ona ramiona skierowane w górę.
Używając definicji Cauchy’ego sprawdź, czy funkcja ma granicę w równą .
Weźmy dowolnie małą liczbę dodatnią . Jeżeli zdefiniujemy liczbę dodatnią , to wówczas dla wszystkich wartości większych od wartości funkcji są nie mniejsze od oraz nie większe od i tym samym granicą funkcji w jest .
