Zadanie 1. Korzystając z definicji Heinego sprawdzimy, czy funkcja $f\left(x\right)=\frac{3}{x^2+1}$ ma granicę w nieskończoności. Rozwiązanie. Na początku sprawdzimy granicę funkcji f w plus $\infty$. Weźmy dowolny ciąg argumentów x indeks dolny n koniec indeksu gdzie x indeks dolny n koniec indeksu dąży do plus $\infty$. Stąd wiemy, że $x^2+1$ dąży do plus $\infty$. Zauważmy, że odwrotność tego wyrażenia, czyli $\frac{1}{x_n^2+1}$ dąży do zera. Zatem granica rozważanej funkcji f w plus $\infty$. Jest skończona i równa zero . $\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{3}{x^2+1}=0$ Teraz sprawdzimy granicę funkcji w minus $\infty$. Analogicznie jak w poprzednim przypadku weźmiemy dowolny ciąg argumentów x indeks dolny n koniec indeksu gdzie x indeks dolny n koniec indeksu dąży do minus $\infty$. Natomiast ciąg kwadratów tych argumentów powiększony o jeden, $x_n^2+1$, dąży do plus $\infty$. Zauważmy, że odwrotność tego wyrażenia czyli $\frac{1}{x_n^2+1}$ dąży do zera. Zatem granica rozważanej funkcji f w minus $\infty$ jest skończona i równa zero. $\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{3}{x^2+1}=0$. Ostatecznie z definicji Heinego dostaliśmy, że funkcja $f\left(x\right)=\frac{3}{x^2+1}$ ma granicę skończoną w nieskończoności równą zero. Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z osią poziomą od minus 5 do czterech oraz z osią pionową od minus 1 do czterech. Zaznaczono na nim wykres granicy wcześniej wymienionej funkcji. Wykres ma granicę w punkcie zero oraz rośnie do trzech na osi Y. Korzystając z definicji Cauchy’ego sprawdzimy, czy funkcja $f\left(x\right)=2x^2+2$ ma granicę niewłaściwą w plus $\infty$. Rozwiązanie. Na początku weźmy dowolną liczbę $M>2$ oraz niech $D=\sqrt{\frac{M}{2}-1}$. Wówczas dla wszystkich wartości $x>D$ wartości funkcji f są nie mniejsze od $2D^2+2=M$. Zatem granicą funkcji $f\left(x\right)=2x^2+2$ w plus $\infty$. Jest plus $\infty$. $\underset{x\to +\infty }{\lim }\left(2x^2+2\right)=+\infty$. Ostatecznie korzystając z definicji Cauchy’ego dostaliśmy, że funkcja $f\left(x\right)=2x^2+2$ ma granicę w nieskończoności równą plus $\infty$. Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z osią pionową od minus 10 do 70 oraz z osią poziomą od minus 8 do osiem. Zaznaczono na niej parabolę znajdującą się w pierwszej oraz drugiej ćwiartce układu, posiada ona ramiona skierowane w górę.