Granice funkcji w nieskończoności są użytecznym narzędziem w matematyce, służą między innymi do badania przebiegu zmienności funkcji. W praktyce pozwalają również na odpowiedzi na interesujące pytania natury pozamatematycznej, na przykład czy Ziemi grozi przeludnienie.

Paradoks Maltuzjańskiego modelu wzrostu

Pod koniec osiemnastego wieku angielski naukowiec, Thomas Robert Malthus, rozważył problem przewidywania dalszego rozwoju ludzkości uwzględniając wiele czynników, w tym wielkość populacji. Zauważył, że wzrost populacji jest proporcjonalny do wielkości populacji, czyli jeżeli w miasteczku z tysiącem mieszkańców przez dekadę urodzi się średnio dwieście dzieci, to w mieście z dziesięcioma tysiącami mieszkańców powinno się w tym samym czasie urodzić dwa tysiące dzieci. Na tej podstawie stworzył model matematyczny, używający równania różniczkowego, po czym rozwiązał to równanie i otrzymał wykres wzrostu liczby ludzi na świecie, podobny do poniższego.

R57Bl8dUbgqUR

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z pionową osią od 0 do pięciu oraz poziomą osią od 0 do dwudziestu. zaznaczono na nim wykres funkcji mający swój początek w punkcie jeden na osi Y. jest to kawałek hiperboli znajdujący się w pierwszej ćwiartce układu.

Pod koniec $\text{XVIII}$ wieku na świecie żyło około $1$ miliarda ludzi i według tych obliczeń $10$ lat później powinno ich być prawie $2$ miliardy, a $20$ lat później już prawie $5$ miliardów! Liczby te wystraszyły uczonego, który początkowo opublikował swoje wyniki pod pseudonimem. Jak to się jednak stało, że światowa populacja przekroczyła $7$ miliardów dopiero w $2010$ roku, nie w połowie $\text{XIX}$ wieku? Do odpowiedzi na to pytanie będziemy potrzebowali użyć granic funkcji w nieskończoności.