Przeczytaj
Przedstawimy wiele przykładów funkcji, które są zdefiniowane za pomocą szeregu geometrycznego. Pamiętać należy, że badanie własności takiej funkcji zawsze należy rozpocząć od podania dziedziny. Na ogół dziedzina wynikająca ze zbieżności szeregu w istotny sposób będzie wpływać na badane własności.
Znajdziemy miejsca zerowe funkcji
Rozwiązanie
Zapiszmy założenia wynikające z występowania pierwiastka we wzorze funkcji , czyli .
Szereg geometryczny, występujący we wzorze funkcji , jest zbieżny, gdy
,
,
.
Zatem dziedziną funkcji jest zbiór .
Korzystając ze wzoru na sumę szeregu geometrycznegosumę szeregu geometrycznego, wzór funkcji ma postać
,
.
Znajdźmy miejsca zerowe.
wtedy i tylko wtedy, gdy .
Otrzymujemy zatem
.
Zauważmy, że wyliczona liczba nie może być miejscem zerowym, gdyż nie należy do dziedziny funkcji .
Odpowiedź: funkcja nie ma miejsc zerowych.
Wyznaczymy zbiór wartości funkcji
Rozwiązanie
Wyznaczamy dziedzinę funkcji
,
,
lub ,
lub ,
lub .
Zatem dziedziną funkcji jest zbiór .
Korzystając ze wzoru na sumę szeregu geometrycznegosumę szeregu geometrycznego, wzór funkcji ma postać
,
.
Aby wyznaczyć zbiór wartości funkcji , narysujemy wykres funkcji w podanej dziedzinie.
Sprawdzamy, że wartość funkcji dla argumentu jest równa .
Odpowiedź: zbiorem wartości funkcji jest zbiór .
Zbadamy, dla jakich argumentów funkcja przyjmuje wartości dodatnie.
Rozwiązanie
Szereg geometryczny ma następujące parametry
, .
Zatem szereg jest zbieżny, gdy lub .
Stąd otrzymujemy dziedzinę funkcji
.
Korzystając ze wzoru na sumę szeregu geometrycznegosumę szeregu geometrycznego, wzór funkcji ma postać
,
.
Aby sprawdzić, dla jakich argumentów funkcja przyjmuje wartości dodatnie, musimy rozwiązać nierówność
.
Zapisujemy równoważnie
.
Narysujmy wykres funkcji .
Odczytujemy rozwiązanie nierówności
.
Odpowiedź: po uwzględnieniu dziedziny otrzymujemy zbiór argumentów, dla których funkcja przyjmuje wartości dodatnie .
Dana jest funkcja . W zależności od wartości parametru podamy liczbę rozwiązań równania .
Rozwiązanie
Zauważmy, że wzór funkcji jest sumą wyrażenia i sumy szeregu geometrycznego o pierwszym wyrazie i ilorazie .
Aby ten szereg był zbieżny, zachodzi jeden z dwóch warunków
lub .
Zatem wystarczy tylko rozwiązać drugi warunek
.
Podnosimy nierówność stronami do kwadratu i otrzymujemy
.
Zatem dostajemy
.
Korzystając ze wzoru na sumę szeregu geometrycznegosumę szeregu geometrycznego, wzór funkcji ma postać
,
.
Narysujmy wykres funkcji .
Odpowiedź: ponieważ jest to funkcja liniowa, zatem równanie ma jedno rozwiązanie dla , a nie ma rozwiązań dla .
Słownik
jeżeli lub , to szereg geometryczny jest zbieżny
jeżeli , to
jeżeli , to