Dziesiętny system liczbowy, to pozycyjny system liczbowy, w którym podstawą jest liczba $10$, a do zapisu liczb stosuje się $10$ cyfr: $0$, $1$, $2$, $3$, $4$, $5$, $6$, $7$, $8$, $9$.
Każdą $n$–cyfrową liczbę naturalną możemy jednoznacznie zapisać w systemie dziesiętnym jako

gdzie:
$a_{n-1}$, $a_{n-2}$, $...$, $a_1$, $a_0$, to cyfry ze zbioru $\left\{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\right\}$. Przy czym pierwsza cyfra (z lewej strony) tej liczby, czyli cyfra  $a_{n-1}$ nie może być zerem. 

W szczególności każdą liczbę dwucyfrowądwucyfrowa liczba zapisana w systemie dziesiętnymliczbę dwucyfrową można zapisać jako

gdzie:
$x$ i $y$ są cyframi; $x$ – nazywamy wtedy cyfrą dziesiątek (jest ona różna od zera), a $y$ – cyfrą jedności.

Podobnie, każdą liczbę trzycyfrowątrzycyfrowa liczba zapisana w systemie dziesiętnymliczbę trzycyfrową można zapisać jako

gdzie:
$x$ – jest cyfrą setek (cyfra ta jest różna od zera), $y$ – cyfrą dziesiątek, a $z$ – cyfrą jedności.

Jaka liczba dwucyfrowadwucyfrowa liczba zapisana w systemie dziesiętnymliczba dwucyfrowa o sumie cyfr równej $6$ jest o $18$ większa od liczby powstałej przez zamianę kolejności jej cyfr?

Rozwiązanie:

Niech $x$ oznacza cyfrę dziesiątek, a $y$ cyfrę jedności szukanej liczby. Szukana liczba ma wartość $10x+y$. Jeśli przestawisz jej cyfry, to $y$ stanie się cyfrą dziesiątek, a $x$ cyfrą jedności tak otrzymanej liczby. Będzie ona miała w takim razie wartość $10y+x$.

Zapiszmy zależności opisane w zadaniu w formie układu równań:

$\left\{\begin{array}{l}x+y=6\\ 10x+y=10y+x+18\end{array}\right.$

$\left\{\begin{array}{l}x+y=6\\ 9x-9y=18 |:9\end{array}\right.$

$\left\{\begin{array}{l}x+y=6\\ x-y=2\end{array}\right.$

Po dodaniu do siebie równań otrzymujemy $2x=8$, a więc $x=4$, a stąd $y=2$.

Zatem szukaną liczbą jest liczba $42$, która rzeczywiście jest większa o $18$ od liczby $24$.

W pewnej liczbie dwucyfrowej cyfra dziesiątek jest dwa razy większa do cyfry jedności. Jeśli od cyfry dziesiątek odejmiemy cyfrę jedności, a od cyfry jedności odejmiemy dwa, to otrzymamy liczbę o połowę mniejszą. Jaka to liczba?

Rozwiązanie:

Niech $x$ oznacza cyfrę dziesiątek, a $y$ cyfrę jedności szukanej liczby. Szukana liczba ma wartość $10x+y$. Jeśli od cyfry dziesiątek odejmiesz cyfrę jedności, a od cyfry jedności odejmiesz $2$, to otrzymasz liczbę $10\left(x-y\right)+y-2$.

Zapiszmy zależności opisane w zadaniu w formie układu równań:

$\left\{\begin{array}{l}x=2y\\ 10\left(x-y\right)+y-2=\frac{1}{2}\left(10x+y\right)\end{array}\right.$

Zastosujmy metodę podstawiania do rozwiązania tego układu równań:

$\left\{\begin{array}{l}x=2y\\ 10\left(2y-y\right)+y-2=\frac{1}{2}\left(10·2y+y\right)\end{array}\right.$

$\left\{\begin{array}{l}x=2y\\ 11y-2=\frac{21y}{2} |·2\end{array}\right.$

$\left\{\begin{array}{l}x=2y\\ 22y-4=21y\end{array}\right.$

$\left\{\begin{array}{l}x=8\\ y=4\end{array}\right.$

Odpowiedź:

Szukaną liczbą jest $84$.

Znajdź dwie liczby, których suma jest równa $71$, a różnica $19$.

Rozwiązanie:

Oznaczmy pierwszą liczbę przez $x$, a drugą przez $y$ i zapiszmy odpowiedni układ równań:

$\left\{\begin{array}{l}x+y=71\\ x-y=19\end{array}\right.$

Po dodaniu równań stronami, otrzymujemy $2x=90$, a więc $x=45$, a stąd $45+y=71$, czyli $y=26$.

Odpowiedź:

Szukanymi liczbami są $45$ i $26$.

Jeśli licznik pewnego nieskracalnego ułamka zwykłego pomnożymy przez $2$, a od mianownika odejmiemy $4$, to otrzymamy liczbę $1$. Jeśli natomiast do licznika dodamy $12$, a od mianownika odejmiemy $5$, to otrzymamy liczbę $3$. Znajdź ten ułamek.

Rozwiązanie:

Niech $x$ oznacza licznik, a $y$ mianownik szukanego ułamka. Szukaną liczbą jest $\frac{x}{y}$. Zapisujemy układ równań, które odpowiadają zależnościom opisanym w zadaniu:

$\left\{\begin{array}{l}\frac{2x}{y-4}=1\\ \frac{x+12}{y-5}=3\end{array}\right.$

$\left\{\begin{array}{l}2x=y-4\\ x+12=3\left(y-5\right)\end{array}\right.$

$\left\{\begin{array}{l}2x=y-4\\ x+12=3y-15\end{array}\right.$

$\left\{\begin{array}{l}2x-y=-4\\ x-3y=-27 |·\left(-2\right)\end{array}\right.$

Stosujemy metodę przeciwnych współczynników:

$\left\{\begin{array}{l}2x-y=-4\\ -2x+6y=54\end{array}\right.$

Po dodaniu  równań  stronami,  otrzymujemy $5y=50$, a więc $y=10$. Stąd $2x-10=-4$, a zatem $x=3$.

Odpowiedź:

Szukanym ułamkiem jest $\frac{3}{10}$.

to system, którego podstawą jest liczba $10$; liczby zapisane w tym systemie są sumą potęg liczby $10$ pomnożonych przez jedną z cyfr: $0$, $1$, $2$, $3$, $4$, $5$, $6$, $7$, $8$, $9$

dwucyfrowa liczba zapisana w systemie dziesiętnym, której cyfrą dziesiątek jest $x$, a cyfrą jedności jest $y$, ma wartość

trzycyfrowa liczba zapisana w systemie dziesiętnym, której cyfrą setek jest $x$, cyfrą dziesiątek jest $y$, a cyfrą jedności jest $z$, ma wartość