Warto przeczytać

ArchimedesArchimedesArchimedes mówiąc „Dajcie mi punkt podparcia, a poruszę Ziemię.” opisał możliwość, jaką daje nam dźwignia dwustronna, nazywana też dwuramienną. Chodzi o podnoszenie dużych ciężarów za pomocą siły o małej wartości. Aby tego dokonać, potrzebny jest podłużny przedmiot (deska, pręt, drążek) oraz właśnie punkt podparcia, czyli punkt, na którym oprzemy naszą dźwignię, jak na Rys. 1.

RhKPgxtqcMeuo

Rys. 1. Rysunek przedstawia dźwignię dwustronną w postaci długiego, niebieskiego wąskiego prostokąta, Dźwignia podparta jest na wierzchołku niebieskiego trójkąta, a punkt podparcia zaznaczono czarnym punktem. Punkt podparcia stanowi jednocześnie oś obrotu niebieskiej belki dźwigni. Dłuższe ramię dźwigni widoczne jest po prawej stronie od punktu podparcia, a krótsze ramię po lewej stronie. Ramiona dźwigni mogą obracać się w płaszczyźnie poziomej wokół punktu podparcia, co zaznaczono obok ramion łukami zakończonymi grotami strzałek wskazującymi kierunek przeciwny do ruchu wskazówek zegara.

Na Rys. 1. strzałkami pokazano, że jeśli jedno ramię dźwigni będzie się unosić, drugie będzie się opuszczać. Jeśli na jednym ramieniu dźwigni umieścimy ciężar ${\displaystyle \overrightarrow{F_1}}$ w odległości ${\displaystyle \overrightarrow{r_1}}$ od punktu podparcia, to jaką będziemy musieli przyłożyć siłę ${\displaystyle \overrightarrow{F_2}}$ na końcu drugiego ramienia, w odległości ${\displaystyle \overrightarrow{r_2}}$? Oczywiście w ogólności ramiona dźwigni mogą mieć różną lub równą długość, a ciężar możemy umieszczać na krótszym lub dłuższym ramieniu, jednak dla ustalenia uwagi przyjmijmy, że rozważamy sytuację przedstawioną na Rys. 2. Otrzymane zależności będą prawdziwe również dla innych dźwigni dwustronnych.

Ryy38ZCRcd8Do

Rysunek 2. Narysowano dźwignię dwustronną w postaci długiego, poziomego prostokąta, podpartego na wierzchołku niebieskiego trójkąta równobocznego. Miejsce podparcia dźwigni zaznaczono czarnym punktem po lewej stronie od środka belki. Krótsze ramię dźwigni widoczne jest po lewej stronie od punktu podparcia, a dłuższe po prawej. Na krótszym ramieniu widoczne jest obciążenie w postaci kwadratowego ciała w kolorze pomarańczowym. Znajduje się ono w odległości poziomej – od punktu podparcia – opisanej małą literą r z indeksem dolnym jeden i strzałką oznaczającą wektor. Odległość opisana małą literą r z indeksem dolnym jeden i strzałką oznaczającą wektor jest ramieniem siły opisanej wielką literą F z indeksem dolnym jeden i strzałką oznaczającą wektor – jest skierowana ponowo w dół i przyłożona do punktu stanowiącego środek ciała na krótszym ramieniu dźwigni. Na dłuższym ramieniu dźwigni o długości opisanej małą literą r z indeksem dolnym dwa i strzałką oznaczającą wektor nie ma obciążenia. Do końca ramienia przyłożony jest czerwony wektor siły opisany wielką literą F z indeksem dolnym dwa i strzałką oznaczającą wektor. Siła druga skierowana jest pionowo w dół. Dźwignia jest w równowadze, a zatem iloczyn wektorowy siły pierwszej i jej ramienia jest równy co do wartości iloczynowi wektorowemu siły drugiej i jej ramienia.

Jeśli chcemy unieść ten ciężar do góry, musimy przyłożyć pionowo w dół odpowiednią siłę ${\displaystyle \overrightarrow{F_2}}$. Jaką? Po pierwsze, skierowaną w tym samym kierunku co siła ${\displaystyle \overrightarrow{F_1}}$, czyli pionowo w dół. To pierwsza obserwacja – dźwignia dwustronna pozwala nam zmienić kierunek działania siły, czyli aby coś unieść do góry będziemy przykładać siłę w dół. Jaka będzie wartość siły potrzebnej do uniesienia ciężaru? Wartość ta będzie musiała być większa niż wartość pozwalająca na osiągnięcie przez dźwignię równowagi – a równowaga będzie osiągnięta, jeśli oba działające na dźwignię momenty siłmoment siłymomenty sił będą miały tę samą wartość i ten sam kierunek, ale przeciwny zwrot, czyli:

Ponieważ wektory sił mają ten sam kierunek i zwrot, ale wektory odległości przyłożenia siły od osi obrotu mają ten sam kierunek, ale przeciwne zwroty, to powstałe momenty siłymoment siłymomenty siły będą miały ten sam kierunek, ale przeciwne zwroty. Będą mogły zatem się zrównoważyć pod warunkiem, że zajdzie następująca równość:

Otrzymaliśmy zależność będącą warunkiem równowagi dźwigni dwustronnej, dla małych kątów odchylenia ramion dźwigni od położenia poziomego. Skąd ta uwaga na temat kąta? Przyjrzyj się Rys. 3.:

RqTjt5KtS6HzJ

Rysunek 3. Narysowano dźwignię dwustronną w postaci długiego wąskiego prostokąta, podpartego na wierzchołku niebieskiego trójkąta równobocznego. Miejsce podparcia dźwigni zaznaczono czarnym punktem po lewej stronie od środka belki. Krótsze ramię dźwigni widoczne jest po lewej stronie od punktu podparcia, a dłuższe po prawej. Ramiona dźwigni są pochylone, w taki sposób, że krótsze ramię po lewej znajduje się poniżej położenia równowagi, a dłuższe prawe powyżej położenia równowagi. Na krótszym ramieniu widoczne jest obciążenie w postaci kwadratowego ciała w kolorze pomarańczowym. Znajduje się ono w odległości poziomej – od punktu podparcia – opisanej małą literą r z indeksem dolnym jeden i strzałką oznaczającą wektor. Odległość opisana małą literą r z indeksem dolnym jeden i strzałką oznaczającą wektor jest ramieniem siły opisanej wielką literą F z indeksem dolnym jeden i strzałką oznaczającą wektor – skierowana jest ponowo w dół i przyłożona do punktu stanowiącego środek ciała na krótszym ramieniu dźwigni. Kąt pomiędzy wektorem siły pierwszej, a kierunkiem prostopadłym do ramion dźwigni oznaczono małą grecką literą alfa. Na dłuższym ramieniu dźwigni o długości opisanej mała literą r z indeksem dolnym dwa i strzałką oznaczającą wektor nie ma obciążenia. Do końca ramienia przyłożony jest czerwony wektor siły opisany wielką literą F z indeksem dolnym dwa i strzałką oznaczającą wektor. Wektor siły drugiej skierowany jest w prawo prostopadle do kierunku wyznaczonego przez ramiona dźwigni.

Do tej pory przyjmowaliśmy (zgodnie z Rys. 2.), że obie siły ${\displaystyle \overrightarrow{F_1}}$ i ${\displaystyle \overrightarrow{F_2}}$ skierowane są prostopadle do ramion dźwigni. Jest to szczególny przypadek, nie zawsze prawdziwy. Jeśli ramiona dźwigni są w położeniu poziomym, jest to prawda. Jeśli odchylenie od położenia poziomego jest niewielkie, rzędu kilku stopni, możemy przyjąć z dobrym przybliżeniem, że również jest to prawda. Jednakże, jeśli kąt, jaki ramiona dźwigni tworzą z kierunkiem poziomym, będzie się zwiększać, przybliżenie to przestanie być użyteczne. Przy większych kątach należy uwzględnić fakt, że w iloczynie wektorowym pojawi się sinus kąta innego niż 90 stopni, zatem sinus tego kąta nie będzie równy jedności. W rezultacie, wzór opisujący sytuację przedstawioną na Rys. 3. przybierze postać:

Na koniec zwróćmy uwagę, że niezależnie od długości ramiom dźwigni, praca, jaką wykonamy, aby podnieść lub opuścić ciężar o zadaną wysokość, będzie zawsze taka sama. Wynika to wprost z zasady zachowania energii. Jak to zatem możliwe, że możemy podnieść ciężar przykładając do końca ramienia dźwigni siłę o małej wartości? Ponieważ wydłużamy drogę, na której ta siła będzie działać, co zademonstrowano na Rys. 4.:

Rcaww4iH6cVvb

Rys. 4. Narysowano dźwignię dwustronną w postaci długiego wąskiego prostokąta, podpartego na wierzchołku niebieskiego trójkąta równobocznego. Miejsce podparcia dźwigni zaznaczono czarnym punktem po lewej stronie od środka belki. Krótsze ramię dźwigni widoczne jest po lewej stronie od punktu podparcia, a dłuższe po prawej. Na krótszym ramieniu widoczne jest obciążenie w postaci kwadratowego ciała w kolorze pomarańczowym. Na dłuższym ramieniu dźwigni nie ma obciążenia. Dźwignia widoczna jest w dwóch pozycjach. Początkowo dźwignia znajduje się w równowadze, a jej ramiona wyznaczają kierunek poziomy. W pozycji końcowej dźwignia jest pochylona w taki sposób, że krótsze ramię po lewej znajduje się poniżej położenia równowagi, a dłuższe prawe powyżej położenia równowagi. Długość łuku jaki zakreślił koniec krótszego ramienia opisano wielką literą S z indeksem dolnym jeden oznaczono w postaci łuku skierowanego w lewo w dół, a drogę jaką podczas obrotu pokonał koniec dłuższego ramienia opisanego wielką literą S z indeksem dolnym dwa oznaczono również w postaci łuku, ale skierowanego w górę i w lewo. Długość łuku ramienia po lewej stronie jest krótsza niż długość łuku po prawej stronie. Różnicę wysokości w pionie na jakiej znajduje się ciało na lewym krótszym ramieniu dźwigni oznaczono wielką grecką literą delta i mała literą h, a różnicę wysokości w pionie końca dłuższego, prawego ramienia oznaczono wielką grecką literą delta i wielką literą H.

Słowniczek