Przeczytaj

funkcja kwadratowa

Definicja: funkcja kwadratowa

Funkcję określoną na zbiorze $ℝ$ wzorem $f (x) = a x^{2} + b x + c$ , gdzie $a$ , $b$ , $c$ ∈ $ℝ$ i $a \neq 0$ nazywamy funkcją kwadratową.

Zajmiemy się przypadkiem funkcji kwadratowejfunkcja kwadratowafunkcji kwadratowej określonej za pomocą wzoru $g (x) = a x^{2} + q$ , gdzie $a$ , $q$ ∈ $ℝ$ i $a \neq 0$ .

Wykresem funkcji kwadratowej jest parabola. W paraboliparabolaparaboli możemy wyróżnić wierzchołek oraz ramiona.

Poznamy własności funkcji kwadratowej określonej wzorem $g (x) = a x^{2} + q$ , gdzie $a$ , $q$ ∈ $ℝ$ i $a \neq 0$ , jeżeli:

$a > 0$ ,
$a < 0$ .

Własności funkcji kwadratowej określonej wzorem $g (x) = a x^{2} + q$ , gdzie $a, q \in ℝ$ , dla $a > 0$ .

Naszkicujemy wykresy funkcji kwadratowych określonych wzorami $f (x) = x^{2}$ oraz $g (x) = x^{2} + 2$ .

W tym celu, w tabeli przedstawimy wartości tych funkcji dla kilku argumentów.

$x$	$- 2$	$- 1$	$0$	$1$	$2$
$f (x)$	$4$	$1$	$0$	$1$	$4$
$g (x)$	$6$	$3$	$2$	$3$	$6$

Wykresy tych funkcji naszkicujemy w jednym układzie współrzędnych:

RgMcAUe6rRjHo

Ilustracja przedstawia poziomą oś X od minus pięciu do pięciu i pionową oś Y od minus jedynki do pięciu. Na rysunku zaznaczono również wykresy dwóch funkcji kwadratowych. Pierwszy wykres funkcji f jest parabolą z ramionami skierowanymi do góry oraz z wierzchołkiem w punkcie nawias zero średnik zero koniec nawiasu. Przechodzi przez punkty nawias minus dwa średnik cztery koniec nawiasu, nawias minus jeden średnik jeden koniec nawiasu, nawias jeden średnik jeden koniec nawiasu, nawias dwa średnik cztery koniec nawiasu. Wykres drugiej funkcji g również jest parabolą z wierzchołkiem w punkcie nawias zero średnik dwa koniec nawiasu i z ramionami skierowanymi w górę. Wykres przechodzi przez punkty nawias minus jeden średnik trzy koniec nawiasu, nawias jeden średnik trzy koniec nawiasu.

Własności funkcji $f$	Własności funkcji $g$
dziedzina: $x \in ℝ$	dziedzina: $x \in ℝ$
zbiór wartości: $y \in ⟨0, \infty)$	zbiór wartości: $y \in ⟨2, \infty)$
funkcja jest malejąca w przedziale $(- \infty, 0⟩$	funkcja jest malejąca w przedziale $(- \infty, 0⟩$
funkcja jest rosnąca w przedziale $⟨0, \infty)$	funkcja jest rosnąca w przedziale $⟨0, \infty)$
funkcja przyjmuje wartość najmniejszą równą $0$ dla $x = 0$	funkcja przyjmuje wartość najmniejszą równą $2$ dla $x = 0$

Własności wykresu funkcji $f$	Własności wykresu funkcji $g$
ramiona paraboli są skierowane do góry	ramiona paraboli są skierowane do góry
oś symetrii: $x = 0$	oś symetrii: $x = 0$
wierzchołek: $(0, 0)$	wierzchołek: $(0, 2)$

Zauważmy, że wykres funkcji kwadratowej określonej wzorem $g (x) = a x^{2} + q$
powstaje z wykresu funkcji $f (x) = a x^{2}$ w przesunięciu o q jednostek wzdłuż osi Y.

Niezależnie od wyboru wartości współczynnika $a$ , gdy $a > 0$ , dla funkcji kwadratowych określonych wzorami $f (x) = a x^{2}$ i $g (x) = a x^{2} + q$ oraz ich wykresów zachodzą własności opisane w poniższych tabelach.

Własności funkcji $f$	Własności funkcji $g$
dziedzina: $x \in ℝ$	dziedzina: $x \in ℝ$
zbiór wartości: $y \in ⟨0, \infty)$	zbiór wartości: $y \in ⟨q, \infty)$
funkcja jest malejąca w przedziale $(- \infty, 0⟩$	funkcja jest malejąca w przedziale $(- \infty, 0⟩$
funkcja jest rosnąca w przedziale $⟨0, \infty)$	funkcja jest rosnąca w przedziale $⟨0, \infty)$
funkcja przyjmuje wartość najmniejszą równą $0$ dla $x = 0$	funkcja przyjmuje wartość najmniejszą równą $q$ dla $x = 0$

Własności wykresu funkcji $f$	Własności wykresu funkcji $g$
ramiona paraboli są skierowane do góry	ramiona paraboli są skierowane do góry
oś symetrii: $x = 0$	oś symetrii: $x = 0$
wierzchołek: $(0, 0)$	wierzchołek: $(0, q)$

Własności funkcji kwadratowej określonej wzorem $g (x) = a x^{2} + q$ , gdzie $a$ , $q$ ∈ $ℝ$ , dla $a < 0$ .

Naszkicujemy wykresy funkcji kwadratowych określonych wzorami $f (x) = - x^{2}$ oraz $g (x) = - x^{2} - 1$ .

W tym celu, w tabeli przedstawimy wartości tych funkcji dla kilku argumentów.

$x$	$- 2$	$- 1$	$0$	$1$	$2$
$f (x)$	$- 4$	$- 1$	$0$	$- 1$	$- 4$
$g (x)$	$- 5$	$- 2$	$- 1$	$- 2$	$- 5$

Wykresy tych funkcji przedstawimy w jednym układzie współrzędnych:

R1QW6EaxxJZ3q

Ilustracja przedstawia poziomą oś X od minus pięciu do pięciu i pionową oś Y od minus pięciu do jedynki . Na rysunku zaznaczono również wykresy dwóch funkcji kwadratowych. Pierwszy wykres funkcji f jest parabolą z ramionami skierowanymi w dół oraz z wierzchołkiem w punkcie nawias zero średnik zero koniec nawiasu. Przechodzi przez punkty nawias minus dwa średnik minus cztery koniec nawiasu, nawias minus jeden średnik minus jeden koniec nawiasu, nawias jeden średnik minus jeden koniec nawiasu, nawias dwa średnik minus cztery koniec nawiasu. Wykres drugiej funkcji g również jest parabolą z wierzchołkiem w punkcie nawias zero średnik minus jeden koniec nawiasu i z ramionami skierowanymi w dół. Wykres przechodzi przez punkty nawias minus jeden średnik minus dwa koniec nawiasu, nawias jeden średnik minus dwa koniec nawiasu.

Własności funkcji $f$	Własności funkcji $g$
dziedzina: $x \in ℝ$	dziedzina: $x \in ℝ$
zbiór wartości: $y \in (- \infty, 0⟩$	zbiór wartości: $y \in (- \infty, - 1⟩$
funkcja jest rosnąca w przedziale $(- \infty, 0⟩$	funkcja jest rosnąca w przedziale $(- \infty, 0⟩$
funkcja jest malejąca w przedziale $⟨0, \infty)$	funkcja jest malejąca w przedziale $⟨0, \infty)$
funkcja przyjmuje wartość największą równą $0$ dla $x = 0$	funkcja przyjmuje wartość największą równą $- 1$ dla $x = 0$

Własności wykresu funkcji $f$	Własności wykresu funkcji $g$
ramiona paraboli są skierowane do dołu	ramiona paraboli są skierowane do dołu
oś symetrii: $x = 0$	oś symetrii: $x = 0$
wierzchołek: $(0, 0)$	wierzchołek: $(0, - 1)$

Niezależnie od wyboru wartości współczynnika $a$ , gdy $a < 0$ , dla funkcji kwadratowych określonych wzorami $f (x) = a x^{2}$ oraz $g (x) = a x^{2} + q$ oraz ich wykresów zachodzą własności opisane w poniższych tabelach.

Własności funkcji $f$	Własności funkcji $g$
dziedzina: $x \in ℝ$	dziedzina: $x \in ℝ$
zbiór wartości: $y \in (- \infty, 0⟩$	zbiór wartości: $y \in (- \infty, q⟩$
funkcja jest rosnąca w przedziale $(- \infty, 0⟩$	funkcja jest rosnąca w przedziale $(- \infty, 0⟩$
funkcja jest malejąca w przedziale $⟨0, \infty)$	funkcja jest malejąca w przedziale $⟨0, \infty)$
funkcja przyjmuje wartość największą równą $0$ dla $x = 0$	funkcja przyjmuje wartość największą równą $q$ dla $x = 0$

Własności wykresu funkcji $f$	Własności wykresu funkcji $g$
ramiona paraboli są skierowane do dołu	ramiona paraboli są skierowane do dołu
oś symetrii: $x = 0$	oś symetrii: $x = 0$
wierzchołek: $(0, 0)$	wierzchołek: $(0, q)$

Przykład 1

Funkcja kwadratowa $f$ jest określona za pomocą wzoru $f (x) = - \frac{1}{4} x^{2} - 2$ .

Wyznaczymy:

a) współrzędne wierzchołka paraboli, która jest wykresem funkcji $f$ ,

b) zbiór wartości funkcji $f$ .

Rozwiązanie:

a) Ze wzoru funkcji $f$ możemy odczytać, że wierzchołek paraboli, która jest wykresem tej funkcji, ma współrzędne $(0, - 2)$ .

b) Ponieważ $a = - \frac{1}{4}$ , zatem ramiona paraboli, która jest wykresem funkcji $f$ są skierowane do dołu.

Zbiorem wartości funkcji $f$ jest zatem przedział $(- \infty, - 2⟩$ .

Przykład 2

Na rysunku przedstawiono wykres funkcji kwadratowej $f$ określonej wzorem $f (x) = a x^{2} + q$ .

RDXnKqrkNte95

Ilustracja przedstawia poziomą oś X od minus pięciu do pięciu i pionową oś Y od minus ośmiu do dwóch . Na rysunku zaznaczono również wykres funkcji kwadratowej f z wierzchołkiem w punkcie nawias zero średnik minus osiem i ramionami skierowanymi w górę. Parabola przechodzi przez punkty nawias minus dwa średnik minus sześć koniec nawiasu, nawias dwa średnik minus sześć koniec nawiasu. Funkcja ma dwa miejsca zerowe w punktach nawias minus cztery średnik zero koniec nawiasu oraz nawias cztery średnik zero koniec nawiasu.

Wyznaczymy wzór funkcji $f$ .

Rozwiązanie:

Z wykresu funkcji $f$ możemy odczytać, że wierzchołek paraboli, będącej wykresem funkcji ma współrzędne $(0, - 8)$ .

Zatem wzór funkcji $f$ zapisujemy w postaci $f (x) = a x^{2} - 8$ .

Do wykresu funkcji $f$ należy na przykład punkt o współrzędnych $(2, - 6)$ , zatem w celu wyznaczenia wartości $a$ rozwiązujemy równanie:

$- 6 = a \cdot 2^{2} - 8$ .

Otrzymujemy zatem $a = \frac{1}{2}$ .

Wzór funkcji $f$ zapisujemy w postaci $f (x) = \frac{1}{2} x^{2} - 8$ .

Przykład 3

Do wykresu funkcji kwadratowej $f$ określonej wzorem $f (x) = a x^{2} + q$ należy punkt o współrzednych $(- 1, 3)$ , a zbiorem wartości funkcji $f$ jest przedział $(- \infty, 6⟩$ .

Wyznaczymy wzór funkcji $f$ .

Rozwiązanie:

Ponieważ przedział $(- \infty, 6⟩$ jest zbiorem wartości funkcji $f$ , zatem $q = 6$ .

Wzór funkcji $f$ zapisujemy w postaci $f (x) = a x^{2} + 6$ .

Jeżeli punkt o współrzędnych $(- 1, 3)$ należy do wykresu funkcji $f$ , to w celu wyznaczania wartości $a$ rozwiązujemy równanie:

$3 = a \cdot {(- 1)}^{2} + 6$ , zatem $a = - 3$ .

Funkcję $f$ określamy za pomocą wzoru $f (x) = - 3 x^{2} + 6$ .

Przykład 4

Wierzchołkiem paraboli, która jest wykresem funkcji kwadratowej $f$ określonej równaniem $f (x) = - x^{2} + q$ jest punkt o współrzędnych $(0, - 2)$ .

Wyznaczymy liczbę rozwiązań równania $f (x) = m$ , dla $m \in ℝ$ .

Rozwiązanie:

Ponieważ wierzchołek paraboli, która jest wykresem funkcji $f$ ma współrzędne $(0, - 2)$ , zatem $q = - 2$ .

Wzór funkcji $f$ zapisujemy w postaci $f (x) = - x^{2} - 2$ .

Ponieważ współczynnik $a = - 1$ , zatem ramiona paraboli, która jest wykresem funkcji $f$ , są skierowane do dołu.

Równanie $f (x) = m$ , dla $m \in ℝ$ ma:

$2$ rozwiązania dla $m \in (- \infty, - 2)$ ,
$1$ rozwiązanie dla $m = - 2$ ,
$0$ rozwiązań dla $m \in (- 2, \infty)$ .

Przykład 5

Do wykresu funkcji kwadratowej $f$ określonej wzorem $f (x) = a x^{2} + q$ należą punkty o współrzędnych $(- 1, 2)$ oraz $(2, 11)$ . Wyznaczymy wzór tej funkcji.

Rozwiązanie:

Ponieważ do wykresu funkcji kwadratowej $f$ należą punkty o współrzędnych $(- 1, 2)$ oraz $(2, 11)$ , to do wyznaczenia wartości współczynników $a$ i $q$ rozwiązujemy układ równań:

$\{\begin{cases} 2 = a \cdot {(- 1)}^{2} + q \\ 11 = a \cdot 2^{2} + q \end{cases}$

Układ równań przekształcamy do prostszej postaci:

$\{\begin{cases} 2 = a + q \\ 11 = 4 a + q \end{cases}$

Zatem $a = 3$ oraz $q = - 1$ .

Wobec tego funkcja $f$ jest określona wzorem $f (x) = 3 x^{2} - 1$ .

Przykład 6

Wykażemy, że jeśli funkcja kwadratowa $f$ jest określona wzorem $f (x) = a x^{2} + q$ , to dla $a < 0$ funkcja jest rosnąca w przedziale $(- \infty, 0⟩$ .

Rozwiązanie:

Niech $x_{1}, x_{2} \in (- \infty, 0⟩$ oraz $x_{1} < x_{2}$ .

Wówczas:

$f (x_{2}) - f (x_{1}) = a \cdot {x_{2}}^{2} + q - (a \cdot {x_{1}}^{2} + q) = a \cdot {x_{2}}^{2} - a \cdot {x_{1}}^{2} =$

$= a \cdot ({x_{2}}^{2} - {x_{1}}^{2}) > 0$

ponieważ $x_{1} < x_{2}$ oraz $a < 0$ .

Stąd, wobec dowolności $x_{1}$ i $x_{2}$ wnioskujemy, że funkcja $f$ jest rosnąca w przedziale $(- \infty, 0⟩$ .

Słownik

funkcja kwadratowa

funkcja określona na zbiorze $ℝ$ wzorem $f (x) = a x^{2} + b x + c$ , gdzie $a, b, c \in ℝ$ i $a \neq 0$

parabola

wykres funkcji kwadratowej

Wprowadzenie

Symulacja interaktywna

Słownik