Przeczytaj

Własności sześcianu i kuli są wszystkim dobrze znane. Potrafimy obliczyć objętość oraz pole powierzchni tych figur przestrzennych. W tym materiale zajmiemy się obiektem, który jest połączeniem kuli i sześcianu.

Przyjmijmy następującą definicję:

sześcian opisany na kuli

Definicja: sześcian opisany na kuli

Sześcian jest opisany na kuli, jeśli kula jest styczna do każdej z jego ścian, czyli ma z każdą ścianą sześcianu tylko jeden punkt wspólny.

Możemy zamiennie używać określenia: sześcian jest opisany na kuli lub kula jest wpisana w sześcian.

We wszystkich przykładach i zadaniach będziemy posługiwać się przekrojem płaszczyzną przechodzącą przez środek kuli i równoległą do ściany sześcianu oraz oznaczeniami jak na poniższym rysunku:

R1MfTFrGlYf6H

Ilustracja przedstawia kwadrat o boku długości a i okrąg wpisany w ten kwadrat o środku S i promieniu R.

$a$ – długość krawędzi sześcianu,

$R$ – promień kuli wpisanej w sześcian,

$S$ – środek kuli wpisanej w sześcian.

Do wykonywania obliczeń w zadaniach przydadzą Ci się poniższe wzory.

R12lsumlYMBi9

Wzór na objętość sześcianu o krawędzi $a$ $V = a^{3}$
Wzór na pole powierzchni całkowitej sześcianu o krawędzi długości $a$ $P_{c} = 6 \cdot a^{2}$
Wzór na objętość kuli o promieniu $R$ $V = \frac{4}{3} \cdot π \cdot R^{3}$
Wzór na pole powierzchni kuli o promieniu $R$ $P = 4 \cdot π \cdot R^{2}$
Wzór na przekątną ściany sześcianu o krawędzi $a$ $a \sqrt{2}$
Wzór na przekątną sześcianu o krawędzi $a$ $a \sqrt{3}$

Wzór na objętość sześcianu o krawędzi $a$ :
$V = a^{3}$ .
Wzór na pole powierzchni całkowitej sześcianu o krawędzi długości $a$ :
$P_{c} = 6 \cdot a^{2}$ .
Wzór na objętość kuli o promieniu $R$ ;
$V = \frac{4}{3} \cdot π \cdot R^{3}$ .
Wzór na pole powierzchni kuli o promieniu $R$ :
$P = 4 \cdot π \cdot R^{2}$ .
Wzór na przekątną ściany sześcianu o krawędzi $a$ :
$a \sqrt{2}$ .
Wzór na przekątną sześcianu o krawędzi $a$ :
$a \sqrt{3}$ .

Przykład 1

Rozważmy sześcian o krawędzi długości $6 cm$ . Jaką objętość będzie miała kula wpisana w ten sześcian?

Wykonajmy rysunek, który jest przekrojem sześcianu opisanego na kuli płaszczyzną przechodzącą przez środek kuli i równoległą do ściany sześcianu.

R18bes6LO0unW

Ilustracja przedstawia kwadrat o boku długości a=6 centymetrów i okrąg wpisany w ten kwadrat o środku S i promieniu R.

Krawędź sześcianu $a = 6 cm$ . Promień kuli $R$ stanowi połowę tej długości, czyli $R = \frac{1}{2} a = 3 cm$ .

A zatem:

$V = \frac{4}{3} π R^{3} = \frac{4}{3} \cdot 27 π = 36 π {cm}^{3}$ .

Przykład 2

Rozważmy kulę o objętości $180 π$ . Jaka będzie długość krawędzi sześcianu opisanego na tej kulisześcian opisany na kulisześcianu opisanego na tej kuli?

Wykonajmy rysunek, który jest przekrojem sześcianu opisanego na kuli płaszczyzną przechodzącą przez środek kuli i równoległą do ściany sześcianu.

Rn4FPNfoGLH6W

Mając daną objętość kuli możemy obliczyć jej promień. Wystarczy podstawić do wzoru $V = \frac{4}{3} π R^{3}$ .

Otrzymujemy równanie:

$\frac{4}{3} π R^{3} = 180 π$

$\frac{4}{3} R^{3} = 180$

$R^{3} = 135$

$R = 3 \sqrt[3]{5}$ .

Stąd $a = 2 R = 6 \sqrt[3]{5}$ .

Przykład 3

Jaki procent objętości sześcianu stanowi objętość kuli, którą możemy wpisać w ten sześcian?

Wykonajmy rysunek, który jest przekrojem sześcianu opisanego na kuli płaszczyzną przechodzącą przez środek kuli i równoległą do ściany sześcianu.

RQf7XIR6tGaY7

Przyjmijmy, że krawędź sześcianu ma długość $a$ .

Zatem objętość tego sześcianu $V_{s} = a^{3}$ .

Promień kuli wpisanej w ten sześcian $R = \frac{1}{2} a$ . Zatem $V_{k} = \frac{4}{3} π {(\frac{1}{2} a)}^{3} = \frac{4}{3} \cdot \frac{1}{8} \cdot π a^{3} = \frac{1}{6} π a^{3}$ .

Obliczamy stosunek objętości kuli do objętości sześcianu i wyrażamy go w procentach:

$x = \frac{\frac{1}{6} π a^{3}}{a^{3}} \cdot 100 % \approx \frac{1}{6} \cdot 3, 14 \cdot 100 % = 52 \frac{1}{3} %$ .

Przykład 4

Czy kulę o powierzchni $64 π {cm}^{2}$ można wpisać w sześcian o przekątnej $12 cm$ ?

Odpowiedź uzasadnimy rachunkowo.

Wykonajmy odpowiedni rysunek. Będzie to przekrój sześcianu płaszczyzną przechodzącą przez środek kuli i przekątną podstawy.

R1YQ7mZjIacPj

Ilustracja przedstawia prostokąt D B B prim D prim o bokach długości a i a2 oraz okrąg wpisany w ten prostokąt o środku S i promieniu R. W prostokącie zaznaczono przekątną B D prim. Z rysunku można odczytać, że średnica okręgu jest równa 2R i ma tą samą długość co bok a.

Nasze zadanie to porównanie dwóch wartości: średnicy kuli i krawędzi sześcianu.

Aby obliczyć promień kuli rozwiązujemy równanie wykorzystując dane w zadaniu:

$4 π R^{2} = 64 π$

$R^{2} = 16$

$R = 4$

czyli $2 R = 8$ .

Do obliczenia długości krawędzi sześcianu wykorzystamy twierdzenie Pitagorasa w trójkącie $B D D'$ (patrz rysunek).

$a^{2} + {(a \sqrt{2})}^{2} = 12^{2}$

$a^{2} + 2 a^{2} = 144$

$3 a^{2} = 144$

$a^{2} = 48 = 16 \cdot 3$

$a = 4 \sqrt{3}$ .

Uwaga: Długość krawędzi sześcianu możemy również obliczyć wykorzystując wzór na przekątną sześcianu. Otrzymujemy wówczas równanie:

$a \sqrt{3} = 12$

$a = \frac{12}{\sqrt{3}}$

$a = 4 \sqrt{3}$

Zatem $8 = \sqrt{64} > \sqrt{48} = 4 \sqrt{3}$ .

Średnica kuli jest większa niż krawędź sześcianu co oznacza, że kuli o powierzchni $64 π {cm}^{2}$ nie można wpisać w sześcian o przekątnej $12 cm$ .

Słownik

sześcian opisany na kuli

sześcian jest opisany na kuli, jeśli kula jest styczna do każdej z jego ścian, czyli ma z każdą ścianą sześcianu tylko jeden punkt wspólny

Wprowadzenie

Aplet

Słownik