Przeczytaj
Niech oznacza dowolny przedział. Jeżeli dla każdego funkcja różniczkowalna spełnia warunek:
, to jest stała na ;
, to jest rosnąca na ;
, to jest niemalejąca na ;
, to jest malejąca na ;
, to jest nierosnąca na .
Zauważmy, że jeżeli dla każdego , przy czym równość zachodzi tylko dla skończonej liczby punktów tego przedziału, to funkcja jest rosnąca na . Podobnie mamy dla funkcji malejącej.
Wniosek
Jeśli funkcja jest rosnąca (malejąca) w przedziale i jest ciągła w przedzialeciągła w przedziale , to jest rosnąca (malejąca) w przedziale .
Wyznaczymy przedziały otwarte monotoniczności funkcji .
Rozwiązanie
Dziedziną funkcji jest zbiór .
Obliczymy pochodną funkcji .
Mamy , .
Aby wyznaczyć przedziały monotoniczności sprawdzamy, kiedy pochodna funkcji jest dodatnia, a kiedy ujemna (badamy “znak” pochodnej). W tym celu rozwiązujemy kolejno nierówności:
, czyli .
Rozwiązaniem tej nierówności jest zbiór .
Następnie mamy , czyli .
Rozwiązaniem tej nierówności jest zbiór .
Stąd funkcja rośnie w przedziałach otwartych , , a maleje w przedziale otwartym .
Zbadamy monotoniczność funkcji
.
Rozwiązanie
Dziedziną funkcji jest zbiór .
Funkcja jest przedziałami rosnąca.
W przedziale pochodna funkcji , więc funkcja jest rosnąca w tym przedziale.
W przedziale pochodna funkcji , więc funkcja jest również rosnąca w tym przedziale.
Wyznaczymy przedziały monotoniczności funkcji .
Rozwiązanie
Dziedziną funkcji jest zbiór .
Zbadamy teraz „znak” pochodnej funkcji .
Mamy:
, .
Funkcja jest malejąca w każdym z przedziałów dziedziny, bo
dla . (Wyrażenie w mianowniku jest zawsze dodatnie dla , a wyrażenie w liczniku zawsze ujemne, zatem cały ułamek przyjmuje tylko wartości ujemne).
Wykażemy, że funkcja jest rosnąca w każdym z przedziałów należących do dziedziny.
Rozwiązanie
Dziedziną funkcji jest zbiór .
Obliczamy pochodną funkcji
, .
Zauważmy, że wyrażenie w liczniku przyjmuje wartości dodatnie w całej dziedzinie (ramiona paraboli skierowane ku górze, brak miejsc zerowych: ). Zatem pochodna funkcji jest w każdym z przedziałów należących do dziedziny dodatnia. Stąd funkcja jest rosnąca w każdym z przedziałów należących do dziedziny, czyli w każdym z przedziałów , .
Wyznaczymy maksymalne przedziały monotoniczności funkcji .
Rozwiązanie
Dziedziną funkcji jest zbiór .
Obliczymy pochodną funkcji:
, .
Zauważmy, że wyrażenie w mianowniku przyjmuje wartości dodatnie w całej dziedzinie. Zbadamy “znak” wyrażenia w liczniku. Rozwiązujemy kolejno nierówności:
, , stąd ,
, , stąd .
Zatem funkcja jest rosnąca w przedziałach , oraz malejąca w przedziałach , .
Słownik
funkcję nazywamy ciągłą w przedziale domkniętym , jeżeli jest ciągła w każdym punkcie tego przedziału, tj. dla każdego punktu istnieje granica oraz