Niech $U$ oznacza dowolny przedział. Jeżeli dla każdego $x\in U$ funkcja różniczkowalna $f$ spełnia warunek:

1. $f\text{'}\left(x\right)=0$, to $f$ jest stała na $U$;

2. $f\text{'}\left(x\right)>0$, to $f$ jest rosnąca na $U$;

3. $f\text{'}\left(x\right)⩾0$, to $f$ jest niemalejąca na $U$;

4. $f\text{'}\left(x\right)<0$, to $f$ jest malejąca na $U$;

5. $f\text{'}\left(x\right)⩽0$, to $f$ jest nierosnąca na $U$.

Wyznaczymy przedziały otwarte monotoniczności funkcji $f\left(x\right)=x^3-3x$.

Rozwiązanie

Dziedziną funkcji $f$ jest zbiór $D_f=\mathrm{ℝ}$.

Obliczymy pochodną funkcji $f$.

Mamy $f\text{'}\left(x\right)=3x^2-3$, $D_{f^{\text{'}}}=D_f$.

Aby wyznaczyć przedziały monotoniczności sprawdzamy, kiedy pochodna funkcji $f$ jest dodatnia, a kiedy ujemna (badamy “znak” pochodnej). W tym celu rozwiązujemy kolejno nierówności:

$f\text{'}\left(x\right)>0$, czyli $x^2-1>0$.

Rozwiązaniem tej nierówności jest zbiór $x\in \left(-\infty ,-1\right)\cup \left(1,\infty \right)$.

Następnie mamy $f^{\text{'}}\left(x\right)<0$, czyli $x^2-1<0$.

Rozwiązaniem tej nierówności jest zbiór $x\in \left(-1,1\right)$.

Stąd funkcja $f$ rośnie w przedziałach otwartych $\left(-\infty ,-1\right)$, $\left(1,\infty \right)$, a maleje w przedziale otwartym $\left(-1,1\right)$.

Zbadamy monotoniczność funkcji

$f\left(x\right)=\left\{\begin{array}{l}{x}^2+x \mathrm{dla} x\in ⟨\frac{-1}{2},0⟩\\ \sin x \mathrm{dla} x\in \left(0,\frac{\pi }{2}\right.⟩\end{array}\right.$.

Rozwiązanie

Dziedziną funkcji $f$ jest zbiór $D_f=⟨\frac{-1}{2},\frac{\pi }{2}⟩$.

Funkcja jest przedziałami rosnąca.

W przedziale $⟨\frac{-1}{2},0⟩$ pochodna funkcji $f\text{'}\left(x\right)=2x+1⩾0$, więc funkcja jest rosnąca w tym przedziale.

W przedziale $\left(0,\frac{\pi }{2}\right.⟩$ pochodna funkcji $\cos x⩾0$, więc funkcja jest również rosnąca w tym przedziale.

Wyznaczymy przedziały monotoniczności funkcji $f\left(x\right)=\frac{x}{x^2-1}$.

Rozwiązanie

Dziedziną funkcji $f$ jest zbiór $D_f=\left(-\infty ,-1\right)\cup \left(-1,1\right)\cup \left(1,\infty \right)$.

Zbadamy teraz „znak” pochodnej funkcji $f$.

Mamy:

$f\text{'}\left(x\right)=\frac{-\left(x^2+1\right)}{{\left(x^2-1\right)}^2}$, $D_{f^{\text{'}}}=D_f$.

Funkcja $f$ jest malejąca w każdym z przedziałów dziedziny, bo

$\frac{-\left(x^2+1\right)}{{\left(x^2-1\right)}^2}<0$

dla $\left|x\right|\ne 1$. (Wyrażenie w mianowniku jest zawsze dodatnie dla $\left|x\right|\ne 1$, a wyrażenie w liczniku zawsze ujemne, zatem cały ułamek przyjmuje tylko wartości ujemne).

Wykażemy, że funkcja $f\left(x\right)=\frac{x^2-2x-3}{x-2}$ jest rosnąca w każdym z przedziałów należących do dziedziny.

Rozwiązanie

Dziedziną funkcji $f$ jest zbiór $D_f=\mathrm{ℝ}\setminus \left\{2\right\}$.

Obliczamy pochodną funkcji

$f^{\text{'}}\left(x\right)=\frac{x^2-4x+7}{{\left(x-2\right)}^2}$, $D_{f^{\text{'}}}=D_f$.

Zauważmy, że wyrażenie w liczniku przyjmuje wartości dodatnie w całej dziedzinie (ramiona paraboli skierowane ku górze, brak miejsc zerowych: $\Delta =-12<0$). Zatem pochodna funkcji jest w każdym z przedziałów należących do dziedziny dodatnia. Stąd funkcja $f$ jest rosnąca w każdym z przedziałów należących do dziedziny, czyli w każdym z przedziałów $\left(-\infty ,2\right)$, $\left(2,\infty \right)$.

Wyznaczymy maksymalne przedziały monotoniczności funkcji $f\left(x\right)=\frac{x^2}{x-1}$.

Rozwiązanie

Dziedziną funkcji $f$ jest zbiór $D_f=\mathrm{ℝ}\setminus \left\{1\right\}$.

Obliczymy pochodną funkcji:

$f^{\text{'}}=\frac{x^2-2x}{{\left(x-1\right)}^2}$, $D_{f^{\text{'}}}=D_f$.

Zauważmy, że wyrażenie w mianowniku przyjmuje wartości dodatnie w całej dziedzinie. Zbadamy “znak” wyrażenia w liczniku. Rozwiązujemy kolejno nierówności:

$x^2-2x⩾0$, $x\left(x-2\right)⩾0$, stąd $x\in \left(-\infty ,0\right.⟩\cup \left.⟨2,\infty \right)$,

$x^2-2x⩽0$, $x\left(x-2\right)⩽0$, stąd $x\in \left.⟨0,1\right)\cup \left(1,2\right.⟩$.

Zatem funkcja $f$ jest rosnąca w przedziałach $\left(-\infty ,0\right.⟩$, $\left.⟨2,\infty \right)$ oraz malejąca w przedziałach $\left.⟨0,1\right)$, $\left(1,2\right.⟩$.

funkcję $f$ nazywamy ciągłą w przedziale domkniętym $⟨a,b⟩$, jeżeli jest ciągła w każdym punkcie tego przedziału, tj. dla każdego punktu $x_0\in ⟨ a,b⟩$ istnieje granica $\underset{x\to x_0}{\lim }f\left(x\right)$ oraz $\underset{x\to x_0}{\lim }f\left(x\right)=f\left(x_0\right)$