Przeczytaj

Już wiesz

Funkcję określoną dla wszystkich liczb rzeczywistych dodatnich wzorem

f (x) = \log_{a} x

gdzie:
$a > 0$ , $a \neq 1$

nazywamy funkcją logarytmiczną.

W materiale omówimy własności funkcji logarytmicznej, gdy $a \in (1, \infty)$ .

Ważne!

Wykresem funkcji logarytmicznej jest krzywa, która przechodzi przez punkt $(1, 0)$ .

Naszkicujmy wykres funkcji logarytmicznej $f$ określonej wzorem $f (x) = \log_{3} x$ .

W tym celu obliczymy najpierw wartości funkcji $f$ dla kilku argumentów:

Argumenty i wartości funkcji $f$
$x$	$\frac{1}{3}$	$1$	$3$	$9$
$f (x)$	$- 1$	$0$	$1$	$2$

R15QNdWYwv9fx

Na ilustracji przedstawiono układ współrzędnych z poziomą osią X od minus pięciu do pięciu oraz pionową osią Y od minus dwóch do trzech. Na płaszczyźnie narysowano wykres funkcji f. Wykres funkcji stanowi krzywa biegnąca w następujący sposób. Wypłaszczona do osi Y, biegnie po łuku do plus nieskończoności przez punkty 1;0 oraz 3;1. Czerwoną zamalowaną kropką zaznaczono miejsce zerowe funkcji x=1.

Korzystając z wykresu funkcji $f$ odczytujemy następujące własności funkcji logarytmicznejfunkcja logarytmicznafunkcji logarytmicznej:

dziedziną funkcji $f$ jest zbiór liczb rzeczywistych dodatnich $x \in ℝ_{+}$ ,
zbiorem wartości jest zbiór liczb rzeczywistych $ℝ$ ,
miejscem zerowym funkcji $f$ jest $x = 1$ ,
funkcja $f$ jest rosnąca,
funkcja $f$ jest różnowartościowa,
funkcja $f$ nie jest parzysta ani nieparzysta,
$f (x) < 0$ dla $x \in (0, 1)$ ,
$f (x) > 0$ dla $x \in (1, \infty)$ .

Ważne!

Jeżeli $a \in (1, \infty)$ , to funkcja logarytmiczna $f (x) = \log_{a} x$ jest rosnąca, tzn. dla dowolnych $x_{1}, x_{2} \in ℝ_{+}$ zachodzi warunek:

x_{1} < x_{2} \Rightarrow \log_{a} x_{1} < \log_{a} x_{2}

Przykład 1

Wyznaczymy, dla jakich wartości parametru $a$ funkcja logarytmiczna $f$ określona wzorem $f (x) = \log_{- 4 a^{2} + 5 a} x$ jest rosnąca.

Rozwiązanie

Z dziedziny logarytmu wiemy, że podstawa musi być liczbą większą od $0$ i różną od $1$ .

Zatem rozwiązujemy warunki:

$- 4 a^{2} + 5 a > 0$

$a \cdot (- 4 a + 5) > 0$

czyli $a \in (0, \frac{5}{4})$

$- 4 a^{2} + 5 a \neq 1$

$- 4 a^{2} + 5 a - 1 \neq 0$

czyli $a \neq \frac{1}{4}$ oraz $a \neq 1$

Biorąc część wspólną otrzymanych rozwiązań dziedziną funkcji jest zbiór $a \in (0, \frac{5}{4}) ∖ \{\frac{1}{4}, 1\}$ .

Funkcja $f$ jest rosnąca, gdy zachodzi warunek $- 4 a^{2} + 5 a > 1$ .

Zatem $- 4 a^{2} + 5 a - 1 > 0$

$- 4 \cdot (x - \frac{1}{4}) \cdot (x - 1) > 0$

Rozwiązaniem tej nierówności jest zbiór $a \in (\frac{1}{4}, 1)$ .

Po uzgodnieniu z dziedziną logarytmu mamy, że $a \in (\frac{1}{4}, 1)$ .

Przykład 2

Wiadomo, że do wykresu funkcji logarytmicznej $f$ określonej wzorem $f (x) = \log_{a} x$ należy punkt $(\frac{4}{25}, - 2)$ . Wyznaczmy wzór tej funkcji.

Rozwiązanie

Podstawiamy współrzędne punktu $(\frac{4}{25}, - 2)$ do wzoru funkcji. Otrzymujemy równanie:

$a^{- 2} = \frac{4}{25}$ , stąd $a = \frac{5}{2}$ lub $a = - \frac{5}{2}$ .

Ponieważ dla funkcji logarytmicznej $a > 0$ , zatem wzór funkcji $f$ jest postaci:

$f (x) = \log_{\frac{5}{2}} x$ .

Monotoniczność funkcji logarytmicznej

Własność: Monotoniczność funkcji logarytmicznej

Jeżeli $a \in (1, \infty)$ , to funkcja logarytmiczna jest rosnąca i zachodzi warunek:

\log_{a} f (x) < \log_{a} g (x) \Leftrightarrow f (x) < g (x)

Przykład 3

Korzystając z podanej własności, wyznaczymy zbiór rozwiązań nierówności:

$\log_{2} (3 x - 1) < \log_{2} (- x + 2)$ .

Rozwiązanie

Z dziedziny logarytmu wynika, że: $3 x - 1 > 0$ , czyli $x > \frac{1}{3}$

oraz

$- x + 2 > 0$ , czyli $x < 2$

Wobec tego $x \in (\frac{1}{3}, 2)$ .

Ponieważ funkcja jest rosnąca, zatem rozwiązujemy nierówność:

$3 x - 1 < - x + 2$ , czyli $x < \frac{3}{4}$

Rozwiązaniem tej nierówności jest zbiór $x \in (- \infty, \frac{3}{4})$ .

Po uzgodnieniu z dziedziną funkcji otrzymujemy zbiór $x \in (\frac{1}{3}, \frac{3}{4})$ .

Przykład 4

Wyznaczmy sumę wartości najmniejszej i największej funkcji logarytmicznej $f$ określonej wzorem $f (x) = \log_{\sqrt{2}} x$ na przedziale $⟨\frac{1}{2}, 2⟩$ .

Rozwiązanie

Ponieważ funkcja $f$ jest różnowartościowa i rosnąca, więc wystarczy obliczyć wartości na końcach podanego przedziału.

Zatem mamy:

$f (\frac{1}{2}) = \log_{\sqrt{2}} (\frac{1}{2}) = - 2$ oraz $f (2) = \log_{\sqrt{2}} 2 = 2$ .

Szukana suma wynosi $0$ .

Przykład 5

Wyznaczymy, dla jakich argumentów funkcja $f (x) = \log_{\sqrt{3}} (x^{2} - 1)$ przyjmuje wartości dodatnie.

Rozwiązanie

Z dziedziny logarytmu wiemy, że:

$x^{2} - 1 > 0$ , czyli $(x - 1) \cdot (x + 1) > 0$

zatem $x \in (- \infty, - 1) \cup (1, \infty)$ .

Z własności funkcji logarytmicznej wiemy, że $f (x) > 0$ dla $x \in (1, \infty)$ .

Z tego warunku wynika nierówność:

$x^{2} - 1 > 1$ ,

$x^{2} > 2$

$(x - \sqrt{2}) \cdot (x + \sqrt{2}) > 0$

Wobec tego $x \in (- \infty, - \sqrt{2}) \cup (\sqrt{2}, \infty)$ .

Po uzgodnieniu z dziedziną otrzymujemy, że funkcja przyjmuje wartości dodatnie dla $x \in (- \infty, - \sqrt{2}) \cup (\sqrt{2}, \infty)$ .

Przykład 6

Wyznaczymy, dla jakich argumentów funkcja $f$ określona wzorem $f (x) = \log_{4} (x^{2} - x)$ przyjmuje wartości ujemne.

Rozwiązanie

Z dziedziny logarytmu wiemy, że: $x^{2} - x > 0$

$x \cdot (x - 1) > 0$

zatem $x \in (- \infty, 0) \cup (1, \infty)$ .

Z własności funkcji logarytmicznej mamy, że $f (x) < 0$ dla $x \in (0, 1)$ .

Rozwiązujemy dwie nierówności:

$x^{2} - x > 0$ , czyli $x \in (- \infty, 0) \cup (1, \infty)$

oraz

$x^{2} - x < 1$

$(x - \frac{1 - \sqrt{5}}{2}) \cdot (x - \frac{1 + \sqrt{5}}{2}) < 0$

czyli $x \in (\frac{1 - \sqrt{5}}{2}, \frac{1 + \sqrt{5}}{2})$ .

Po uzgodnieniu części wspólnej tych rozwiązań mamy $x \in (\frac{1 - \sqrt{5}}{2}, 0) \cup (1, \frac{1 + \sqrt{5}}{2})$ .

Przykład 7

Wykażemy, że funkcja logarytmiczna $f$ określona wzorem $f (x) = \log_{a} x$ dla $a > 1$ oraz $x > 0$ jest różnowartościowa.

Rozwiązanie

Niech $x_{1}, x_{2} \in D_{f}$ oraz $x_{1} \neq x_{2}$ .

Wykażemy, że jeśli $x_{1} \neq x_{2}$ , to $f (x_{1}) \neq f (x_{2})$ .

Zatem:

$f (x_{1}) - f (x_{2}) = \log_{a} (x_{1}) - \log_{a} (x_{2}) = \log_{a} \frac{x_{1}}{x_{2}}$

Zauważmy, że $\log_{a} \frac{x_{1}}{x_{2}} \neq 0$ , bo $x_{1} \neq x_{2}$ , wiec $\frac{x_{1}}{x_{2}} \neq 1$ .

Stąd wnioskujemy, że $f (x_{1}) \neq f (x_{2})$ jest różnowartościowa.

Słownik

funkcja logarytmiczna

funkcja określona wzorem $f (x) = \log_{a} x$ , gdzie: $a > 0$ , $a \neq 1$ oraz $x > 0$

Wprowadzenie

Aplet

Słownik