Przeczytaj

Najłatwiej zdefiniować potęgę o wykładniku naturalnym. Jest to po prostu skrócony zapis mnożenia kilku takich samych czynników. Wówczas wykładnik oznacza liczbę powtarzających się czynników.

Potęga o wykładniku naturalnym

R1UzIW6Kklgaj

Na obrazku znajdują się następujące oznaczenia: A do potęgi zero równe jest jeden dla A należącego do liczb rzeczywistych z wyłączeniem liczby zero. A do potęgi pierwszej jest równe A dla wszystkich liczb rzeczywistych. A do potęgi N jest równe czynnikowi a pomnożonemu przez samego siebie N razy, dla każdego a z liczb rzeczywistych i każdego N z liczb naturalnych, prócz zero i jeden.

Potęgę o wykładniku naturalnym można też zdefiniować rekurencyjnie:

a^{n} = 1

dla

n = 0,

a \in R ∖ {0}

a^{n} = a, dla n = 1, a \in R

a^{n} = a^{n - 1} \cdot a, dla n \in N ∖ {0}

Ważne!

Pamiętaj, że wyrażeniu $0 °$ nie przypisujemy żadnej wartości liczbowej. Uznajemy je za symbol nieoznaczony.

Przykład 1

{(\frac{3}{5})}^{0} = 1

π^{1} = π

{(\sqrt{2})}^{3} = \sqrt{2} \cdot \sqrt{2} \cdot \sqrt{2} = 2 \sqrt{2}

Znacznie mniej intuicyjne jest potęgowaniepotęgowaniepotęgowanie w pozostałych przypadkach.

Analizując serie równości:

$2^{3} = 8$	$a^{3} = a a a$
$2^{2} = 4$ (wynik z wiersza powyżej podzielony przez $2$ )	$a^{2} = a a$ (wynik z wiersza powyżej podzielony przez $a$ )
$2^{1} = 2$ (wynik z wiersza powyżej podzielony przez $2$ )	$a^{1} = a$ (wynik z wiersza powyżej podzielony przez $a$ )
$2^{0} = 1$ (wynik z wiersza powyżej podzielony przez $2$ )	$a^{0} = 1$ (wynik z wiersza powyżej podzielony przez $a$ )

można zauważyć, że każde zmniejszenie o $1$ wykładnika potęgi po lewej stronie równości odpowiada podzieleniu prawej strony równości przez podstawę potęgi. Zatem kontynuując rozumowanie otrzymujemy:

$2^{- 1} = \frac{1}{2}$	$a^{- 1} = \frac{1}{a}$
$2^{- 2} = \frac{1}{4}$ (wynik z wiersza powyżej podzielony przez $2$ )	$a^{- 2} = \frac{1}{a a} = \frac{1}{a^{2}}$ (wynik z wiersza powyżej podzielony przez $a$ )
$2^{- 3} = \frac{1}{8}$ (wynik z wiersza powyżej podzielony przez $2$ )	$a^{- 3} = \frac{1}{a a a} = \frac{1}{a^{3}}$ (wynik z wiersza powyżej podzielony przez $a$ )
$2^{- 4} = \frac{1}{16}$ (wynik z wiersza powyżej podzielony przez $2$ )	$a^{- 4} = \frac{1}{a a a a} = \frac{1}{a^{4}}$ (wynik z wiersza powyżej podzielony przez $a$ )

Zatem potęgę o wykładniku całkowitym ujemnym możemy zdefiniować jak poniżej.

Potęga o wykładniku całkowitym ujemnym

a^{- n} = {(\frac{1}{a})}^{n}, a \in R ∖ {0}, n \in ℕ ∖ {0}

Przykład 2

3^{- 2} = {(\frac{1}{3})}^{2} = \frac{1}{9}

{(\frac{1}{4})}^{- 3} = 4^{3} = 64

{(\frac{2}{3})}^{- 4} = {(\frac{3}{2})}^{4} = \frac{81}{16}

{(\frac{2}{\sqrt{2}})}^{- 3} = {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{3} = (\frac{\sqrt{2}}{2}) \cdot (\frac{\sqrt{2}}{2}) \cdot (\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{2 \sqrt{2}}{8} = \frac{\sqrt{2}}{4}

PierwiastkowaniepierwiastkowaniePierwiastkowanie rozumiemy jako działanie odwrotne do potęgowania.

Pytanie: Ile jest równy $\sqrt{36}$ ? jest tożsametożsamośćtożsame z pytaniem: Jaką liczbę podnieść do kwadratu, aby otrzymać $36$ ?.

W obu przypadkach odpowiedź to $6$ , zatem $\sqrt{36} = 6$ .

Jeśli chcemy obliczyć $\sqrt[3]{- 125}$ , to wystarczy odpowiedzieć na pytanie: Jaką liczbę podnieść do potęgi $3$ , aby otrzymać $125$ ?.

Wobec tego $\sqrt[3]{- 125} = (- 5)$ .

Pierwiastek parzystego stopnia

$\sqrt[n]{a} = b$ wtedy i tylko wtedy gdy $b^{n} = a, a, b \in ⟨ 0, + \infty)$

Przykład 3

\sqrt{9} = 3, b o 9 = 3^{2}

\sqrt[4]{\frac{1}{625}} = \frac{1}{5}, b o \frac{1}{625} = {(\frac{1}{5})}^{4}

\sqrt[6]{\frac{729}{64}} = \frac{3}{2}, b o \frac{729}{64} = {(\frac{3}{2})}^{6}

Przy tej okazji zauważmy, że pierwiastki nieparzystego stopnia możemy obliczać z liczb ujemnych - wynik takiego pierwiastkowania jest również ujemny.

Z kolei pierwiastki parzystego stopnia możemy obliczać tylko z liczb nieujemnych otrzymując w wyniku liczby nieujemne.

Pierwiastek nieparzystego stopnia

\sqrt[n]{a} = b \Leftrightarrow b^{n} = a; a, b \in R, n \in N ∖ {1}

n

jest liczbą nieparzystą

Przykład 4

\sqrt[3]{- 64} = - 4, b o {(- 4)}^{3} = - 64

\sqrt[3]{\frac{125}{27}} = \frac{5}{3}, b o {(\frac{5}{3})}^{3} = \frac{125}{27}

\sqrt[5]{- \frac{32}{234}} = - \frac{2}{3}, b o {(- \frac{2}{3})}^{5} = - \frac{32}{234}

Okazuje się, że pierwiastkowanie można potraktować jako szczególny przypadek potęgowania. Rozważmy pewien szczególny przypadek.

$(\sqrt{2})^{2} = \sqrt{2} \cdot \sqrt{2} = \sqrt{2 \cdot 2} = \sqrt{4} = 2$
(korzystamy z własności pierwiastkowania)

$(2^{\frac{1}{2}})^{2} = 2^{\frac{1}{2}} \cdot 2^{\frac{1}{2}} = 2^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} = 2^{1} = 2$
(korzystamy z własności potęgowania)

Wiadomo ponadto, że istnieje tylko jedna liczba rzeczywista dodatnia, która podniesiona do kwadratu daje 2. Zatem $\sqrt{2} = 2^{\frac{1}{2}}$ .

Ogólnie przyjmujemy następujące definicje:

Potęga o wykładniku wymiernym

a^{\frac{1}{n}} = \sqrt[n]{a}, a \in R, n \in ℕ ∖ {0, 1}, n

jest liczbą nieparzystą

a^{\frac{1}{n}} = \sqrt[n]{a}, a \in R_{+} \cup {0}, n \in ℕ ∖ {0, 1}

a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^{m}}, a \in R, n \in ℕ ∖ {0, 1}, m \in ℤ, NWD (| m |, n) = 1, n

jest liczbą nieparzystą

a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^{m}}, a \in R_{+} \cup {0}, n \in ℕ ∖ {0, 1}, m \in ℤ, NWD (| m |, n) = 1

Przykład 5

49^{\frac{1}{2}} = \sqrt{49} = 7

{(- 125)}^{\frac{1}{3}} = \sqrt[3]{- 125} = - 5

{(- \frac{343}{216})}^{\frac{2}{3}} = \sqrt[3]{{(- \frac{343}{216})}^{2}} = \frac{49}{36}

0, 0625^{- \frac{3}{2}} = \sqrt{0, 0625^{- 3}} = 64

Wprost z definicji potęgowania wynikają następujące własności:

Własności potęgowania

Dla dowolnych liczb a, b \in R_{+}, m, n \in R :

(1) a^{m} \cdot a^{n} = a^{m + n}

(2) a^{m} : a^{n} = a^{m - n}

(3) {(a^{n})}^{m} = a^{n \cdot m}

(4) a^{n} \cdot b^{n} = {(a \cdot b)}^{n}

(5) a^{n} : b^{n} = {(a : b)}^{n}

Ich dowody znajdują się w rozdziale dotyczącym potęg.

Przykład 6

(1) 5^{- 20} \cdot 5^{16} = 5^{- 20 + 16} = 5^{- 4} = \frac{1}{625}

(2) 6^{18} : 6^{15} = 6^{18 - 15} = 6^{3} = 216

(3) {(4^{\frac{7}{2}})}^{\frac{3}{7}} = 4^{\frac{7}{2} \cdot \frac{3}{7}} = 4^{\frac{3}{2}} = 8

(4) {(\frac{3}{19})}^{3} \cdot {(\frac{19}{6})}^{3} = {(\frac{3}{19} \cdot \frac{19}{6})}^{3} = {(\frac{3}{6})}^{3} = {(\frac{1}{2})}^{3} = \frac{1}{8}

(5) {(\frac{17}{4})}^{4} : {(\frac{17}{3})}^{4} = {(\frac{17}{4} : \frac{17}{3})}^{4} = {(\frac{17}{4} \cdot \frac{3}{17})}^{4} = {(\frac{3}{4})}^{4} = \frac{81}{256}

Wykorzystując fakt, że każdy pierwiastek można zapisać jako potęgę o wykładniku wymiernym, łatwo udowodnić następujące własności pierwiastkowania.

Własności pierwiastkowania

Dla dowolnych liczb a, b \in R_{+}, m, n \in ℕ ∖ {0, 1}

(1) \sqrt[m]{a} \cdot \sqrt[m]{b} = \sqrt[m]{a \cdot b}

(2) \sqrt[m]{a} : \sqrt[m]{b} = \sqrt[m]{\frac{a}{b}}

(3) \sqrt[m]{\sqrt[n]{a}} = \sqrt[m \cdot n]{a}

(4) {(\sqrt[n]{a})}^{m} = \sqrt[n]{a^{m}}

Ich kompletne dowody znajdują się w rozdziale dotyczącym własności pierwiastkowania.

Przykład 7

(1) \sqrt[3]{\frac{27}{19}} \cdot \sqrt[3]{\frac{19}{8}} = \sqrt[3]{\frac{27}{19} \cdot \frac{19}{8}} = \sqrt[3]{\frac{27}{8}} = \frac{3}{2}

(2) \sqrt[4]{\frac{16}{29}} : \sqrt[4]{\frac{81}{29}} = \sqrt[4]{\frac{16}{29} : \frac{81}{29}} = \sqrt[4]{\frac{16}{29} \cdot \frac{29}{81}} = \sqrt[4]{\frac{16}{81}} = \frac{2}{3}

(3) \sqrt{\sqrt[3]{64}} = \sqrt[6]{64} = 2

(4) \sqrt[3]{27^{6}} = {(\sqrt[3]{27})}^{6} = 3^{6} = 729

Słownik

tożsamość

równość prawdziwa dla dowolnego argumentu z dziedziny

potęgowanie

w najprostszym aspekcie to uogólnienie mnożenia takich samych czynników

pierwiastkowanie

działanie odwrotne do potęgowania

Wprowadzenie

Gra edukacyjna

Potęga o wykładniku naturalnym

Potęga o wykładniku całkowitym ujemnym

Pierwiastek parzystego stopnia

Pierwiastek nieparzystego stopnia

Potęga o wykładniku wymiernym

Słownik