Najłatwiej zdefiniować potęgę o wykładniku naturalnym. Jest to po prostu skrócony zapis mnożenia kilku takich samych czynników. Wówczas wykładnik oznacza liczbę powtarzających się czynników.

Potęga o wykładniku naturalnym

R1UzIW6Kklgaj

Potęgę o wykładniku naturalnym można też zdefiniować rekurencyjnie:

an=1dla n=0,aR{0}
an=a,dlan=1,aR
an=an1a,dlanN{0}
Ważne!

Pamiętaj, że wyrażeniu 0° nie przypisujemy żadnej wartości liczbowej. Uznajemy je za symbol nieoznaczony.

Przykład 1
(35)0=1
π1=π
(2)3=222=22

Znacznie mniej intuicyjne jest potęgowaniepotęgowaniepotęgowanie w pozostałych przypadkach.

Analizując serie równości:

23=8

a3=aaa

22=4 (wynik z wiersza powyżej podzielony przez 2)

a2=aa (wynik z wiersza powyżej podzielony przez a)

21=2 (wynik z wiersza powyżej podzielony przez 2)

a1=a (wynik z wiersza powyżej podzielony przez a)

20=1 (wynik z wiersza powyżej podzielony przez 2)

a0=1 (wynik z wiersza powyżej podzielony przez a)

można zauważyć, że każde zmniejszenie o 1 wykładnika potęgi po lewej stronie równości odpowiada podzieleniu prawej strony równości przez podstawę potęgi. Zatem kontynuując rozumowanie otrzymujemy:

2-1=12

a-1=1a

2-2=14 (wynik z wiersza powyżej podzielony przez 2)

a-2=1aa=1a2 (wynik z wiersza powyżej podzielony przez a)

2-3=18 (wynik z wiersza powyżej podzielony przez 2)

a-3=1aaa=1a3 (wynik z wiersza powyżej podzielony przez a)

2-4=116 (wynik z wiersza powyżej podzielony przez 2)

a-4=1aaaa=1a4 (wynik z wiersza powyżej podzielony przez a)

Zatem potęgę o wykładniku całkowitym ujemnym możemy zdefiniować jak poniżej.

Potęga o wykładniku całkowitym ujemnym

an=(1a)n,aR{0},n{0}
Przykład 2
32=(13)2=19
(14)3=43=64
(23)4=(32)4=8116
(22)3=(22)3=(22)(22)(22)=228=24

PierwiastkowaniepierwiastkowaniePierwiastkowanie rozumiemy jako działanie odwrotne do potęgowania.

Pytanie: Ile jest równy 36? jest tożsametożsamośćtożsame z pytaniem: Jaką liczbę podnieść do kwadratu, aby otrzymać 36?.

W obu przypadkach odpowiedź to 6, zatem 36=6.

Jeśli chcemy obliczyć -1253, to wystarczy odpowiedzieć na pytanie: Jaką liczbę podnieść do potęgi 3, aby otrzymać 125?.

Wobec tego -1253=-5.

Pierwiastek parzystego stopnia

an=b wtedy i tylko wtedy gdy bn=a,a,b0,+)

Przykład 3
9=3,bo9=32
16254=15,bo1625=(15)4
729646=32,bo72964=(32)6

Przy tej okazji zauważmy, że pierwiastki nieparzystego stopnia możemy obliczać z liczb ujemnych - wynik takiego pierwiastkowania jest również ujemny.

Z kolei pierwiastki parzystego stopnia możemy obliczać tylko z liczb nieujemnych otrzymując w wyniku liczby nieujemne.

Pierwiastek nieparzystego stopnia

an=bbn=a;a,bR,nN{1}, n jest liczbą nieparzystą
Przykład 4
643=4,bo(4)3=64
125273=53,bo(53)3=12527
322345=23,bo(23)5=32234

Okazuje się, że pierwiastkowanie można potraktować jako szczególny przypadek potęgowania. Rozważmy pewien szczególny przypadek.

(2)2=2 ·2=2·2=4=2 
(korzystamy z własności pierwiastkowania)

(212)2 = 212 ·  212 = 212+12 = 21=2
(korzystamy z własności potęgowania)

Wiadomo ponadto, że istnieje tylko jedna liczba rzeczywista dodatnia, która podniesiona do kwadratu daje 2. Zatem 2 = 212.

Ogólnie przyjmujemy następujące definicje:

Potęga o wykładniku wymiernym

a1n=an,aR,n{0,1}, n  jest liczbą nieparzystą
a1n=an,aR+{0},n{0,1}
amn=amn,aR,n{0,1},m,NWD(|m|,n)=1, n jest liczbą nieparzystą
amn=amn,aR+{0},n{0,1},m,NWD(|m|,n)=1
Przykład 5
4912=49=7
(125)13=1253=5
(343216)23=(343216)23=4936
0,062532=0,06253=64

Wprost z definicji potęgowania wynikają następujące własności:

Własności potęgowania

Dladowolnych liczba,bR+,m,nR:
(1)aman=am+n
(2)am:an=amn
(3)(an)m=anm
(4)anbn=(ab)n
(5)an:bn=(a:b)n

Ich dowody znajdują się w rozdziale dotyczącym potęg.

Przykład 6
(1)520516=520+16=54=1625
(2)618:615=61815=63=216
(3)(472)37=47237=432=8
(4)(319)3(196)3=(319196)3=(36)3=(12)3=18
(5)(174)4:(173)4=(174:173)4=(174317)4=(34)4=81256

Wykorzystując fakt, że każdy pierwiastek można zapisać jako potęgę o wykładniku wymiernym, łatwo udowodnić następujące własności pierwiastkowania.

Własności pierwiastkowania

Dladowolnychliczba,bR+,m,n{0,1}
(1)ambm=abm
(2)am:bm=abm
(3)anm=amn
(4)(an)m=amn

Ich kompletne dowody znajdują się w rozdziale dotyczącym własności pierwiastkowania.

Przykład 7
(1)271931983=27191983=2783=32
(2)16294:81294=1629:81294=162929814=16814=23
(3)643=646=2
(4)2763=(273)6=36=729

Słownik

tożsamość
tożsamość

równość prawdziwa dla dowolnego argumentu z dziedziny

potęgowanie
potęgowanie

w najprostszym aspekcie to uogólnienie mnożenia takich samych czynników

pierwiastkowanie
pierwiastkowanie

działanie odwrotne do potęgowania