Zaczniemy od zdefiniowania dzielenia z resztą liczby rzeczywistej przez liczbę rzeczywistą.

Podzielić z resztą liczbę rzeczywistą x przez liczbę rzeczywistą dodatnią y oznacza przedstawić liczbę x w postaci

x=ky+r

gdzie:
k – jest liczbą całkowitą,
r – jest liczbą nieujemną mniejszą niż y.

Liczbę r w powyższej definicji nazywamy resztą z dzielenia liczby x przez liczbę y.

Liczba k jest największą liczbą całkowitą nieprzekraczającą liczby xy.

Przykład 1

Wykonamy dzielenie z resztądzielenie z resztą liczb rzeczywistychdzielenie z resztą liczby x przez liczbę y, wyznaczając iloraz całkowity k i resztę r:

a) x=7, y=13

Liczba k jest największą liczbą całkowitą nieprzekraczającą ilorazu 713=21.

Zatem k=21. Czyli 7=2113+0.

Stąd reszta z dzielenia liczby 7 przez liczbę 13 jest równa 0.

b) x=13, y=53

Liczba k jest największą liczbą całkowitą nieprzekraczającą ilorazu 1353=395=745.

Zatem k=7. Czyli 13=753+43.

Stąd reszta z dzielenia liczby 13 przez liczbę 53 jest równa 43.

c) x=527, y=137

Liczba k jest największą liczbą całkowitą nieprzekraczającą ilorazu 527137=377107=377710=3710=3710.

Zatem k=3. Czyli 527=3137+1.

Stąd reszta z dzielenia liczby 527 przez liczbę 137 jest równa 1.

d) x=-119, y=23

Liczba k jest największą liczbą całkowitą nieprzekraczającą ilorazu -11923=-11932=-116=-156.

Zatem k=-2. Czyli -119=-223+r.

Stąd reszta r z dzielenia liczby 527 przez liczbę 137 jest równa r=-119+223=-119+43=-119+129=19.

e) x=-1723, y=22

Liczba k jest największą liczbą całkowitą nieprzekraczającą ilorazu -172322=-1723122=-176=-256.

Zatem k=-3. Czyli -1723=-322+r.

Stąd reszta r z dzielenia liczby -1723 przez liczbę 22 jest równa r=-1723+62=-1723+1823=23.

Ponieważ funkcje trygonometryczne są nierozerwalnie połączone z miarami kątów, najważniejsze będzie dla nas wyznaczanie reszty z dzielenia przez pewne szczególne liczby takie jak 2π oraz π2.

Przykład 2

Podzielimy z resztą liczbę x przez liczbę y, wyznaczając iloraz całkowity k oraz resztę r.

a) x=20π3, y=2π

Liczba k jest największą liczbą całkowitą nieprzekraczającą ilorazu 20π32π=20π312π=103=313.

Zatem k=3. Czyli 20π3=623π=32π+2π3.

Stąd reszta z dzielenia liczby 20π3 przez liczbę 2π jest równa 2π3.

b) x=-20π3, y=2π

Liczba k jest największą liczbą całkowitą nieprzekraczającą ilorazu -20π32π=-20π312π=-103=-313.

Zatem k=-4. Czyli -20π3=-623π=-42π+r.

Stąd reszta r z dzielenia liczby -20π3 przez liczbę 2π jest równa r=42π-623π=4π3.

c) x=20π3, y=π2

Liczba k jest największą liczbą całkowitą nieprzekraczającą ilorazu 20π3π2=20π32π=403=1313.

Zatem k=13. Czyli 20π3=13π2+r.

Stąd reszta r z dzielenia liczby 20π3 przez liczbę π2 jest równa r=20π3-13π2=40π6-39π6=π6.

d) x=-20π3, y=π2

Liczba k jest największą liczbą całkowitą nieprzekraczającą ilorazu -20π3π2=-20π32π=-403=-1313.

Zatem k=-14. Czyli -20π3=-14π2+r.

Stąd reszta r z dzielenia liczby -20π3 przez liczbę π2 jest równa r=-20π3+14π2=-623π+7π=π3.

Przypomnijmy, że największą liczbę całkowitą nieprzekraczającą danej liczby a nazywamy częścią całkowitą (lub cechą) liczby a i oznaczamy a. Różnicę liczby a i jej części całkowitej nazywamy częścią ułamkowączęść ułamkowa liczby xczęścią ułamkową (lub mantysą) i oznaczamy a. Zatem a=a-a.

W omawianym przez nas wzorze x=ky+r, gdzie k, r0, y, k jest częścią całkowitą ilorazu xy, zatem k=xy, czyli wzór przyjmuje postać:

x=xyy+rr=x-xyyr=yxy-xyr=yxy

Wynika stąd, że r jest iloczynem części ułamkowej ilorazu xy oraz liczby y.

Przykład 3

Wyznaczymy iloraz całkowity i resztę z dzielenia liczby 2020 przez π.

Iloraz całkowityiloraz całkowity liczb rzeczywistych x i yIloraz całkowity to część całkowita liczbyczęść całkowita liczby xczęść całkowita liczby 2020π, zatem k=2020π=642. Reszta r z dzielenia 2020 przez π jest równa π2020π=π2020π-2020π=π2020π-642=2020-642π3,0975, co istotnie jest liczbą mniejszą od π.

Ważne!

Można zauważyć, że:

  1. Dla dowolnej liczby rzeczywistej x i dowolnej liczby dodatniej y istnieje dokładnie jedna liczba całkowita k oraz dokładnie jedna liczba r0, y takie, że x=ky+r.

  2. Każdej liczbie rzeczywistej x można przyporządkować jej resztę z dzielenia przez 2π. Reszta ta jest miarą łukową pewnego kąta z przedziału 0, 2π.

Wobec powyższego:

  • sinusem liczby rzeczywistej x nazywamy sinus kąta o mierze łukowej x0, gdzie x0 jest resztą z dzielenia liczby x przez 2π,

  • cosinusem liczby rzeczywistej x nazywamy cosinus kąta o mierze łukowej x0, gdzie x0 jest resztą z dzielenia liczby x przez 2π,

  • tangensem liczby rzeczywistej x nazywamy tangens kąta o mierze łukowej x0, gdzie x0 jest resztą z dzielenia liczby x przez 2π (o ile tangens istnieje, czyli xπ2+kπ, k).

Przykład 4

a) sin-7π4=sin-1·2π+π4=sinπ4=22,

b) tg-23π6=tg-2·2π+π6=tgπ6=33,

c) cos19π3=cos3·2π+π3=cosπ3=12.

Przykład 5

Wykażemy, że sin51π5=cos-117π10.

Podzielimy z resztą liczby 51π5 oraz -117π10 przez 2π:

51π5=50π+π5=50π5+π5=10π+π5=5·2π+π5

-117π10=-120π+3π10=-120π10+3π10=-12π+3π10=-62π+3π10

Zatem:

sin51π5=sin5·2π+π5=sinπ5

cos-117π10=cos-6·2π+3π10=cos3π10

Zauważmy teraz, że π5+3π10=2π10+3π10=5π10=π2.

Stąd, na mocy tożsamości sinπ2-x=cosx, otrzymujemy sinπ5=cosπ2-π5=cos3π10, co kończy dowód.

Słownik

dzielenie z resztą liczb rzeczywistych
dzielenie z resztą liczb rzeczywistych

podzielić z resztą liczbę rzeczywistą x przez liczbę dodatnią y oznacza przedstawić liczbę x w postaci

x=k·y+r

gdzie:
k – jest liczbą całkowitą,
r – należy do przedziału 0, 2π

iloraz całkowity liczb rzeczywistych x i y
iloraz całkowity liczb rzeczywistych x i y

największa liczba całkowita niewiększa niż iloraz xy; inaczej: część całkowita ilorazu xy

część całkowita liczby x
część całkowita liczby x

największa liczba całkowita niewiększa niż x, oznaczamy ją przez x

część ułamkowa liczby x
część ułamkowa liczby x

różnica liczby x oraz jej części całkowitej, oznaczamy ją przez x; zachodzi równość: x=x-x