Przeczytaj

Zaczniemy od zdefiniowania dzielenia z resztą liczby rzeczywistej przez liczbę rzeczywistą.

Podzielić z resztą liczbę rzeczywistą $x$ przez liczbę rzeczywistą dodatnią $y$ oznacza przedstawić liczbę $x$ w postaci

x = k \cdot y + r

gdzie:
$k$ – jest liczbą całkowitą,
$r$ – jest liczbą nieujemną mniejszą niż $y$ .

Liczbę $r$ w powyższej definicji nazywamy resztą z dzielenia liczby $x$ przez liczbę $y$ .

Liczba $k$ jest największą liczbą całkowitą nieprzekraczającą liczby $\frac{x}{y}$ .

Przykład 1

Wykonamy dzielenie z resztądzielenie z resztą liczby $x$ przez liczbę $y$ , wyznaczając iloraz całkowity $k$ i resztę $r$ :

a) $x = 7$ , $y = \frac{1}{3}$

Liczba $k$ jest największą liczbą całkowitą nieprzekraczającą ilorazu $\frac{7}{\frac{1}{3}} = 21$ .

Zatem $k = 21$ . Czyli $7 = 21 \cdot \frac{1}{3} + 0$ .

Stąd reszta z dzielenia liczby $7$ przez liczbę $\frac{1}{3}$ jest równa $0$ .

b) $x = 13$ , $y = \frac{5}{3}$

Liczba $k$ jest największą liczbą całkowitą nieprzekraczającą ilorazu $\frac{13}{\frac{5}{3}} = \frac{39}{5} = 7 \frac{4}{5}$ .

Zatem $k = 7$ . Czyli $13 = 7 \cdot \frac{5}{3} + \frac{4}{3}$ .

Stąd reszta z dzielenia liczby $13$ przez liczbę $\frac{5}{3}$ jest równa $\frac{4}{3}$ .

c) $x = 5 \frac{2}{7}$ , $y = 1 \frac{3}{7}$

Liczba $k$ jest największą liczbą całkowitą nieprzekraczającą ilorazu $\frac{5 \frac{2}{7}}{1 \frac{3}{7}} = \frac{\frac{37}{7}}{\frac{10}{7}} = \frac{37}{7} \cdot \frac{7}{10} = \frac{37}{10} = 3 \frac{7}{10}$ .

Zatem $k = 3$ . Czyli $5 \frac{2}{7} = 3 \cdot 1 \frac{3}{7} + 1$ .

Stąd reszta z dzielenia liczby $5 \frac{2}{7}$ przez liczbę $1 \frac{3}{7}$ jest równa $1$ .

d) $x = - \frac{11}{9}$ , $y = \frac{2}{3}$

Liczba $k$ jest największą liczbą całkowitą nieprzekraczającą ilorazu $\frac{- \frac{11}{9}}{\frac{2}{3}} = - \frac{11}{9} \cdot \frac{3}{2} = - \frac{11}{6} = - 1 \frac{5}{6}$ .

Zatem $k = - 2$ . Czyli $- \frac{11}{9} = - 2 \cdot \frac{2}{3} + r$ .

Stąd reszta $r$ z dzielenia liczby $5 \frac{2}{7}$ przez liczbę $1 \frac{3}{7}$ jest równa $r = - \frac{11}{9} + 2 \cdot \frac{2}{3} = - \frac{11}{9} + \frac{4}{3} = - \frac{11}{9} + \frac{12}{9} = \frac{1}{9}$ .

e) $x = - \frac{17 \sqrt{2}}{3}$ , $y = 2 \sqrt{2}$

Liczba $k$ jest największą liczbą całkowitą nieprzekraczającą ilorazu $\frac{- \frac{17 \sqrt{2}}{3}}{2 \sqrt{2}} = - \frac{17 \sqrt{2}}{3} \cdot \frac{1}{2 \sqrt{2}} = - \frac{17}{6} = - 2 \frac{5}{6}$ .

Zatem $k = - 3$ . Czyli $- \frac{17 \sqrt{2}}{3} = - 3 \cdot 2 \sqrt{2} + r$ .

Stąd reszta $r$ z dzielenia liczby $- \frac{17 \sqrt{2}}{3}$ przez liczbę $2 \sqrt{2}$ jest równa $r = - \frac{17 \sqrt{2}}{3} + 6 \sqrt{2} = - \frac{17 \sqrt{2}}{3} + \frac{18 \sqrt{2}}{3} = \frac{\sqrt{2}}{3}$ .

Ponieważ funkcje trygonometryczne są nierozerwalnie połączone z miarami kątów, najważniejsze będzie dla nas wyznaczanie reszty z dzielenia przez pewne szczególne liczby takie jak $2 π$ oraz $\frac{π}{2}$ .

Przykład 2

Podzielimy z resztą liczbę $x$ przez liczbę $y$ , wyznaczając iloraz całkowity $k$ oraz resztę $r$ .

a) $x = \frac{20 π}{3}$ , $y = 2 π$

Liczba $k$ jest największą liczbą całkowitą nieprzekraczającą ilorazu $\frac{\frac{20 π}{3}}{2 π} = \frac{20 π}{3} \cdot \frac{1}{2 π} = \frac{10}{3} = 3 \frac{1}{3}$ .

Zatem $k = 3$ . Czyli $\frac{20 π}{3} = 6 \frac{2}{3} \cdot π = 3 \cdot 2 π + \frac{2 π}{3}$ .

Stąd reszta z dzielenia liczby $\frac{20 π}{3}$ przez liczbę $2 π$ jest równa $\frac{2 π}{3}$ .

b) $x = - \frac{20 π}{3}$ , $y = 2 π$

Liczba $k$ jest największą liczbą całkowitą nieprzekraczającą ilorazu $\frac{- \frac{20 π}{3}}{2 π} = - \frac{20 π}{3} \cdot \frac{1}{2 π} = - \frac{10}{3} = - 3 \frac{1}{3}$ .

Zatem $k = - 4$ . Czyli $- \frac{20 π}{3} = - 6 \frac{2}{3} \cdot π = - 4 \cdot 2 π + r$ .

Stąd reszta $r$ z dzielenia liczby $- \frac{20 π}{3}$ przez liczbę $2 π$ jest równa $r = 4 \cdot 2 π - 6 \frac{2}{3} \cdot π = \frac{4 π}{3}$ .

c) $x = \frac{20 π}{3}$ , $y = \frac{π}{2}$

Liczba $k$ jest największą liczbą całkowitą nieprzekraczającą ilorazu $\frac{\frac{20 π}{3}}{\frac{π}{2}} = \frac{20 π}{3} \cdot \frac{2}{π} = \frac{40}{3} = 13 \frac{1}{3}$ .

Zatem $k = 13$ . Czyli $\frac{20 π}{3} = 13 \cdot \frac{π}{2} + r$ .

Stąd reszta $r$ z dzielenia liczby $\frac{20 π}{3}$ przez liczbę $\frac{π}{2}$ jest równa $r = \frac{20 π}{3} - 13 \cdot \frac{π}{2} = \frac{40 π}{6} - \frac{39 π}{6} = \frac{π}{6}$ .

d) $x = - \frac{20 π}{3}$ , $y = \frac{π}{2}$

Liczba $k$ jest największą liczbą całkowitą nieprzekraczającą ilorazu $\frac{- \frac{20 π}{3}}{\frac{π}{2}} = - \frac{20 π}{3} \cdot \frac{2}{π} = - \frac{40}{3} = - 13 \frac{1}{3}$ .

Zatem $k = - 14$ . Czyli $- \frac{20 π}{3} = - 14 \cdot \frac{π}{2} + r$ .

Stąd reszta $r$ z dzielenia liczby $- \frac{20 π}{3}$ przez liczbę $\frac{π}{2}$ jest równa $r = - \frac{20 π}{3} + 14 \cdot \frac{π}{2} = - 6 \frac{2}{3} \cdot π + 7 π = \frac{π}{3}$ .

Przypomnijmy, że największą liczbę całkowitą nieprzekraczającą danej liczby $a$ nazywamy częścią całkowitą (lub cechą) liczby $a$ i oznaczamy $[a]$ . Różnicę liczby $a$ i jej części całkowitej nazywamy częścią ułamkowączęść ułamkowa liczby xczęścią ułamkową (lub mantysą) i oznaczamy $\{a\}$ . Zatem $\{a\} = a - [a]$ .

W omawianym przez nas wzorze $x = k y + r$ , gdzie $k \in ℤ$ , $r \in ⟨0, y)$ , $k$ jest częścią całkowitą ilorazu $\frac{x}{y}$ , zatem $k = [\frac{x}{y}]$ , czyli wzór przyjmuje postać:

x = [\frac{x}{y}] \cdot y + r \Leftrightarrow r = x - [\frac{x}{y}] \cdot y \Leftrightarrow r = y (\frac{x}{y} - [\frac{x}{y}]) \Leftrightarrow r = y \cdot \{\frac{x}{y}\}

Wynika stąd, że $r$ jest iloczynem części ułamkowej ilorazu $\frac{x}{y}$ oraz liczby $y$ .

Przykład 3

Wyznaczymy iloraz całkowity i resztę z dzielenia liczby $2020$ przez $π$ .

Iloraz całkowityIloraz całkowity to część całkowita liczbyczęść całkowita liczby xczęść całkowita liczby $\frac{2020}{π}$ , zatem $k = [\frac{2020}{π}] = 642$ . Reszta $r$ z dzielenia $2020$ przez $π$ jest równa $π \cdot \{\frac{2020}{π}\} = π \cdot (\frac{2020}{π} - [\frac{2020}{π}]) = π \cdot (\frac{2020}{π} - 642) = 2020 - 642 π \approx 3, 0975$ , co istotnie jest liczbą mniejszą od $π$ .

Ważne!

Można zauważyć, że:

Dla dowolnej liczby rzeczywistej $x$ i dowolnej liczby dodatniej $y$ istnieje dokładnie jedna liczba całkowita $k$ oraz dokładnie jedna liczba $r \in ⟨0, y)$ takie, że $x = k y + r$ .
Każdej liczbie rzeczywistej $x$ można przyporządkować jej resztę z dzielenia przez $2 π$ . Reszta ta jest miarą łukową pewnego kąta z przedziału $⟨0, 2 π)$ .

Wobec powyższego:

sinusem liczby rzeczywistej $x$ nazywamy sinus kąta o mierze łukowej $x_{0}$ , gdzie $x_{0}$ jest resztą z dzielenia liczby $x$ przez $2 π$ ,

cosinusem liczby rzeczywistej $x$ nazywamy cosinus kąta o mierze łukowej $x_{0}$ , gdzie $x_{0}$ jest resztą z dzielenia liczby $x$ przez $2 π$ ,

tangensem liczby rzeczywistej $x$ nazywamy tangens kąta o mierze łukowej $x_{0}$ , gdzie $x_{0}$ jest resztą z dzielenia liczby $x$ przez $2 π$ (o ile tangens istnieje, czyli $x \neq \frac{π}{2} + k \cdot π$ , $k \in ℤ$ ).

Przykład 4

a) $\sin (- \frac{7 π}{4}) = \sin (- 1 \cdot 2 π + \frac{π}{4}) = \sin \frac{π}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$ ,

b) $tg (- \frac{23 π}{6}) = tg (- 2 \cdot 2 π + \frac{π}{6}) = tg \frac{π}{6} = \frac{\sqrt{3}}{3}$ ,

c) $\cos (\frac{19 π}{3}) = \cos (3 \cdot 2 π + \frac{π}{3}) = \cos \frac{π}{3} = \frac{1}{2}$ .

Przykład 5

Wykażemy, że $\sin \frac{51 π}{5} = \cos \frac{- 117 π}{10}$ .

Podzielimy z resztą liczby $\frac{51 π}{5}$ oraz $\frac{- 117 π}{10}$ przez $2 π$ :

$\frac{51 π}{5} = \frac{50 π + π}{5} = \frac{50 π}{5} + \frac{π}{5} = 10 π + \frac{π}{5} = 5 \cdot 2 π + \frac{π}{5}$

$\frac{- 117 π}{10} = \frac{- 120 π + 3 π}{10} = - \frac{120 π}{10} + \frac{3 π}{10} = - 12 π + \frac{3 π}{10} = - 6 \cdot 2 π + \frac{3 π}{10}$

Zatem:

$\sin \frac{51 π}{5} = \sin (5 \cdot 2 π + \frac{π}{5}) = \sin \frac{π}{5}$

$\cos \frac{- 117 π}{10} = \cos (- 6 \cdot 2 π + \frac{3 π}{10}) = \cos \frac{3 π}{10}$

Zauważmy teraz, że $\frac{π}{5} + \frac{3 π}{10} = \frac{2 π}{10} + \frac{3 π}{10} = \frac{5 π}{10} = \frac{π}{2}$ .

Stąd, na mocy tożsamości $\sin (\frac{π}{2} - x) = \cos x$ , otrzymujemy $\sin \frac{π}{5} = \cos (\frac{π}{2} - \frac{π}{5}) = \cos \frac{3 π}{10}$ , co kończy dowód.

Słownik

dzielenie z resztą liczb rzeczywistych

podzielić z resztą liczbę rzeczywistą $x$ przez liczbę dodatnią $y$ oznacza przedstawić liczbę $x$ w postaci

x = k \cdot y + r

gdzie:
$k$ – jest liczbą całkowitą,
$r$ – należy do przedziału $⟨0, 2 π)$

iloraz całkowity liczb rzeczywistych x i y

największa liczba całkowita niewiększa niż iloraz $\frac{x}{y}$ ; inaczej: część całkowita ilorazu $\frac{x}{y}$

część całkowita liczby x

największa liczba całkowita niewiększa niż $x$ , oznaczamy ją przez $[x]$

część ułamkowa liczby x

różnica liczby $x$ oraz jej części całkowitej, oznaczamy ją przez $\{x\}$ ; zachodzi równość: $\{x\} = x - [x]$

Wprowadzenie

Infografika

Słownik