Rozwiążemy nierówność: $\sin 2x>4\sin x$.

Rozwiązanie

Korzystamy ze wzoru na sinus podwojonego kątasinus podwojonego kątasinus podwojonego kąta:

$2\sin x\cos x>4\sin x$.

Przenosimy wszystkie wyrażenia na lewą stronę i wyłączamy przed nawias wspólny czynnik:

$2\sin x\left(\cos x-2\right)>0$.

Ponieważ dla każdej liczby $x\in \mathrm{ℝ}$ zachodzi nierówność $\cos x-2<0$, to nierówność z zadania jest równoważna nierówności $\sin x<0$, a stąd otrzymujemy:

$x\in \left(-\pi +2k\pi ,2k\pi \right)$, gdzie $k\in \mathrm{\mathbb{Z}}$.

Rozwiążemy nierówność: $\cos 2x+\cos x>0$.

Rozwiązanie

Korzystamy ze wzoru na cosinus podwojonego kątacosinus podwojonego kątacosinus podwojonego kąta i przekształcamy nierówność do postaci:

$2{\cos }^{2}x-1+\cos x>0$.

Wprowadźmy podstawienie: $t=\cos x$.

Nierówność ma wówczas postać nierówności kwadratowej:

$2t^2+t-1>0$.

Rozwiązujemy nierówność kwadratową ze zmienną $t$:

$\Delta =1-4·\left(-1\right)·2=9$.

$t=\frac{-1-3}{2·2}=-1$ lub $t=\frac{-1+3}{2·2}=\frac{1}{2}$.

Rozwiązaniem nierówności $2t^2+t-1>0$ jest każda liczba ze zbioru:

$\left(-\infty ,-1\right)\cup \left(\frac{1}{2},+\infty \right)$.

Wracamy do zmiennej $x$:

$\cos x<-1$ lub $\cos x>\frac{1}{2}$.

Pierwszej nierówności nie spełnia żadna liczba rzeczywista, natomiast rozwiązaniem drugiej nierówności jest każda liczba ze zbioru:

$\left(-\frac{\pi }{3}+2k\pi ,\frac{\pi }{3}+2k\pi \right)$, gdzie $k\in \mathrm{\mathbb{Z}}$.

I jest to także rozwiązanie nierówności z zadania.

Rozwiążemy nierówność: ${\cos }^{4}x-{\sin }^{4}x\ge -\frac{\sqrt{3}}{2}$.

Rozwiązanie

Skorzystamy ze wzoru na różnicę kwadratów:

$\left({\cos }^{2}x+{\sin }^{2}x\right)\left({\cos }^{2}x-{\sin }^{2}x\right)\ge -\frac{\sqrt{3}}{2}$.

Korzystamy z jedynki trygonometrycznej:

${\cos }^{2}x-{\sin }^{2}x\ge -\frac{\sqrt{3}}{2}$.

Zapisujemy nierówność korzystając ze wzoru na cosinus podwojonego kątacosinus podwojonego kątacosinus podwojonego kąta:

$\cos 2x\ge -\frac{\sqrt{3}}{2}$.

Rozwiązaniem nierówności $\cos t\ge -\frac{\sqrt{3}}{2}$ jest każda liczba $t$ ze zbioru: $⟨-\frac{5\pi }{6}+2k\pi ,\frac{5\pi }{6}+2k\pi ⟩$, gdzie $k\in \mathrm{\mathbb{Z}}$; zatem $x\in ⟨-\frac{5\pi }{12}+k\pi ,\frac{5\pi }{12}+k\pi ⟩$, gdzie $k\in \mathrm{\mathbb{Z}}$.

Rozwiążemy nierówność: $2tg2x\le 3tgx$.

Rozwiązanie

Zapiszmy założenia: $\cos 2x\ne 0$, $\cos x\ne 0$.

Zatem $x\ne \frac{\pi }{2}+k\pi$ i $x\ne \frac{\pi }{4}+\frac{k\pi }{2}$, gdzie $k\in \mathrm{\mathbb{Z}}$.

Korzystamy ze wzoru na tangens podwojonego kątatangens podwojonego kątatangens podwojonego kąta i zapisujemy nierówność z zadania w postaci:

$2·\frac{2tgx}{1-{tg}^{2}x}\le 3tgx$.

Przenosimy wszystkie wyrażenia na jedną stronę:

$\frac{4tgx}{1-{tg}^{2}x}-3tgx\le 0$.

Sprowadzamy wyrażenia z lewej strony do wspólnego mianownika:

$\frac{4tgx-3tgx\left(1-{tg}^{2}x\right)}{1-{tg}^{2}x}\le 0$,

$\frac{tgx+3{tg}^{3}x}{1-{tg}^{2}x}\le 0$.

Dla $t\in \mathrm{ℝ}\setminus \left\{-1;1\right\}$ jest ona równoważna nierówności:

$\mathrm{tg}x\left(1+3{tg}^{2}x\right)\left(1-{tg}^{2}x\right)\le 0$

Podstawiamy: $t=tgx$.

Otrzymujemy nierówność wielomianową:

$t\left(1+3t^2\right)\left(1-t^2\right)\le 0$.

Pierwiastkami wielomianu $W\left(t\right)=t\left(1+3t^2\right)\left(1-t^2\right)$ są: $0$, $\left(-1\right)$, $1$.

Zauważmy, że dla każdego $t$: $1+3t^2>0$.

Szkicujemy wykres wielomianu $W\left(t\right)$.

R1csL6v0HVwR2

Ilustracja przedstawia poziomą oś t bez podziałki. Narysowano wykres wielomianu trzeciego stopnia $W\left(t\right)$. Przecina on oś t w punktach minus 1, 0, jeden. Zaznaczono na osi t przedziały, w których wielomian znajduje się pod osią t. Jest to przedział lewostronnie otwarty od minus 1 do 0 prawostronnie zamknięty suma przedział otwarty od 1 do plus nieskończoności.

Z wykresu odczytujemy rozwiązanie nierówności wielomianowej:

$-1<t\le 0$ lub $t>1$.

Powracając do zmiennej $x$ otrzymujemy: $-1<\mathrm{tg}x\le 0$ wtedy i tylko wtedy, gdy $x\in \left(-\frac{\pi }{4}+k\pi ,k\pi \right.⟩$, gdzie $k\in \mathrm{\mathbb{Z}}$.

$\mathrm{tg}x>1$ wtedy i tylko wtedy, gdy $x\in \left(\frac{\pi }{4}+k\pi ; \frac{\pi }{2}+\mathrm{k\pi }\right)$, gdzie $k\in \mathrm{\mathbb{Z}}$.

Rozwiązaniem nierówności jest każda liczba ze zbioru: $\left(-\frac{\pi }{4}+k\pi ,k\pi \right.⟩\cup \left(\frac{\pi }{4}+k\pi ; \frac{\pi }{2}+\mathrm{k\pi }\right)$, gdzie $k\in \mathrm{\mathbb{Z}}$.

tożsamość trygonometryczna: $\sin 2x=2\sin x\cos x$ prawdziwa dla każdej liczby rzeczywistej $x$

tożsamość trygonometryczna: $\cos 2x={\cos }^{2}x-{\sin }^{2}x$ prawdziwa dla każdej liczby rzeczywistej $x$

tożsamość trygonometryczna: $\mathrm{tg}2x=\frac{2\mathrm{tg}x}{1-{\mathrm{tg}}^{2}x}$ prawdziwa dla każdej liczby rzeczywistej $x\ne \frac{\pi }{4}+\frac{\pi }{2}k$ i $x\ne \frac{\pi }{2}+k\pi$, gdzie $k\in \mathrm{\mathbb{Z}}$