Funkcjami wykładniczymi są funkcje zadane wzorami: $f\left(x\right)=2^x$ i $f\left(x\right)={\left(\frac{1}{3}\right)}^x$.

Dla funkcji wykładniczej określonej wzorem $f\left(x\right)=a^x$ dla $a\in \left(0,1\right)$ zachodzą własności:

• dziedziną funkcji jest zbiór liczb rzeczywistych,

• zbiorem wartości funkcji jest zbiór liczb rzeczywistych dodatnich, tzn. $y\in \left(0,\infty \right)$,

• funkcja jest malejąca,

• funkcja jest różnowartościowa,

• funkcja nie ma miejsc zerowych,

• asymptotą wykresu funkcji jest prosta $y=0$,

• funkcja nie jest ani parzysta, ani nieparzysta,

• wykres funkcji zawsze przechodzi przez punkt $\left(0,1\right)$.

Dowód:

Wykażemy tylko niektóre z wymienionych własności.

1. Zbiorem wartości funkcji wykładniczej jest zbiór liczb rzeczywistych dodatnich.

• Funkcja przyjmuje tylko wartości dodatnie, ponieważ potęga dowolnej liczby dodatniej jest liczbą dodatnią.

2. Funkcja wykładnicza nie ma miejsc zerowych.

• W celu wyznaczenia miejsc zerowych rozwiążemy równanie: $a^x=0$. 

Równanie nie ma rozwiązań, bo potęga dowolnej liczby dodatniej jest liczbą dodatnią, czyli $a^x>0$.

Zatem nie zachodzi równość $a^x=0$, czyli funkcja nie ma miejsc zerowych.

3. Funkcja wykładnicza jest różnowartościowa.

• Pokażemy, że jeśli $x_1\ne x_2$, to $f\left(x_1\right)\ne f\left(x_2\right)$.

Załóżmy metodą nie wprost, że $f\left(x_1\right)=f\left(x_2\right)$. Wtedy dla funkcji określonej wzorem $f\left(x\right)=a^x$ mamy, że:

$f\left(x_1\right)=a^{x_1}$

$f\left(x_2\right)=a^{x_2}$

Jeżeli $f\left(x_1\right)=f\left(x_2\right)$, to $a^{x_1}=a^{x_2}$.

Dwie potęgi o tych samych podstawach są sobie równe, gdy mają te same wykładniki, czyli $x_1=x_2$.

Otrzymujemy sprzeczność, bo $x_1\ne x_2$.

Zatem funkcja jest różnowartościowa.

Do wykresu $f$ funkcji określonej wzorem $f\left(x\right)=a^x$ należy punkt o współrzędnych $\left(-2,25\right)$. Wyznaczymy wzór tej funkcji oraz określimy wartość funkcji dla argumentu $x=3$.

Ponieważ punkt o współrzędnych $\left(-2,25\right)$ należy do wykresu funkcji, zatem chcąc wyznaczyć wartość $a$ musimy rozwiązać równanie:

$25=a^{-2}$, czyli $a^2=\frac{1}{25}$, więc $a=\frac{1}{5}$ lub $a=-\frac{1}{5}$.

Ponieważ dla funkcji wykładniczej $a>0$, więc $f\left(x\right)={\left(\frac{1}{5}\right)}^x$.

Wartość funkcji dla argumentu $3$ wynosi $f\left(3\right)={\left(\frac{1}{5}\right)}^3=\frac{1}{125}$.

Na rysunku przedstawiono wykres funkcji określonej wzorem $f\left(x\right)=a^x$. Wyznaczymy wzór tej funkcji.

R4wur1Gy1MA7H

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią $X$ od minus czterech do czterech oraz z pionową osią $Y$ od minus jeden do czterech. Na płaszczyźnie zaznaczono wykres funkcji $f$. Jest to funkcja potęgowa o podstawie mniejszej, niż jeden. Jest to funkcja malejąca, a oś $X$ jest jej asymptotą poziomą. Wykres funkcji przechodzi przez punkt o współrzędnych $\left(0,1\right)$. Na płaszczyźnie zaznaczono również dwa inne punkty. Pierwszy z nich to punkt o współrzędnych $\left(4,\frac{1}{4}\right)$. Punkt ten należy do wykresu funkcji, a jego wartość jest zrzutowana na oś $Y$ (co oznacza, że punkty są połączone poziomą przerywaną linią). Rzut ten jest kolejnym zaznaczonym punktem o współrzędnych $\left(0,\frac{1}{4}\right)$.

Z rysunku odczytujemy, że do wykresu tej funkcji należy punkt o współrzędnych $\left(4,\frac{1}{4}\right)$.

W celu wyznaczenia wartości $a$ rozwiązujemy równanie $\frac{1}{4}=a^4$.

Z równania otrzymujemy, że $a=\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$ lub $a=-\frac{1}{\sqrt{2}}=-\frac{\sqrt{2}}{2}$.

Ponieważ $a>0$, więc $f\left(x\right)={\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)}^x$.

Wyznaczymy dziedzinę funkcji określonej wzorem $f\left(x\right)={\left(\frac{1}{3}\right)}^x$, jeżeli jej zbiorem wartości jest przedział $⟨\frac{1}{27},9⟩$.

Z uwagi na to, że funkcja jest wykładnicza i malejąca, do wyznaczenia dziedziny funkcji wystarczające jest obliczenie wartości funkcji w punktach na końcach tego przedziału.

Do wyznaczenia dziedziny funkcji rozwiązujemy równania:

${\left(\frac{1}{3}\right)}^x=\frac{1}{27}$, więc $x=3$,

${\left(\frac{1}{3}\right)}^x=9$, więc $x=-2$.

Dziedziną podanej funkcji jest przedział $⟨-2,3⟩$.

Wyznaczymy zbiór wartości funkcji określonej wzorem $f\left(x\right)={\left(\frac{1}{2}\right)}^x$, jeżeli $x\in ⟨-3,4⟩$.

Ponieważ funkcja jest wykładnicza i malejąca, więc wystarczy obliczyć wartości funkcji na końcach podanego przedziału.

Zatem mamy:

$f\left(-3\right)={\left(\frac{1}{2}\right)}^{-3}=8$

$f\left(4\right)={\left(\frac{1}{2}\right)}^4=\frac{1}{16}$

Zbiorem wartości podanej funkcji jest przedział $⟨\frac{1}{16},8⟩$.

Cząstka radioaktywna ma masę $40g$, a jej rozpad powoduje zmniejszenie masy o $40\%$ każdego roku.

Wyznaczymy wzór na masę cząstki po $n$ latach oraz masę tej cząstki po $4$ latach.

Masę cząstki po $n$ latach można wyrazić wzorem: $y\left(n\right)=40·{\left(\frac{3}{5}\right)}^n$.

Dla $n=4$ mamy

$y\left(4\right)=40·{\left(\frac{3}{5}\right)}^4=40·\frac{81}{625}=5,184$.

Wyznaczymy, dla jakiego argumentu funkcja określona wzorem $f\left(x\right)=\left|{\left(\frac{1}{2}\right)}^x-1\right|$ przyjmuje wartość $1$.

W tym celu rozwiążemy równanie:

$\left|{\left(\frac{1}{2}\right)}^x-1\right|=1$

Zatem ${\left(\frac{1}{2}\right)}^x-1=1$ lub ${\left(\frac{1}{2}\right)}^x-1=-1$.

Z pierwszego równania wynika, że $x=-1$, zaś z drugiego mamy $x\in \varnothing$.

Funkcja przyjmuje wartość $1$ dla argumentu $-1$.

funkcja postaci $f\left(x\right)=a^x$, gdzie podstawa potęgi jest ustaloną liczbą dodatnią $a$ i różną od $1$