Przeczytaj
Funkcją wykładnicząFunkcją wykładniczą nazywamy funkcję postaci:
, gdzie i .
Z definicji zakładamy, że podstawa we wzorze funkcji wykładniczej jest liczbą dodatnią. Gdyby było liczbą ujemną, to nie jest możliwe określenie funkcji dla wszystkich argumentów, np. nie istnieje liczba .
Funkcjami wykładniczymi są funkcje zadane wzorami: i .
Zajmiemy się tylko funkcją wykładnicząfunkcją wykładniczą określoną wzorem , gdy .
Naszkicujemy wykres funkcji wykładniczej zadanej wzorem . W tym celu obliczymy najpierw wartości funkcji dla kilku argumentów:
Wartości | ||||||
---|---|---|---|---|---|---|
Wykres funkcji przedstawia się następująco:
Wykres funkcji dla znajduje się w i ćwiartce układu współrzędnych.
Dla funkcji wykładniczej określonej wzorem dla zachodzą własności:
dziedziną funkcji jest zbiór liczb rzeczywistych,
zbiorem wartości funkcji jest zbiór liczb rzeczywistych dodatnich, tzn. ,
funkcja jest malejąca,
funkcja jest różnowartościowa,
funkcja nie ma miejsc zerowych,
asymptotą wykresu funkcji jest prosta ,
funkcja nie jest ani parzysta, ani nieparzysta,
wykres funkcji zawsze przechodzi przez punkt .
Dowód:
Wykażemy tylko niektóre z wymienionych własności.
1. Zbiorem wartości funkcji wykładniczej jest zbiór liczb rzeczywistych dodatnich.
Funkcja przyjmuje tylko wartości dodatnie, ponieważ potęga dowolnej liczby dodatniej jest liczbą dodatnią.
2. Funkcja wykładnicza nie ma miejsc zerowych.
W celu wyznaczenia miejsc zerowych rozwiążemy równanie: .
Równanie nie ma rozwiązań, bo potęga dowolnej liczby dodatniej jest liczbą dodatnią, czyli .
Zatem nie zachodzi równość , czyli funkcja nie ma miejsc zerowych.
3. Funkcja wykładnicza jest różnowartościowa.
Pokażemy, że jeśli , to .
Załóżmy metodą nie wprost, że . Wtedy dla funkcji określonej wzorem mamy, że:
Jeżeli , to .
Dwie potęgi o tych samych podstawach są sobie równe, gdy mają te same wykładniki, czyli .
Otrzymujemy sprzeczność, bo .
Zatem funkcja jest różnowartościowa.
Jeżeli mamy dane współrzędne jednego punktu, różnego od punktu o współrzędnych , który należy do wykresu funkcji wykładniczej, wówczas możemy wyznaczyć jej wzór.
Do wykresu funkcji określonej wzorem należy punkt o współrzędnych . Wyznaczymy wzór tej funkcji oraz określimy wartość funkcji dla argumentu .
Ponieważ punkt o współrzędnych należy do wykresu funkcji, zatem chcąc wyznaczyć wartość musimy rozwiązać równanie:
, czyli , więc lub .
Ponieważ dla funkcji wykładniczej , więc .
Wartość funkcji dla argumentu wynosi .
Na rysunku przedstawiono wykres funkcji określonej wzorem . Wyznaczymy wzór tej funkcji.
Z rysunku odczytujemy, że do wykresu tej funkcji należy punkt o współrzędnych .
W celu wyznaczenia wartości rozwiązujemy równanie .
Z równania otrzymujemy, że lub .
Ponieważ , więc .
Wyznaczymy dziedzinę funkcji określonej wzorem , jeżeli jej zbiorem wartości jest przedział .
Z uwagi na to, że funkcja jest wykładnicza i malejąca, do wyznaczenia dziedziny funkcji wystarczające jest obliczenie wartości funkcji w punktach na końcach tego przedziału.
Do wyznaczenia dziedziny funkcji rozwiązujemy równania:
, więc ,
, więc .
Dziedziną podanej funkcji jest przedział .
Wyznaczymy zbiór wartości funkcji określonej wzorem , jeżeli .
Ponieważ funkcja jest wykładnicza i malejąca, więc wystarczy obliczyć wartości funkcji na końcach podanego przedziału.
Zatem mamy:
Zbiorem wartości podanej funkcji jest przedział .
Za pomocą funkcji wykładniczej można opisywać zjawiska fizyczne.
Cząstka radioaktywna ma masę , a jej rozpad powoduje zmniejszenie masy o każdego roku.
Wyznaczymy wzór na masę cząstki po latach oraz masę tej cząstki po latach.
Masę cząstki po latach można wyrazić wzorem: .
Dla mamy
.
Wykres funkcji wykładniczej możemy przekształcać za pomocą różnych operacji. W ten sposób ulegają zmianie własności tej funkcji.
Wyznaczymy, dla jakiego argumentu funkcja określona wzorem przyjmuje wartość .
W tym celu rozwiążemy równanie:
Zatem lub .
Z pierwszego równania wynika, że , zaś z drugiego mamy .
Funkcja przyjmuje wartość dla argumentu .
Słownik
funkcja postaci , gdzie podstawa potęgi jest ustaloną liczbą dodatnią i różną od