Przeczytaj
Ciągłość funkcji w punkcie
Przypomnimy najpierw pojęcie ciągłości funkcji w punkcieciągłości funkcji w punkcie. Załóżmy, że mamy daną funkcję oraz punkt , należący do jej dziedziny wraz ze swoim otoczeniem. Funkcję będziemy nazywali ciągłą w punkcie , jeżeli istnieje granica funkcji w punkcie oraz jest ona równa wartości funkcji w tym punkcie,
W praktyce czasami wygodniej jest rozdzielić pojęcie istnienia granicy w punkcie na istnienie i równość granic jednostronnych, możemy wówczas zapisać równoważnie warunek ciągłości jako
Definicja ta w zasadzie pokrywa się z intuicyjnym rozumieniem ciągłości – jeżeli próbujemy rysować wykres funkcji w punkcie od lewej strony, musimy dotrzeć w to samo miejsce, w które dotarlibyśmy, rysując go z prawej strony, i nie możemy napotkać „dziury” pośrodku. Sytuacje funkcji ciągłej i funkcji nieciągłej w punkcie możemy zobaczyć na dwóch poniższych przykładach.
Rozważmy funkcję
dla pewnych wartości i .
Sprawdzimy, czy funkcja jest ciągła w punkcie .
Rozwiązanie
Narysujemy wykres funkcji :
Łatwo zauważyć, że
, zatem jest to funkcja ciągła w punkcie .
Rozważmy funkcję
dla pewnych wartości i . Sprawdzimy, czy funkcja jest ciągła w punkcie .
Rozwiązanie
Łatwo zobaczyć, że
,
ale
,
zatem nie jest to funkcja ciągła w punkcie .
Potwierdza to wykres tej funkcji:
Ciągłość funkcji
Rozszerzymy teraz pojęcie ciągłości funkcji w punkcieciągłości funkcji w punkcie na ciągłość funkcji w ogóle. Funkcję będziemy nazywali ciągłą, jeżeli jest ciągła w każdym punkcie swojej dziedziny.
Takie naturalne uogólnienie sprawiło, że nasza intuicja zawodzi. Zauważmy, że zgodnie z tą definicją ciągła jest funkcja , a przecież składa się z dwóch niezależnych części i z pewnością nie da się narysować jej wykresu nie odrywając ołówka od kartki.
Funkcja jest ciągła w każdym punkcie swojej dziedziny, czyli w każdym punkcie różnym od zera, gdyż rysując wykres w okolicy każdego z punktów z osobna, nie odrywamy ołówka od kartki. Intuicja zawodzi w sytuacji ogólnej, gdyż dziedzina tej funkcji jest złożona z dwóch oddzielnych kawałków i na każdym z nich oddzielnie funkcja spełnia nasze wyobrażenia o ciągłości.
Narysujemy kilka wykresów podstawowych funkcji i zastanówmy się, czy są funkcjami ciągłymi.
Na podstawie wykresu funkcji pokażemy, że jest to funkcja ciągła.
Rozwiązanie
Wszystkie wielomiany są funkcjami ciągłymi, zatem funkcja jest ciągłaciągła, bo łatwo widać, że w każdym punkcie jej granice obustronne istnieją i są równe wartości funkcji w tym punkcie. Ponadto – wykres tej funkcji możemy narysować nie odrywając ołówka od kartki.
Na podstawie wykresu funkcji sprawdzimy, czy jest to funkcja ciągła w swojej dziedzinie.
Rozwiązanie
Wszystkie funkcje wymierne są funkcjami ciągłymi w swojej dziedzinie, zatem funkcja jest ciągła dla , chociaż jej wykres jest złożony z trzech „rozdzielonych” części. Jak widać na wykresie, w każdym punkcie dziedziny jej granice obustronne istnieją i są równe wartości funkcji w tym punkcie.
Zauważmy, że poszczególne części wykresu tej funkcji możemy narysować nie odrywając ołówka od kartki.
Rozważmy funkcję daną wzorem:
Na podstawie wykresu funkcji sprawdzimy, czy jest ona ciągła.
Rozwiązanie
W każdym punkcie funkcja jest ciągła jako funkcja liniowa lub kwadratowa.
Musimy zatem sprawdzić, czy dla obie granice jednostronne są równe sobie i wartości funkcji.
Narysujemy wykres funkcji
Mamy: , czyli funkcja jest ciągła.
Oczywiście wykres tej funkcji możemy narysować nie odrywając ołówka od kartki.
Na podstawie wykresu funkcji
sprawdzimy, czy jest to funkcja ciągła w swojej dziedzinie.
Rozwiązanie
W każdym punkcie funkcja jest ciągła. Musimy sprawdzić, czy dla obie granice jednostronne są równe sobie i wartości funkcji.
Zauważmy, że:
,
ale
,
czyli ta funkcja jest nieciągła w punkcie , zatem nie jest ciągła w swojej dziedzinie.
Potwierdza to jej wykres. Jego rysowanie od strony lewej nie napotyka żadnych problemów aż do punktu o odciętej . W tym miejscu ołówek rysujący wykres „musi wykonać skok”, podczas którego zostanie oderwany od podłoża.
Sprawdzimy ciągłość funkcji:
Rozwiązanie
Wykres tej funkcji wygląda nietypowo, bo składa się jakby z dwóch wykresów nałożonych na siebie – wykresów funkcji oraz funkcji . W rzeczywistości każda z tych części składa się z oddzielonych od siebie punktów, jedna tylko z punktów o współrzędnych wymiernych , a druga tylko z punktów o współrzędnych niewymiernych .
Funkcja ta jest ciągła dla : niezależnie, czy „zbliżamy się” z argumentami do z lewej, czy z prawej strony, wybierając po drodze argumenty wymierne czy niewymierne, wartości funkcji zbliżają się do , czyli do wartości funkcji w .
Jednocześnie funkcja ta jest nieciągła w każdym punkcie , gdyż żadna z granic jednostronnych w żadnym innym punkcie poza zerem nie istnieje – wybierając podciągi argumentów wymiernych i niewymiernych otrzymamy różne wartości granic.
Sprawdzimy ciągłość funkcji Thomae (nazwaną na cześć jednego z jej odkrywców, Carla Johannesa Thomae), postaci:
Rozwiązanie
Wykres tej funkcji, zawężony do przedziału , możemy zobaczyć poniżej.
Możemy na nim zobaczyć, że wartość funkcja przyjmuje tylko w punkcie , wartość w punktach i , wartość w punktach i , i tak dalej.
Funkcja Thomae jest ciągła w każdym punkcie o argumentach niewymiernych, i nieciągła w każdym punkcie o argumentach wymiernych.
Słownik
funkcja, której obie granice jednostronne są równe wartości funkcji w wybranym punkcie
funkcja, która jest ciągła w każdym punkcie swojej dziedziny