Rozważmy funkcję

$f\left(x\right)=\left\{\begin{array}{ll}-\sqrt{-\left(x-x_0\right)}+y_0& \mathrm{gdy} x<x_0,\\ y_0& \mathrm{gdy} x=x_{0,}\\ \sqrt{x-x_0}+y_0& \mathrm{gdy} x>x_0\end{array}\right.$

dla pewnych wartości $x_0$ i $y_0$.

Sprawdzimy, czy funkcja $f$ jest ciągła w punkcie $x_0$.

Rozwiązanie

Narysujemy wykres funkcji $f$:

R1IsfF87rXRMf

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią X od minus trzech do siedmiu i z pionową osią Y od minus dwóch do trzech. Wykres funckji f biegnie od minus nieskończoności do zamalowanego punktu o współrzędnych $\left(2,0\right)$ . W tym punkcie dochodzi do przegięcia wykresu i dalej od tego punktu wykres funckji dalej biegnie do plus nieskończoności. Zamalowany punkt jest również podpisany jako $\left(x_0,f\left(x_0\right)\right)$.

Łatwo zauważyć, że

$\underset{x\to x_0^{-}}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to x_0^{+}}{\lim }f\left(x\right)=f\left(x_0\right)=y_0$, zatem jest to funkcja ciągła w punkcie $x_0$.

Rozważmy funkcję

$f\left(x\right)=\left\{\begin{array}{ll}-\sqrt{-\left(x-x_0\right)}+y_0-1& \mathrm{gdy} x<x_0,\\ y_0& \mathrm{gdy} x=x_{0,}\\ \sqrt{x-x_0}+y_0& \mathrm{gdy} x>x_0\end{array}\right.$

dla pewnych wartości $x_0$ i $y_0$. Sprawdzimy, czy funkcja $f$ jest ciągła w punkcie $x_0$.

Rozwiązanie

Łatwo zobaczyć, że

$\underset{x\to x_0^{-}}{\lim }f\left(x\right)=y_0-1$,

ale

$\underset{x\to x_0^{+}}{\lim }f\left(x\right)=f\left(x_0\right)=y_0$,

zatem nie jest to funkcja ciągła w punkcie $x_0$.

Potwierdza to wykres tej funkcji:

Rd45GK5gLnTLd

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią X od minus trzech do siedmiu i z pionową osią Y od minus dwóch do trzech. Wykres funckji f biegnie od minus nieskończoności do niezamalowanego punktu o współrzędnych $\left(2,0\right)$ . Dalej wykres biegnie od zamalowanego punktu $\left(2,1\right)$ , który również podpisany jest jako $\left(x_0,f\left(x_0\right)\right)$ do plus nieskończoności.

Na podstawie wykresu funkcji $f\left(x\right)=x^4-3x^2+x+1$ pokażemy, że jest to funkcja ciągła.

Rozwiązanie

Wszystkie wielomiany są funkcjami ciągłymi, zatem funkcja $f$ jest ciągłafunkcja ciągłaciągła, bo łatwo widać, że w każdym punkcie jej granice obustronne istnieją i są równe wartości funkcji w tym punkcie. Ponadto – wykres tej funkcji możemy narysować nie odrywając ołówka od kartki.

R1K1R9V5JIEbt

Na ilustracji przedstawiony jest układ współrzędnych z poziomą osią X od minus pięciu do pięciu oraz pionową osią od minus czterech do pięciu. W układzie zaznaczono wykres funckji f, który biegnie w dół od nieskończoności do punktu, gdzie dla argumentu bliskiego minus dwa funkcja przyjmuje wartość bliską minus trzech, następnie ponownie biegnie w górę do punktu $\left(0,1\right)$ . Wykres funckji dalej biegnie w dół do punktu $\left(1,0\right)$ i od tego punktu biegnie w górę do plus nieskończoności.

Na podstawie wykresu funkcji $f\left(x\right)=\frac{x^2+2x-1}{x^2-1}$ sprawdzimy, czy jest to funkcja ciągła w swojej dziedzinie.

Rozwiązanie

Wszystkie funkcje wymierne są funkcjami ciągłymi w swojej dziedzinie, zatem funkcja $f$ jest ciągła dla $x\in \mathrm{ℝ}\setminus \left\{-1;1\right\}$, chociaż jej wykres jest złożony z trzech „rozdzielonych” części. Jak widać na wykresie, w każdym punkcie dziedziny jej granice obustronne istnieją i są równe wartości funkcji w tym punkcie.

R19K8YdGEAEhk

Na ilustracji przedstawiony jest układ współrzędnych z poziomą osią X od minus pięciu do pięciu oraz pionową osią od minus czterech do pięciu. W układzie zaznaczono wykres funckji f, składa się z trzech części. Pierwsza część biegnie dla argumentów od minus nieskończoności nad osią X i następnie przebija ją i biegnie prawie pionowo wzdłuż asymptoty pionowej $x=-1$. Druga część biegnie w dół od nieskończoności prawie pionowo wzdłuż asymptoty pionowej$x=-1$, przebija oś Y w punkcie $\left(0,1\right)$ i biegnie dalej do minus nieskończoności wzdłuż poziomej asymptoty pionowej $x=1$. Trzecia część wykresu biegnie w dół od minus nieskończoności prawie pionowo wzdłuż asymptoty pionowej $x=1$ i następnie zbliża się asymptotycznie do osi X dla argumentów dążących do nieskończoności.

Zauważmy, że poszczególne części wykresu tej funkcji możemy narysować nie odrywając ołówka od kartki.

Rozważmy funkcję daną wzorem:

$f\left(x\right)=\left\{\begin{array}{ll} -x-1& \mathrm{gdy} x<0,\\ x^2+2x-1& \mathrm{gdy} x⩾0.\end{array}\right.$

Na podstawie wykresu funkcji $f$ sprawdzimy, czy jest ona ciągła.

Rozwiązanie

W każdym punkcie $x_0\ne 0$ funkcja jest ciągła jako funkcja liniowa lub kwadratowa.

Musimy zatem sprawdzić, czy dla $x_0=0$ obie granice jednostronne są równe sobie i wartości funkcji.

Narysujemy wykres funkcji $f$

RMhP83rF21mYD

Na ilustracji przedstawiony jest układ współrzędnych z poziomą osią X od minus pięciu do pięciu oraz pionową osią od minus jeden do pięciu. W układzie zaznaczono wykres funckji f. Wykres składa się z półprostej która biegnie od nieskończoności do punktu $\left(0,-1\right)$, a następnie krzywej, która od tego punktu biegnie do nieskończoności prawie pionowo wzdłuż osi Y.

Mamy: $\underset{x\to 0^{-}}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to 0^{+}}{\lim }f\left(x\right)=f\left(0\right)=-1$, czyli funkcja jest ciągła.

Oczywiście wykres tej funkcji możemy narysować nie odrywając ołówka od kartki.

Na podstawie wykresu funkcji $f\left(x\right)=\left\{\begin{array}{ll}x+1& \mathrm{gdy}x<0,\\ x^2+2x-1& \mathrm{gdy}x⩾0.\end{array}\right.$

sprawdzimy, czy jest to funkcja ciągła w swojej dziedzinie.

Rozwiązanie

W każdym punkcie $x_0\ne 0$ funkcja jest ciągła. Musimy sprawdzić, czy dla $x_0=0$ obie granice jednostronne są równe sobie i wartości funkcji.

Zauważmy, że:

$\underset{x\to 0^{-}}{\lim }f\left(x\right)=1$,

ale

$\underset{x\to 0^{+}}{\lim }f\left(x\right)=f\left(0\right)=-1$,

czyli ta funkcja jest nieciągła w punkcie $x_0=0$, zatem nie jest ciągła w swojej dziedzinie.

Potwierdza to jej wykres. Jego rysowanie od strony lewej nie napotyka żadnych problemów aż do punktu o odciętej $0$. W tym miejscu ołówek rysujący wykres „musi wykonać skok”, podczas którego zostanie oderwany od podłoża.

R71Wnqho6L9Wa

Na ilustracji przedstawiony jest układ współrzędnych z poziomą osią X od minus pięciu do pięciu oraz pionową osią od minus jeden do pięciu. W układzie zaznaczono wykres funckji f. Wykres składa się z półprostej i krzywej. Pierwsza biegnie od minus nieskończoności do niezamalowanego punktu o współrzędnych $\left(0,1\right)$ przebijając oś X w punkcie $\left(-1,0\right)$. Krzywa zaczyna się w zamalowanym punkcie $\left(0,-1\right)$ i biegnie prawie pionowo wzdłuż osi Y do nieskończoności.

Sprawdzimy ciągłość funkcji:

$f\left(x\right)=\left\{\begin{array}{ll} x& \mathrm{gdy} x \mathrm{jest} \mathrm{liczbą} \mathrm{wymierną},\\ -x& \mathrm{gdy} x \mathrm{jest} \mathrm{liczbą} \mathrm{niewymierną}.\end{array}\right.$

Rozwiązanie

Wykres tej funkcji wygląda nietypowo, bo składa się jakby z dwóch wykresów nałożonych na siebie – wykresów funkcji $f\left(x\right)=x$ oraz funkcji $f\left(x\right)=-x$. W rzeczywistości każda z tych części składa się z oddzielonych od siebie punktów, jedna tylko z punktów o współrzędnych wymiernych $\left(x,x\right)$, a druga tylko z punktów o współrzędnych niewymiernych $\left(x,-x\right)$.

R1Zz92r3AJJGr

Na ilustracji przedstawiony jest układ współrzędnych z poziomą osią X od minus pięciu do pięciu oraz pionową osią od minus jeden do pięciu. W układzie zaznaczono wykres funckji f, który składa się z  dwóch wykresów nałożonych na siebie. Pierwszy wykres to prosta zaznaczona pomarańczowym kolorem, która przechodzi przez początek układu współrzędnych i punkt $\left(2,2\right)$. Drugi wykres to prosta zaznaczona niebieskim kolorem, która przechodzi przez punkt $\left(-2,2\right)$ i początek układu współrzędnych.

Funkcja ta jest ciągła dla $x_0=0$: niezależnie, czy „zbliżamy się” z argumentami $x$ do $0$ z lewej, czy z prawej strony, wybierając po drodze argumenty wymierne czy niewymierne, wartości funkcji zbliżają się do $0$, czyli do wartości funkcji w $0$.

Jednocześnie funkcja ta jest nieciągła w każdym punkcie $x_0\ne 0$, gdyż żadna z granic jednostronnych w żadnym innym punkcie poza zerem nie istnieje – wybierając podciągi argumentów wymiernych i niewymiernych otrzymamy różne wartości granic.

Sprawdzimy ciągłość funkcji Thomae (nazwaną na cześć jednego z jej odkrywców, Carla Johannesa Thomae), postaci:

$f\left(x\right)=\left\{\begin{array}{ll}\frac{1}{q}& \mathrm{gdy} x \mathrm{jest} \mathrm{liczbą} \mathrm{wymierną} \mathrm{o} \mathrm{postaci} \mathrm{nieskracalnej} \frac{p}{q},\\ 0& \mathrm{gdy} x \mathrm{jest} \mathrm{liczbą} \mathrm{niewymierną}.\end{array}\right.$

Rozwiązanie

Wykres tej funkcji, zawężony do przedziału $0⩽x⩽1$, możemy zobaczyć poniżej.

R1OWYKK8mLeuL

Na ilustracji przedstawiono wykres funckji Tołemja. Składa się ona z osi poziomej od zera do jeden, na której zaznaczone są niebieskie kropki oraz puste przestrzenie. Niebieskie kropki odpowiadają wartością przyjmowanym przez funkcję. Układają się one tak, że oś X pokryta jest całkowicie niebieskim kolorem, a następnie pojawiają się co raz rzadsze kropki nad nią. Można zauważyć, że ich ułożenie przypomina górę, której szczytem jest punkt $\left(\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right)$.

Możemy na nim zobaczyć, że wartość $\frac{1}{2}$ funkcja przyjmuje tylko w punkcie $x=\frac{1}{2}$, wartość $\frac{1}{3}$ w punktach $x=\frac{1}{3}$ i $x=\frac{2}{3}$, wartość $\frac{1}{4}$ w punktach $x=\frac{1}{4}$ i $x=\frac{3}{4}$, i tak dalej.

Funkcja Thomae jest ciągła w każdym punkcie o argumentach niewymiernych, i nieciągła w każdym punkcie o argumentach wymiernych.

funkcja, której obie granice jednostronne są równe wartości funkcji w wybranym punkcie

funkcja, która jest ciągła w każdym punkcie swojej dziedziny