Graniastosłup prawidłowy trójkątny to taki graniastosłup prostygraniastosłup prostygraniastosłup prosty, który ma w podstawie trójkąt równoboczny.
Bryła ta ma:
pięć ścian: dwie podstawy (trójkąty równoboczne) i trzy ściany boczne (prostokąty),
dziewięć krawędzi: sześć krawędzi podstaw (oznaczmy ich długość przez ) i trzy krawędzie boczne (oznaczmy ich długość przez ),
sześć wierzchołków.
Warto zwrócić uwagę na charakterystyczne odcinki w tym graniastosłupie:
wysokość podstawy, o długości ,
przekątna ściany bocznej, o długości .
RSw3WZTbNlyUv
Kąt pomiędzy prostą a płaszczyzną
Definicja: Kąt pomiędzy prostą a płaszczyzną
Jeżeli prosta jest równoległa do płaszczyzny, to przyjmujemy kąt pomiędzy nimi .
Jeżeli prosta jest prostopadła do płaszczyzny, to przyjmujemy kąt pomiędzy nimi .
W pozostałych przypadkach kąt pomiędzy prostą a płaszczyzną to kąt ostry pomiędzy tą prostą a jej rzutem prostokątnym na daną płaszczyznę. Tę sytuację obrazuje poniższy aplet.
R1NxRbY8R1YmE
Chcąc wyznaczyć kąt pomiędzy prostą a płaszczyzną wyznaczamy rzut prostokątny prostej na płaszczyznę . Poniższe kroki możesz uzyskać nawigując strzałkami od kroku 1 do 5.
1. Wyznaczamy punkt wspólny prostej i płaszczyzny (w aplecie punkt ).
2. Z dowolnego wybranego punktu na prostej (w aplecie punkt ) prowadzimy prostą prostopadłą do płaszczyzny .
3. Wyznaczamy punkt wspólny prostej i płaszczyzny (w aplecie punkt ).
4. Prowadzimy prostą przez punkty i , która leży na płaszczyźnie (w aplecie to prosta ). Jest ona rzutem prostokątnym prostej na płaszczyznę .
5. Kąt ostry pomiędzy prostymi i jest kątem pomiędzy prostą a płaszczyzną .
Kąt nachylenia przekątnej ściany bocznej do płaszczyzny podstawy
Jest to kąt pomiędzy przekątną ściany bocznej a krawędzią podstawy leżącą na tej samej ścianie. Można go znaleźć w trójkącie prostokątnym i wyznaczyć z wartości jednej z funkcji trygonometrycznych:
R1E8LzohTtHEG
Przykład 1
Wyznaczymy przybliżoną miarę kąta nachylenia przekątnej ściany bocznej graniastosłupa prawidłowego trójkątnego do płaszczyzny podstawy wiedząc, że wysokość podstawy ma długość , a krawędź boczna ma długość .
Rozwiązanie
Korzystając ze wzoru na wysokość w trójkącie równobocznym otrzymujemy
stąd
Obliczamy tangens szukanego kąta
Korzystając z tablicy wartości funkcji trygonometrycznych, odczytujemy
R10B8OUrFaQmG
Kąt nachylenia przekątnej ściany bocznej do sąsiedniej ściany bocznej
Spójrzmy na poniższy aplet (możesz obracać bryłę). Rzutem prostokątnym przekątnej na ścianę jest odcinek . Kąt nachylenia przekątnej do płaszczyzny ściany to kąt pomiędzy przekątną a odcinkiem . Można go znaleźć w trójkącie prostokątnym i wyznaczyć z wartości jednej z funkcji trygonometrycznych:
gdzie
RaxwYJ8ZajwMk
Przykład 2
Tangens kąta nachylenia przekątnej ściany bocznej do sąsiedniej ściany bocznej w graniastosłupie prawidłowym trójkątnym wynosi , a długość krawędzi podstawy to . Obliczymy długość krawędzi bocznej tego graniastosłupa.
Rozwiązanie
R18iBU3NHhusQ
Obliczamy długość wysokości w trójkącie równobocznym
Wiemy, że
Z twierdzenia Pitagorasatwierdzenie Pitagorasatwierdzenia Pitagorasa w trójkącie otrzymujemy:
Ważne!
W poniższych przykładach punktem oznaczamy środek krawędzi podstawy , który jest jednocześnie spodkiem wysokości podstawy .
Kąt nachylenia prostej do płaszczyzny podstawy
Jest to kąt pomiędzy odcinkiem a jego rzutem prostokątnym na płaszczyznę podstawy, czyli wysokością . Można go znaleźć w trójkącie prostokątnym i wyznaczyć z wartości jednej z funkcji trygonometrycznych:
Rzar1Qcrfrf60
Kąt nachylenia prostej do płaszczyzny ściany bocznej niezawierającej wierzchołka
Jest to kąt pomiędzy odcinkiem a jego rzutem prostokątnym na płaszczyznę ściany bocznej , czyli odcinkiem . Można go znaleźć w trójkącie prostokątnym i wyznaczyć z wartości jednej z funkcji trygonometrycznych:
R2RYo6cugUP5q
Zauważmy, że suma kątów ( i ) wynosi .
Przykład 3
W graniastosłupie prawidłowym trójkątnym punkt jest środkiem krawędzi . Kąt nachylenia prostej do płaszczyzny ściany ma miarę . Suma długości wszystkich krawędzi wynosi . Obliczymy długość krawędź podstawy tego graniastosłupa.
RJy3LufBwkBTV
Rozwiązanie
Przez oznaczmy długość krawędzi podstawy, a przez krawędzi bocznej.
R1VRyBuzhlkwY
Odcinek jest wysokością trójkąta równobocznego, a więc jego długość wyrażona jest wzorem
W trójkącie prostokątnym zachodzi zależność
Jednocześnie, w treści zadania mamy informację o sumie długości wszystkich krawędzi:
Słownik
graniastosłup prosty
graniastosłup prosty
graniastosłup, w którym wszystkie krawędzie boczne są prostopadłe do podstaw, a więc wszystkie ściany boczne są prostokątami
twierdzenie Pitagorasa
twierdzenie Pitagorasa
jeżeli trójkąt jest prostokątny, to suma kwadratów długości przyprostokątnych jest równa kwadratowi długości przeciwprostokątnej