Przeczytaj

Dwumianem nazywamy wyrażenie, które jest sumą dwóch jednomianów.

Dwumian jest wielomianem postaci $F (x) = p x^{k} + q x^{m}$ (zakładamy, że $p \neq 0$ i $q \neq 0$ ).

Dwumian $G (x) = p x^{k} - q x^{m}$ zwyczajowo nazywany jest „sprzężeniem” dwumianu $F (x)$ .

Przykład 1

Podamy sprzężenia dwumianówdwumiandwumianów:

a. $2 x + 5$ ,
b. $5 x^{2} - 7 x$ ,
c. $x^{11} + x^{7}$ ,
d. $x^{9} - 1$ .

Rozwiązanie:

a. $2 x - 5$ ,
b. $5 x^{2} + 7 x$ ,
c. $x^{11} - x^{7}$ ,
d. $x^{9} + 1$ .

Ważne!

Aby wykonać mnożenie wielomianu

W (x) = a_{n} x^{n} + a_{n - 1} x^{n - 1} + \dots + a_{1} x + a_{0}

przez dwumian $F (x) = p x^{k} + q x^{m}$ , należy każdy wyraz wielomianu $W (x)$ pomnożyć przez każdy wyraz dwumianu $F (x)$ :

W (x) \cdot F (x) = F (x) \cdot W (x) = (p x^{k} + q x^{m}) \cdot W (x) = p x^{k} \cdot W (x) + q x^{m} \cdot W (x)

Mnożenie to jest przemienne.

Przykład 2

Wykonamy mnożenie $(5 x^{3} - x^{2}) \cdot (x^{7} - 2 x^{4} + 5 x + 3)$ .

Rozwiązanie:

Mnożymy $5 x^{3}$ przez każdy składnik wielomianu $(x^{7} - 2 x^{4} + 5 x + 3)$ :
$5 x^{10} - 10 x^{7} + 25 x^{4} + 15 x^{3}$ .

Następnie mnożymy $(- x^{2})$ przez każdy składnik wielomianu $(x^{7} - 2 x^{4} + 5 x + 3)$ :
$- x^{9} + 2 x^{6} - 5 x^{3} - 3 x^{2}$ .

Po dodaniu, pogrupowaniu i zredukowaniu wyrazów podobnych uzyskujemy:
$5 x^{10} - x^{9} - 10 x^{7} + 2 x^{6} + 25 x^{4} + 10 x^{3} - 3 x^{2}$ .

Mnożąc dwumiandwumiandwumian przez jego „sprzężenie”, możemy skorzystać ze wzoru skróconego mnożenia na różnicę kwadratów.

$(3 x + 5) \cdot (3 x - 5) = 9 x^{2} - 25$ ,

$(7 x^{11} - 5 x^{9}) \cdot (7 x^{11} + 5 x^{9}) = 49 x^{22} - 25 x^{18}$ ,

$(x^{7} - 1) \cdot (x^{7} + 1) = x^{14} - 1$ ,

$(- x^{2} + x) \cdot (- x^{2} - x) = x^{4} - x^{2}$ .

Przykład 3

Wyznaczymy wartości parametrów $m$ , $p$ , $q$ , dla których wielomianywielomianwielomiany
$F (x) = x^{6} - 2 x^{5} - 8 x^{4} + 6 x^{3} + 7 x^{2} + p x + q$ oraz
$G (x) = (x^{2} + m) (x^{4} - 2 x^{3} - 5 x^{2} - 8)$ są równe.

Rozwiązanie:

Wykonujemy mnożenie i przedstawimy wielomian $G$ w postaci uporządkowanej:

$G (x) = x^{6} - 2 x^{5} - 5 x^{4} - 8 x^{2} + m x^{4} - 2 m x^{3} - 5 m x^{2} - 8 m$

$G (x) = x^{6} - 2 x^{5} + (m - 5) x^{4} - 2 m x^{3} + (- 5 m - 8) x^{2} - 8 m$

Wielomiany tych samych zmiennych są równe, jeśli są tego samego stopnia i współczynniki stojące przy zmiennych w tych samych potęgach są równe.

Współczynniki przy zmiennych w potędze szóstej są równe, podobnie w potędze piątej.

Porównamy zatem pozostałe współczynniki:

przy $x^{4}$ :

$m - 5 = - 8$

$m = - 3$

przy $x^{3}$ :

$6 = - 2 m$

$m = - 3$

przy $x^{2}$ :

$- 5 m - 8 = 7$

$m = - 3$

W każdym przypadku otrzymaliśmy dla m tę samą liczbę, zatem $m = - 3$ .

W wielomianie $G$ nie ma wyrazu w pierwszej potędze, zatem: $p = 0$

Na koniec porównujemy wyrazy wolne: $q = - 8 m$ , co daje: $q = (- 8) \cdot (- 3) = 24$

Zatem wielomiany $F$ i $G$ są równe, jeśli: $m = - 3$ , $p = 0$ , $q = 24$ .

W mnożeniu wielomianu przez dwumian mogą pomóc wzory skróconego mnożenia.

Przykład 4

Przykłady zastosowania wzorów skróconego mnożenia w mnożeniu wielomianówwielomianwielomianów przez dwumian $(x + 1)$ oraz przez dwumian $(x - 1)$ :

$(x + 1) \cdot (x - 1) = x^{2} - 1$ ,

$(x - 1) \cdot (x^{2} + x + 1) = x^{3} - 1$ ,

$(x + 1) \cdot (x^{2} - x + 1) = x^{3} + 1$ ,

$(x - 1) \cdot (x^{n - 1} + x^{n - 2} + \dots + x + 1) = x^{n} - 1$ ,

$(x + 1) \cdot (x^{2 n} - x^{2 n - 1} + \dots - x + 1) = x^{2 n + 1} + 1$ .

Słownik

wielomian

wyrażenie, które jest sumą jednomianów;
wielomian można zapisać w postaci

W (x) = a_{n} x^{n} + a_{n - 1} x^{n - 1} + a_{n - 2} x^{n - 2} + \dots + a_{2} x^{2} + a_{1} x + a_{0}

dwumian

wyrażenie, które jest sumą dwóch jednomianów;
dwumian to wielomian postaci $F (x) = p x^{k} + q x^{m}$ (zakładamy, że $p \neq 0$ i $q \neq 0$ );
dwumian $G (x) = p x^{k} - q x^{m}$ jest zwyczajowo nazywany „sprzężeniem” dwumianu $F (x)$

Wprowadzenie

Prezentacja multimedialna

Słownik