Zapiszemy zbiór rozwiązań nierówności podwójnej $4<x-1<3x$ w postaci przedziału liczbowego.

Najpierw zapiszemy koniunkcję dwóch nierówności $\left\{\begin{array}{c}4<x-1\\ x-1<3x\end{array}\right.$ i rozwiążemy układ nierówności.

Nierówność spełniają wszystkie liczby rzeczywiste większe od $5$.

Zatem rozwiązaniem układu nierówności są wszystkie liczby rzeczywiste należące do przedziału $(5,\mathrm{\infty })$. Jest to przedział nieograniczony otwartyprzedział nieograniczony otwartyprzedział nieograniczony otwarty.

Zapiszemy zbiór rozwiązań nierówności podwójnej $5\le x-2\le 2x$ w postaci przedziału liczbowego.

Najpierw zapiszemy koniunkcję dwóch nierówności $\left\{\begin{array}{l}5\le x-2\\ x-2\le 2x\end{array}\right.$ i rozwiążemy układ nierówności.

Nierówność spełniają wszystkie liczby rzeczywiste większe lub równe $7$.

Zatem rozwiązaniem układu nierówności są wszystkie liczby rzeczywiste należące do przedziału $\left.⟨7, \infty \right)$.

Jest to przedział nieograniczony lewostronnie domkniętyprzedział nieograniczony prawostronnie/ lewostronnie domkniętyprzedział nieograniczony lewostronnie domknięty.

Rozwiążemy podwójną nierówność $2x-1\le 3x+1<x+7$. Wybierzemy ze zbioru rozwiązań nierówności wszystkie liczby naturalne, które spełniają nierówność podwójną.

Aby rozwiązać nierówność podwójną $2x-1\le 3x+1<x+7$ rozpiszemy ją na koniunkcję dwóch nierówności.

Następnie rozwiążemy każdą nierówność koniunkcji.

Stąd: $x\in \left.⟨-2, 3\right)$.

Z podanego  przedziału  wybierzemy wszystkie liczby naturalne, które spełniają nierówność podwójną. Będzie to zbiór $\left\{0,1,2\right\}$.

Rozwiążemy teraz układ nierówności $\left\{\begin{array}{c}\sqrt{x^2-6x+9}<5\\ \left|x-2\right|<2\end{array}\right.$.

Zauważmy, że wyrażenie znajdujące się pod pierwiastkiem w pierwszej nierówności można zapisać za pomocą wzoru skróconego mnożenia na kwadrat różnicy dwóch wyrażeń.

Wiemy, że $\sqrt{x^2}=\left|x\right|$.

Zatem otrzymujemy układ dwóch nierówności z wartością bezwzględną.

Układ tych  nierówności zapiszemy jako koniunkcję dwóch nierówności.

Najpierw rozwiążemy pierwszą nierówność $\left|x-3\right|<5$. Jest ona równoważna podwójnej nierówności $-5<x-3<5$.

Do obu stron nierówności dodamy liczbę $3$.

Zatem rozwiązaniem pierwszej nierówności jest przedział $\left(-2, 8\right)$.

Analogicznie rozwiążemy drugą nierówność z wartością bezwzględną.

Zatem rozwiązaniem drugiej nierówności jest przedział $\left(0, 4\right)$.

Rozwiązaniem układu nierówności jest część wspólna rozwiązań obu nierówności. Zilustrujemy to graficznie.

R1RRfEVjjzaQq

Grafika przedstawia oś liczbową x z opisanymi wartościami od minus trzech do jedenastu. Na osi zaznaczone są dwa przedziały. Pierwszy przedział od minus dwóch do ośmiu jest obustronnie otwarty. Drugi przedział od zera to czterech jest również obustronnie otwarty.

Rozwiązaniem układu nierówności jest przedział $\left(0, 4\right)$.

przedział typu $\left(-\infty , a\right)$ lub $\left(a, \infty \right)$, gdzie $a$ jest dowolną liczbą rzeczywistą

przedział typu $\left(-\infty , a\right.⟩$ lub $\left.⟨a, \infty \right)$, gdzie $a$ jest dowolną liczbą rzeczywistą